Семейство Уравнение

Вырожденные случаи неустранимы малым шевелением, если рассматривается не индивидуальное уравнение, а семейство уравнений. Поэтому при исследовании вырожденного случая основную ценность представляет не изучение индивидуального вырожденного уравнения, а анализ бифуркаций в семействах общего положения, в которых подобное вырождение встречается неустранимым образом. Технически это исследование проводится с помощью построения специальных — так называемых нереальных — деформаций, в некотором смысле содержащих все остальные. [c.13]

Редукции к двумерным системам. Бифуркации особых точек с одним нулевым и парой чисто мнимых собственных значений, а также с двумя чисто мнимыми парами достаточно изучать в трехмерном и четырехмерном пространствах соответственно (по теореме сведения). Метод Пуанкаре приводит в этом случае к вспомогательной задаче. Семейство уравнений x—v x, е) превращается в систему [c.27]

Положим А—Ьс—1. Системы (П" ), Для которых ЬсА=0, и системы (11"), для которых Ь Ь— )с с—1)=0, — исключительные они не встречаются в типичных двупараметрических семействах уравнений вида (10). Неисключительные системы (11+) и те неисключительные системы (11 ), для которых А<0, называются системами легкого типа остальные неисключительные системы (11") —трудного, типа. [c.33]

Замечание. Если вместо кубических членов гЬу/г в системе (13) дописать произвольные кубические члены, не выводящие систему из класса (10) хр2 х, у), у02 х, у), где F2 и j—однородные многочлены второй степени, то предыдущее построение приведет к семейству уравнений вида йЯ+о = 0, [c.38]

Для типичных семейств РеЯ (0)= 0. При прохождении е через О в семействе уравнений [c.47]

Для исследования потери устойчивости циклом с мультипликаторами, близкими к 1, необходимо изучить семейство уравнений [c.62]

Определение. Центральным многообразием локального семейства уравнений в точке (О, 0) называется центральное многообразие соответствующего семейству x = v x, е) уравнения x = v(x,e), е = 0. [c.70]

Утки в и R". В размерности 3 и выше у быстро-медленных уравнений с одной быстрой переменной утки существуют уже для уравнений общего положения (а не только для однопараметрических семейств уравнений, как в двумерном случае). Рассмотрим уравнение [c.205]

Обычно рассматривается семейство уравнений, зависящих от параметра к [c.123]

В этом случае волновые аберрации для обоих волновых фронтов равны нулю (фиг. 72) кривые же для равных волновых аберраций представлены семейством уравнений [c.101]

Семейство уравнений (2.19) действительно зависит от 2п-1 независимых параметров, поскольку общая нелинейность нечетной степени в данном случае характеризуется 4п параметрами, на которые накладываются 2п+] условий. [c.124]

Имеем, вообще говоря, 15-параметрическое семейство уравнений в полных дифференциалах. Для интегрирования в элементарных функциях последнего тождества, как однородного уравнения, достаточно наложить 7 соотношений [c.127]

Уравнения (3.15) преобразуются следующим образом. Компоненты скорости V, W в направлениях 0, ср выражаются через компоненты скорости Vp в направлениях характеристик первого и второго семейств уравнениями [c.461]

Семейства уравнений на торе. Аналогичная теорема справедлива для дифференциальных уравнений на торе [c.51]

Из уравнения (VII.11) видно, что эквипотенциальные линии — окружности, центры которых расположены на оси Ох (в уравнении отсутствует член, содержащий первую степень у). Если поместим начало координат в центре какой-либо окружности семейства, уравнение этой окружности получим из (VII.11), в котором следует принять коэффициент при х равным нулю, т. е. [c.120]

Имеем, вообще говоря, 15-параметрическое семейство уравнений в полных дифференциалах. Наложим на эти 15 параметров следующие 7 соотношений [c.238]

В практических расчетах часто требуется аналитическое вычисление координат действительного профиля кулачка для получения более точного очертания этого профиля. Для составления уравнения огибающей Ь — Ь (рис. 26.28) положений ролика радиуса г напишем уравнение семейства окружностей радиуса г, центры А которых образуют центровой профиль а — а [c.539]

Линейчатой поверхностью называется поверхность, порожденная семейством прямых. Примерами линейчатых поверхностей являются цилиндрическая и коническая поверхности. Уравнение линейчатой поверхности [c.41]

Пример. Найдем уравнения сферы радиуса R. Для этого положение точки М на сфере будем определять с помощью двух семейств координатных линий (рис. 103). Пусть одно семейство состоит из параллелей I, расположенных в горизонтальных плоскостях. За параметр и этого семейства принимаем МОР (широта), составляемый радиусом ОМ с плоскостью экватора S. Для северного и южного полушарий параметр и будет соответственно иметь положительные или отрицательные значения. [c.81]

Покажем, что на этой поверхности имеются два семейства прямолинейных образующих. Для этого рассечем поверхность плоскостью А = а. Уравнение коники, получаемой в сечении, имеет вид [c.92]

Уравнения семейства линий уровня в плоскостях, параллельных плоскости [c.120]

