Вариационная задача об экстремуме

В предыдущей главе было построено классическое решение вариационной задачи об экстремуме энтропии при дополнительных условиях (3.2). При помощи метода множителей Лагранжа было выведено стационарное распределение, сходящееся к точному выражению. [c.57]

Таким образом, условная вариационная задача об экстремуме функционала энтропии сведена к задаче на максимум функции [c.62]

Будем трактовать уравнения (5.31) как дополнительные условия в вариационной задаче об экстремуме функционала энтропии [c.148]

В теории дискретных, в частности стержневых, систем, рассматривая один и тот же объект, задачу можно поставить двояко, либо как вариационную, либо как задачу об экстремуме функции. [c.495]

Таким образом, вариационная задача может быть сформулирована как задача об экстремуме функционала (1.1) [c.16]

Вывод уравнений Лагранжа из принципа экстремального действия. В математике интеграл (24.1) принадлежит к так называемым функционалам, если рассматривается зависимость его величины от вида подынтегральной функции. Задача об экстремуме функционала — отыскание функции, при которой наступает экстремум,— решается методами вариационного исчисления. В результате решения находятся дифференциальные уравнения, выполняющиеся для подынтегральной функции а поскольку в нашей постановке вопроса лагранжиан есть известная функция переменных д, д и I, то получаются дифференциальные уравнения для обобщенных координат, т. е. уравнения движения. [c.208]

Подлежащая исследованию область изменения искомых функций разделяется на ряд подобластей простой формы. Искомые функции аппроксимируются в пределах каждой подобласти полиномами так, что коэффициенты аппроксимирующих полиномов выражаются через значения искомых функций в конечном числе так называемых узловых точек подобласти. Подобласть с выбранными узловыми точками называется конечным элементом. Силовое взаимодействие между конечными элементами осуществляется только в узловых точках. Определение искомых функций в узлах сетки конечных элементов является, по существу, решением задачи Задача об определении узловых значений решается обычно с использованием подходящего вариационного принципа. Принятые для искомых функций аппроксимации сводят задачу о нахождении условий стационарности соответствующего функционала к задаче об экстремуме функции многих переменных. Условие экстремума такой функции представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в узлах, которая, по сути, является системой разрешающих уравнений МКЭ. [c.5]

До сих пор рассматривались вариационные задачи с независимой переменной у. Введем в качестве независимой переменной гр, сформулируем вариационную задачу, найдем необходимые условия экстремума, а затем сравним оба вида решений. [c.95]

Из (3.49) следует, что только неравенство б<р < 0, противоречащее условию (3.32), ведет к уменьшению сопротивления х- Таким образом, как и в 3.3.2, заключаем, что решение задач 1 и 3 является одновременно решением задач 2 и 4, если экстремаль лежит в области (3.20) или (3.48). Сопоставление решений. Итак, найдены необходимые условия экстремума вариационных задач в двух вариантах. В одном случае независимой переменной является у, в другом — величина i>. Обе формы решения обладают своими преимуществами и недостатками. [c.101]

В этом случае вариационная задача — задача об условном экстремуме —формулируется следующим образом среди всех функции и(х), удовлетворяющих условию (3), найти такую, для которой функционал [c.14]

Вариационную задачу без дополнительных условий называют свободной, а задачу об условном экстремуме — несвободной. [c.14]

Вариационная задача является обобщением задачи об отыскании экстремума функции нескольких переменных. Решение последней задачи есть конечный набор значений аргументов, реализующий экстремум данной функции. Решением вариационной задачи является неизвестная функция, реализующая экстремум функционала. Связь между этими задачами можно увидеть, рассматривая функцию ы(х) как бесконечный набор аргументов. Аргументов в этом наборе столько же, сколько точек х в множестве О.-каждой точке X поставлен в соответствие аргумент ы(а ) функционала F. [c.14]

Удобная для приложений компактная формулировка принципа максимума вызвала к нему большой интерес. В частности, возник вопрос о том, как соотношения, характеризующие этот принцип, трактуются в привычных для механиков понятиях вариационного исчисления. Кроме того, вообще ощущалась потребность подвести теоретический итог результатам приложения классических методов вариационного исчисления к задачам об управлении и изложить эти методы в форме рабочих критериев, приспособленных для этих задач. Такая работа была выполнена, результатом чего явилась серия публикаций, относящаяся главным образом к началу шестидесятых годов. При этом задачи об оптимальном управлении трактовались как вариационные задачи на условный экстремум, причем уравнения движения рассматривались как дифференциальные связи, наложенные на координаты системы. Было выяснено, как классические подходы позволяют [c.189]

