Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...

Статьи Чертежи Таблицы О сайте Реклама

Вариационное уравнение задачи

Подставляя в (16.114) вместо Nij, УЙ,-/ их выражения (16.112), получаем основное вариационное уравнение задачи  [c.359]

Вариационные уравнения задачи в форме Бубнова имеют вид (5  [c.143]

Вариационное уравнение задачи  [c.115]

ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАДАЧИ 117  [c.117]

Можно показать, что любое решение задачи (2.404), (2.431) удовлетворяет вариационному уравнению  [c.114]

Из теоремы II. 1 приложения II следует существование и единственность решения задачи (2.463) — (2.464) в Ю Q,), из теоремы И.2 —ее эквивалентность задаче минимизации функционала (2.461) на V = /7 (Q), из теоремы 11.3 —задаче решения вариационного уравнения (2.462) на Н 0.).  [c.118]


Любое решение задачи (5.241) — (5.243) удовлетворяет, таким образом, интегральному тождеству (5.244) обратно, любой элемент а, удовлетворяющий интегральному тождеству (5.244) (которое называется также вариационным уравнением) и обладающий вторыми производными, представляет собой решение задачи (5.241) — (5.243). Таким образом, не всякое решение вариационного уравнения (5.244) — решение исходной задачи (5.241) —  [c.272]

По аналогии с тем, что было сделано в задачах линейной теории упругости (см. 1.4) и деформационной теории пластичности (см. 5.5), решение интегрального тождества (вариационного уравнения) (5.284) называют обобщенным решением задачи (5.271), (5.272), (5.274), (5.283)  [c.279]

Таким образом, решение задачи в дифференциальной постановке удовлетворяет вариационному неравенству, вытекаюш,ему из вариационного уравнения (5.367) и неотрицательности пар слагаемых (5.368)  [c.293]

Краевую задачу (5.430) удобнее заменить (определить) интегральным тождеством (вариационным уравнением)  [c.303]

Как было отмечено в предыдущем параграфе, а также в 2.14, линейные задачи механики сплошной среды могут быть представлены л виде вариационного уравнения (интегрального тождества, принципа возможных перемещений и т. д.)  [c.331]

Вариационное уравнение для решения динамических задач механики трещин  [c.323]

Наряду с основными дифференциальными уравнениями механики деформируемого твердого тела в учебнике изложена вариационная формулировка задач, которая имеет особенно важное значение при построении приближенных методов, используемых как в теории упругости и пластичности, так и в строительной механике.  [c.3]

Как уже было показано (см. гл. V, 6), вариационное уравнение (5.63) влечет за собой выполнение условий совместности Бельтрами, которые в случае задачи кручения выражены уравнением (7.33). Легко установить, что уравнение Пуассона (7.33) является следствием вариационного уравнения (7.229), т. е. представляет собой уравнение Эйлера — Остроградского для функционала (7.228). Действительно, исходя из уравнения (7.229), имеем  [c.178]

Выше нигде не предполагалось, что операторное уравнение (12.1) или эквивалентное вариационное уравнение (12.2) имеет решения, да это, вообще говоря, и неверно. Приведем пример Вейерштрасса, иллюстрирующий сказанное. Ставится задача о минимизации интеграла  [c.138]


Итак, матрица системы уравнений (13.18) сформирована. Таким образом, основные этапы МКЭ продемонстрированы. Это — вариационная постановка задачи, вычисление глобальных матриц жесткости и массы через соответствующие матрицы элементов, решение в которых аппроксимируется линейными функциями, приведение нагрузки (правая часть уравнения) в узлы, обеспечение граничных условий. В результате исходная задача сводится к решению систем уравнений (13.18).  [c.168]

Принимая часть естественных условий вариационной задачи за предварительные условия, мы получим вариационные уравнения или вариационные принципы более частного характера, когда функционал зависит от меньшего числа варьируемых параметров-  [c.255]

Элементарная теория, изложенная в гл. 3 и 4, основывалась на гипотезах, введенных ad ho и обоснованных лишь некоторыми соображениями качественного характера. Здесь мы получим те же уравнения, отправляясь от общих законов теории упругости. Наиболее надежный путь построения приближенных теорий, который будет использован в настоящей главе, состоит в том, что за основу принимаются вариационные уравнения теории упругости в одной из форм, приведенных в 8.7. После этого делаются некоторые предположения о характере распределения перемещений или напряжений (или того и другого независимо). Дифференциальные уравнения приближенной теории получаются как уравнения Эйлера вариационной задачи для функций от переменных, число которых меньше трех.  [c.386]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью  [c.390]