Однако это не значит, что всегда необходимо решать кубическое уравнение (7.7). Дело в том, что в абсолютном большинстве встречающихся на практике случаев положение одной из главных площадок в исследуемой точке может быть указано заранее. Тогда две другие главные площадки определяются в семействе площадок, перпендикулярных к первой, что значительно упрощает задачу. [c.240]

Дюлака формальной заменой, сохраняющей е. Затем отбрасываются члены достаточно высокого порядка по х (выше трех для н ля с мнимой парой и выше пяти для двух мнимых пар). Полученное полиномиальное векторное поле инвариантно относительно группы вращений, изоморфной тору, размерность которого равна числу мнимых пар. Соответствующая факторси-стема, представляет собой семейство уравнений на плоскости, инвариантное относительно некоторой конечной группы движений плоскости. В классе таких семейств изучается версаль-ная деформация факторсистемы, соответствующей ростку е). Положения равновесия и инвариантные кривые фактор-систем интерпретируются как приближения к инвариантным торам и гиперповерхностям уравнений исходного семейства. [c.27]

Нулевое и пара чисто мнимых собственных значений (по Жолондеку [72]). Описанная выше процедура превращает деформацию ростка векторного поля с одним нулевым и парой чисто мнимых собственных значений линейной части в особой точке в семейство уравнений, инвариантное относительно группы движений плоскости (х, г), порожденной симметрией (х, г) (х, —г). Ростку с нулевым и парой чисто мнимых собственных значений соответствует 52-эквивариантный росток с нулевой линейной частью на плоскости. [c.28]

Другими словами, мы ограничиваемся исследованием бифуркаций в факторсистеме упрощенной нормальной формы семейства уравнений в окрестности цикла. Истолкование результатов в терминах исходной системы требует дополнительной работы, так как даже топологически бифуркации в исходной системе и в упрощенной нормальной форме не всегда одинаковы (см. например, п. 3.5). Начнем с построения вспомогательных семейств векторных полей на плоскости, сдвиг вдоль которых приближает преобразование монодромни циклов в случае сильного резонанса. [c.56]

Через каждую точку плоскости проходят две взаимно ортр-гональные кривые разных семейств (начало координат является особой точкой типа центра). В системе криволинейных ортогональных координат т], образованных этими семействами, уравнение (5.1, 4) приводится к простому виду = 0. [c.265]

В [28] при получении в рамках ОММЛ в вариационных задачах неравновесной и равновесной сверхзвуковой газовой динамики впервые были введены разрывы множителей Лагранжа (МЛ), вводящих в задачу уравнения течения. Было показано, что при непрерывных параметрах течения линиями разрыва МЛ могут быть и С -характеристики и линии тока, т.е. характеристики всех трех семейств уравнений течения. Кроме того, были получены конечные и дифференциальные условия для скачков МЛ на линиях их разрыва и выявлена одна из возможных причин их появления - изломы исследуемых на оптимальность контуров. Как и почему так получается, читатель узнает из Главы 4.15. Отметим, что в [28] разрывы МЛ были введены раньше, чем для вариационных задач, описываемых уравнениями гиперболического типа, это сделали математики - специалисты по [c.365]

Задача о возмущенном движении газа около тупого угла, которая связана с образованием центрированной волны разрежения, может быть решена по методу характеристик. Точке Р пересечения линии тока плоскопараллельиого набегающего потока (угол наклона линии тока в этой точке р=0) с характеристикой ОЬ в физической плоскости соответствует точка Р на эпициклоиде-характеристике в плоскости годографа того же семейства. Для конкретности каждую из этих характеристик можно отнести, например, к характеристикам первого семейства. Уравнение для характеристики этого семейства в плоскости годографа будет р=со4-р,. Так как, по условию, =0, то постоянная =—и) (М ), где угол находится из (5.3,31) по известному числу М . Следовательно, уравнение для характеристики будет —ш , откуда [c.266]

Сравним это уравнение состояния с полученным в задаче 6.4, п. б . Форма первого члена рассматриваемого уравнения наводит на мысль о втором классе уравнений состояния, аналогичных получаемым в ячеечной теории. Отличие состоит лишь в том, что показатель степени у величин Уд/у равен единице, а не Vз. Можно также построить модели, для которых показатель равен /3. Таким образом, определение Vf через радиус дает член ио1и)У , определение через поперечное сечение дает член а через объем — член (Уд/у) [6]. В пределе низкой плотности член, отвечающий энергии сцепления в уравнении состояния в задаче 6.4, п. б , принимает вид —а/г вместо —аЬ в дырочной теории. Таким образом, можно построить семейство уравнений состояния, имеющих такое же теоретическое обоснование, как и уравнение Ван-дер-Ваальса (ср. задачи 9.7, 9.17 и 11.12—11.15). [c.181]

Эллипс безопасности. Зафиксируем величину скорости Уо в начальной точке и рассмотрим огибаюш ую семейства траекторий, которые получаются при изменении угла бросания 0о — параметра семейства. Уравнение семейства траекторий будем рассматривать в виде (3.1.14) [c.76]