Если речь идет о линейных системах (16.1) и область U и функция Ф в (16.2) обладают подходящими свойствами выпуклости (или вогнутости), то многие такие задачи о минимаксе укладываются в схемы, обсужденные в 10 (см. стр. 193—197). В нелинейных случаях, а также в некоторых линейных нерегулярных случаях приложение описанных выше способов исследования (в частности, принципа максимума или классических критериев вариационного исчисления) потребовало их усовершенствования. Весьма общий подход к выводу необходимых условий экстремума для проблем вариационного исчисления, охватывающий, в частности, широкий круг задач об оптимальном управлении, описан в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина (1963—1965). В этих работах были выведены необходимые условия минимума F (w ) для функционала F (w), заданного на элементах w из некоторого нормированного пространства ly . Допустимые значения предполагаются стесненными условием типа равенств или неравенств. При широких предположениях о геометрических свойствах этих ограничений, которые вместе с условием экстремума порождают в пространстве гг некоторые выпуклые конусы и линейные подпространства вариаций, выводятся искомые необходимые условия минимума. Эти условия сводятся к отсутствию общих точек у открытых частей упомянутых конусов и подпространств. Формулировка этого геометрического факта в терминах линейных функционалов и составляет содержание [c.213]

По предположению, этот интеграл принимает экстремальное значение при е = О, и таким образом рассматриваемая вариационная задача сводится к задаче об обычном экстремуме. Теперь необходимое условие того, что /(е) достигает экстремума, записывается так [c.22]

СИЛЫ при фиксированном значении момента или наоборот. Получается так называемая задача об условном экстремуме. Следуя общему правилу вариационного исчисления, составляем функционал [c.360]

Но при этом следует иметь в виду еще одно обстоятельство. В случае если данный функционал обладает экстремальными свойствами, то предложенные приближенные прямые методы дадут приближенное уравнение или численные данные, определяющие искомую экстремаль. Однако остается невыясненным, будет ли этот экстремум максимум или минимум заданного функционала, так как найденная экстремаль еще ничего не говорит об этом. Во-вторых (что, пожалуй, еще важнее), вполне возможен случай, когда заданный функционал имеет первую вариацию, равную нулю (что и доставляет нам определенную экстремаль / (д )], а экстремума все-тахи не имеет. Вполне строгое с математической точки зрения обоснование и требует исследования второй вариации функционала, как требуется исследование второй (или высших) производной в дифференциальной задаче. Для реальных же случаев применения вариационных методов в задачах вариационного характера при исследовании динамических систем можно избежать этих относительно тяжелых моментов исследования. Обычно решение вопроса о том, имеет ли экстремум характер максимума или минимума, решается легко самим существом задачи, а второе условие достаточности может потребовать после нахождения экстремали дополнительных подсчетов обратного характера, т. е. вычисления значений функционала по найденному виду у (х) в интересующей нас области х, как значений практически реализуемых, и некоторых изменений параметров найденной функции. [c.244]

Возможность связи между уравнениями движения вязкопластической среды с задачей об экстремуме функционала отмечалась и ранее [8, 36, 37]. Однако в этих работах не рассматривался основной для вязкопластической среды случай, когда в области, заполненной средой, существуют области жесткого состояния. Наличие вариационной формулировки задачи, по существу, не было использовано. Единственно была отмечена возможность применения метода Ритца к построению приближенного решения [8]. [c.8]

Построение такой системы функционалов связано с размораживанием дифференциальных связей . Под этим имеется в виду следующая процедура. Компоненты сц девиатора тензора скоростей деформаций не являются независимыми функциями, а связаны условиями совместности. Эти условия могут быть переписаны в виде условий ортогональности тензора ец (ас) к некоторому классу гладких тензорных полей. Выбирая в этом классе счетное плотное множество, приходим к задаче об экстремуме функционала при наличии счетной системы условий ортогональности. Отбрасывая все условия ортогональности, оставляя одно, два или большее конечное число этих условий, получаем искомую последовательность вариационных задач. Конечное число условий ортогональности можно учесть в функционале с помощью игпожителей Лагранжа. [c.88]

В заключение этого параграфа рассмотрим так называемые вариационные неравенства. Выше было показано, что существует, вообще говоря, эквивалентная трактовка тех или иных операторных уравнений, когда ставится вопрос об определении экстремума того или иного функционала. Покажем сейчас, что существует еще один класс задач (так называемые задачи с ограничениями), который сводится к вариационным задачам, причем решение разыскивается не в том или ином пространстве, а на мноигестве, определяемом теми или иными ограничениями ). [c.157]

Следовательно, мы приходим к задаче о нахождении экстремума функционала (4.28) при выполнении дополнительных условий (уравнений связей) вида (4.2), (4.30), налагаемых на функцию скорости V. Таким образом, задача об определении максимальной высоты подъема ракеты 5тах равносильна условной вариационной задаче [c.115]

Чтобы сформулировать и решить задачу об экстремзгме функционала, необходимо соответственно обобщить понятия теории функций, которые нужны для формулировки и решения задачи о нахождении их экстремумов. В этом и состоит основная задача вариационного исчисления. [c.574]

В изложенном выводе принципа Остроградского — Гамильтон уравнения Лагранжа выступают в новой роли — необходимых достаточных условий стационарности функционала 5 на действи тельном пути системы. Тем самым устанавливается эквивалеш ность задачи об интегрировании дифференциальных уравнени при заданных краевых условиях с вариационной задачей нахожде ния экстремума функционала и, таким образом, открывается воа можность привлечения к решению вибрационных задач методе вариационного исчисления. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...