Для решения задач устойчивости, как мы уже выяснили, уравнения равновесия должны составляться для деформированного состояния упругого тела. Соответственно, применяя вариационное уравнение, в нем необходимо удерживать квадратичные члены в формулах для деформаций, как это было сделано для общей теории в 12.2 и для задачи об устойчивости стержня в 12.3. В задачах изгиба пластин достаточно удерживать те квадратичные члены, которые зависят от прогиба w, производные от перемещений мы сохраним лишь в первой степени. Повторяя вывод 12.4, мы найдем, что формулы (12.4.3) сохранят силу и в этом случае, но компоненты деформации срединной поверхности нужно будет вычислять по формулам  [c.411]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение  [c.277]


Исключение времени из интеграла, рассматриваемого при получении принципа наименьшего действия, должно производиться обязательно при помощи принципа живой силы, а не при помощи принципа площадей или какого-либо другого интегрального уравнения задачи только таким путем можно придти к принципу наименьшего действия. Лагранж в одном месте говорит, что он в Туринском Мемуаре вывел дифференциальные уравнения движения из принципа наименьшего действия в соединении с принципом живых сил. Такой способ выражения после сделанных выше замечаний не допустим. Лагранж применил только что открытое им вариационное исчисление к использованному уже Эйлером принципу наименьшего действия, но употребил при этом принцип живых сил в расширенном виде, приданном  [c.303]

Несколько в стороне стоит метод малого параметра, позволяющий немного расширить область применения ранее найденных решений его можно применять как в дифференциальных, так и в вариационных уравнениях задачи. Так, зная осесимметричные решения, можно с помощью этого метода рассмотреть задачи, близкие к осесимметричным (по нагрузкам или по очертаниям тела, по неоднородности и т. д.). Этод- прием не позволяет заметно расширить область решения. Лишь немногие задачи этого типа представляют реальный интерес для приложений сюда можно отнести задачу о слегка овальных и эксцентричных трубах, задачу о вращении слегка эксцентричного диска и т. д.  [c.117]

Метод решения вариационного уравнения Лагранжа. Уравнение Лагранжа (6.41) дает удобный метод приближенного решения задач МДТТ без дифференцирования напряжений. Это особенно важно при решении задач теории пластичности. Представим выражение Oijbeij в виде  [c.128]

Если считать, что уравнения равновесия (9.75) типа плоской задачи теории упругости заранее удовлетворены (например, Nii = = onst), то вариационное уравнение Бубнова — Галеркина упрощается  [c.205]

Интерес представляет вариационное уравнение, соответствуюи1ее задаче (2.436), (2.447) оно получается умножением уравнения (2.436) на произвольный элемент и е V, интегрированием результата по х в пределах от О до / н двукратного применения формулы интегрирования по частям  [c.116]

Вариационная формулировка задачи теории упругости используется главным образом в двух с.пучаях. В первом на основе уравнения бЭ = О строятся численные методы решения этой задачи (метод Ритца, метод конечных элементов и т. п.). Все эти методы относят к классу прямых методов решения задач теории упругости, не требующих в явной форме использования дифференциальных уравнений.  [c.57]

По выражению (3.37) можно варьировать напряжения в теле с помощью и параметров X, (i = l, 2,. . ., п), т. е., как и в методе Ритца, от континуальной задачи мы перешли к дискретной для системы с п степенями свободы. Вычислив U, получим функцию U = = и (Xi, р) i = i, 2, п). Из вариационного уравнения (3.34)  [c.65]

В гл. 3 было показано, что задачи теории упругости допускают как дифференциальную формулировку, так и вариационную об отыскании таких функций, которые сообщают некоторому функционалу Э стационарное значение, когда вариация ЬЭ = 0. В связи с применением ЭВМ в решении сложных задач прикладной теории упругости в последние два-три десятилетия было установлено, что конечно-разностные аппроксимации во многих случаях предпочтительнее сочетать именно с вариационной постановкой задачи. Это позволяет удобно алгоритмизировать все этапы расчета, избежать вывода дифференциальных уравнений в сложных случаях, упрощает формула ровку граничных условий [1,5].  [c.247]

Вариационное уравнение дает возможность получения приближенного решения задачи теории пластичности прямыми вариационными методами, в частности методом Ритца.  [c.307]

В некоторых задачах (кручение и изгиб авиационных профилей и др.) эффективен своеобразный смешанный метод, разработанный Л. С. Лейбензоном, М. Канторовичем и др Он состоит в том, что искомые функции представляют в виде произведения двух функций, из которых одна известная, причем подбираемая так, чтобы частично удовлетворить граничные условия другая же функция неизвестная, зависящая от меньшего числа переменных, и ее следует определять при помощи вариационного уравнения.  [c.66]

В настоящем параграфе и в 3.7 изложение проводится применительно к декартовой системе координат и ограничивается случаем статического равновесия и отсутствием температурного эффекта. Построение вариационного уравнения Лагранжа применительно к четырехмерной задаче (при наличии термоэффекта) и в ортогональной криволинейной системе координат дано в оригинальной работе А. Е. Крушевского [48], к которой и отсылаем читателя, особенно интересующегося расчетом сложных корпусных деталей машин.  [c.71]