Заметим, что г имеет простой геометрический смысл. Приравнивая г (ж, у) произвольной постоянной, получим семейство уравнений линий тока для стационарного течения (ж, у) = С. Действительно, дифференцируя это уравнение ж += О и используя свойство (VIII.3.5), придем к соотношению [c.209]

Рождение комплексных циклов. В комплексном случае рассматривается семейство уравнений т,=0. 1-форма m, на двумерном комплексном многообразии предполагается голоморфной и голоморфно зависящей от комплексного (малого) одномерного параметра е. Невозмущенная форма (отвечающая 8 = 0) предполагается точной ono—dH, где Я — голоморфнай функция. Пусть уравнение то==0 имеет семейство неодносвязных интегральных кривых. Роль y (с) играет комплексный цикл,, представленный замкнутым путем на неодносвязной интегральной кривой формы шо, путь непрерывно (а кривая голоморфно) зависит от комплексного параметра 8. [c.114]

С л едствие. Список особенностей границы области неосцилляционных уравнений, встречающихся в типичных семействах уравнений с некоторым числом параметров, совпадает со списком особенностей типичных сеченнй шлейфа с тем же числом параметров. [c.162]

Согласно подходу Ферми [3], можно рассуждать следующим образом. В случае устойчивости в каждой окрестности начала координат Я лежит одпосвязпая инвариантная относительно б окрестпость 8. Примем теперь, что 8 имеет границу, которую можно представить уравнением Р х, у) = 0. Если написать такое уравнение для семейства окрестностей Я = зависящих от параметра 7, то получится семейство уравнений Р х, у, 7) = 0. Если эти уравнения удастся разрешить относительно 7 и если уравнение (р х, у) = 7, кроме того, будет аналитическим по ж и у, то этим будет доказано существование сходящегося инвариантного степенного ряда, так как при отображении б каждая граница ср х, у) = 7 переходит в себя. Наконец, следовало бы установить аналитическими методами, что в общем случае сохраняющее объем преобразование б пе имеет сходящегося инварианта. Этим самым было бы доказано утверждение, что в общем случае устойчивости не будет. Попытки провести строгое доказательство этого утверждения представляются нам довольно безнадежными. Пока даже пе доказано, что границей 8 является кривая, Биркгоф, используя приемы доказательства своей теоремы о неподвижной точке, пытался показать, что 8 будет при достаточно малой окрестности Я звездообразной, если формальный степенной ряд и, входящий в нормальную форму (12), не сводится то.пько к свободному члену, и что тогда граница С области 8 может быть представлена в полярных координатах г, I с помощью схо- [c.289]

Фазовый портрет упрощенного уравнения (26) представляет собсхй достаточно "грубый" геометрический образ, несущий в себе многие характерные чертьт такого же образа для семейства уравнений типа уравнения (23). [c.44]

Кирквуда — Бете) распространяются от пузырька вдоль характеристики первого семейства dridt = и + j, где j — скорость звука в чистой жидкости. Эти гипотезы, по-видимому, выполняются при рсх, onst (см. обсуждение (4.2.41) и (4.2.42)). Гипотеза Триллинга — Херринга приводит к уравнению [c.269]

Пользуясь начальными условиями (5.8) и (5.9), принадлежащими к условиям типа Коши, уравнения характеристик (5.7) можно построить хорошо известным способом (см., например, книгу Прагера и Ходжа [36]). На рис. 5.1 показано лишь небольшое число кривых, принадлежапшх к каждому семейству характеристик. Характеристики GA и GE, проходящие [c.50]

Следует заметить, что уравнения (5.6) имеют тот же вид, что и основные уравнения поля линий скольжения в случае плоского течения жестко-идеально-пластических тел (см., например, [36]). Таким образом, стержни оптимальной фермы образуют сетку Генки — П ранд тля численные и графические методы, развитые для построения сеток этого типа, могут использоваться и для данных задач (см., например, книгу Хилла [38] и работу Прагера [39]). Отметим лишь одно из многих замечательных свойств сеток Генки — Прандтля. Касательные к двум произвольным линиям одного и того же семейства линий Генки — Прандтля в точках их пересечения с линией другого семейства образуют друг с другом угол, который не [c.51]

Модель Ньюмена, учитывающая чисто диффузионный механизм массоперепоса в газовой фазе, может быть применена только для очень маленьких газовых пузырьков, диаметр которых не превышает 0.3 мм. Согласно эксперимента.льным данным [841, в пузырьках газа диаметром более 0.3 мм существует развитое течение газа, представляющее собой вихрь Хилла (см. рис. 6). Рассмотрим модель массопереноса, учитывающую наличие циркуляционного течения внутри газовых пузырьков [82 ( (модель Кронига — Бринк). Будем считать, что Ре со. Перейдем в уравнении (6. 1. 1) с краевыми условиями (6. 1. 2) —(6.1.4) и замыкающими соотношениями (6. 1. 5), (6. 1.6) к криволинейной системе координат (рис. 74). Семейство координатных линий I здесь выбрано таким образом, чтобы оно с точностью до постоянного множителя совпадало с линиями тока [)р=соп81. Второе семейство координат ортогонально первому [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...