Другая вариационная постановка задачи кручения бруса базируется на принципе минимума потенциальной энергия системы (см. гл. V, 5). В этом случае приходим к функционалу /7, уравнением Эйлера—Остроградского которого является уравнение Лапласа (7.54) для функции кручения ф (оно получено из уравнений равновесия Ламе), естественными граничными условиями — граничные условия (7.55) для функции ф. Читателю, желаю1Цему ознакомиться с такой постановкой вариационной задачи кручения, можно рекомендовать книгу [35].  [c.179]

Таким образом, метод Ритца—Тимошенко позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения (7.17) задачей о нахождении минимума потенциальной энергии. Такая замена возможна в связи с тем, что как дифференциальное уравнение изгиба пластинки (7.17), так и вариационное уравнение (з) являются уравнениями равновесия упругого тела. Покажем, что вариационное уравнение (з) включает в себя дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. Рассматривая вариационное уравнение (з) в форме  [c.157]


Вариациопные принципы и основанные на них вариационные методы играют важную роль в механике деформируемого твердого тела как в части получения дифференциальных уравнений задач, так и в части построения приближенных решений. К методам получения прнближеш1ых решений относятся методы Ритца — Тимошенко, Канторовича — Крылова, Бубнова — Галеркина и др. В основе всех этих методов лежат излагаемые ниже вариационные принципы в той или иной их комбинации. Хотя получение приближенных решений на основе этих методов при наличии мощных ЭВМ постепенно отходят на второй план, они все еще находят применение. В процессе применения ЭВМ на подготовительном этапе есть необходимость задачу интегрирования систем дифференциальных уравнений свести к задаче решения систем алгебраических уравнений. В этой части вариационные методы завоевывают все более и  [c.186]

Существуют два основных численных. метода решения уравнений в частных производных метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они отличаются сп н обами получения системы уравнений для значений искомых функций в узловых точках. Метод конечных разностей базируется непосредственно на дифференциальном уравнении и граничных условиях, а метод конечных элементов — на эквивалентной вариационной постановке задачи.  [c.69]

Резюме. Канонические уравнения Гамильтона могут рассматриваться как решение задачи Лагранжа с подинтегральным выражением особо простой структуры. Переменными в этой вариацион юй задаче являются варьируемые независимо друг от друга qt и р,-. Подинтегральное выражение вариационной задачи приводится к нормальной форме  [c.201]

Это непосредственно следует из равенств (24 ), (25 ), так как вариационное уравнение ЗЛ = О, которое при Е = onst определяет связку траекторий для данной задачи, в силу уравнения (27 ) можно написать в виде  [c.415]


Смотреть страницы где упоминается термин Вариационное уравнение задачи : [c.115]    [c.123]    [c.159]    [c.163]    [c.200]    [c.129]    [c.316]    [c.382]    [c.858]   
Смотреть главы в:

Статика упругих тонкостенных стержней  -> Вариационное уравнение задачи



ПОИСК



95 — Уравнения установившаяся 107, 108 — Задачи основная н смешанная 102: Уравнении 97, 100 — -Уравнения — Методы решения 102104 — Уравнения вариационные

Вариационная формулировка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений

Вариационное уравнение для решения динамических задач механики трещин

Вариационные методы решения задач по теории изгиба пластинок Сущность вариационных методов решения дифференциальных уравнений

Вариационные принципы. Узкие слои. Гармонические отображения. Системы из трех уравнений Гидродинамические задачи

Вариационный принцип ДАламбера-Лагранжа в задаче о движении идеальной несжимаемой жидкости Поле реакций связей. Уравнение Эйлера

Вариационных задач дифференциальные уравнения

Задача вариационная (задача

Использование вариационных принципов для анализа и решения задач теории упругости и теории оболочек Различные формы вариационных уравнений теории упругости и теории оболочек

Об использовании вариационных уравнений для приближенного решения задач теории оболочек

Общие уравнения теории упругости и постановка основных задач. Важнейшие вариационные принципы

Ползучесть неустановнвшаяся Задаче при заданных нагрузках 518 Уравнения вариационные — Решение

Постановка задачи теории пластичности, вариационное уравнение и уравнения равновесия

Приложение вариационного уравнения Кастильяно к задаче о кручении призматического бруса

Приложение вариационною уравнения Кастилиано к плоской задаче при заданных на контуре сечения усилиях

Ряд вариационный

Термояязкоупругость - Вариационные формулировки задач 192-194 - Динамические задачи 187-190 - Основные уравнени

Уравнение вариационное в форме Галёркин приложение к плоской задаче при

Уравнения Эйлера вариационной задачи

Элементарный вывод уравнения Эйлера для простейшей вариационной задачи



© 2025 Mash-xxl.info Реклама на сайте