Вариационная задача двойственная

Здесь G (a) - общая потенциальная энергия напряжений. Вторая переменная Л ст представляет собой заданные объемные силы в J2, а функция F (-A a) совпадает с индикаторной функцией множества К, т.е. она равна нулю для а К и + > для остальных тензоров а [14]. Поэтому двойственная вариационная задача принимает вид sup [—(7 (а)]. Эта задача соответствует принципу максимума дополнительной энергии. В [14] указаны условия существования и единственности решения исходной задачи ы и существования решения двойственной задачи а. Для этих решений справедливо равенство функционалов J (ы, Л ) =/ (Л а, а), а также экстремальное соотношение [c.144]

Из табл. 4.4 видно, что в исходной и двойственной вариационных задачах предварительные и естественные условия экстремальности соответствующих функционалов обладают свойством взаимности. На возможной площадке контакта такими двойственными условиями являются неравенства (4.4) и (4.5). В случае контакта двух деформируемых тел статическое условие (4.5) дополняется условием (4.7) в ограничениях множества и в условиях экстремальности функционалов. Физические соотношения в форме (4.3) позволяют использовать приведенные вариационные постановки контактных задач для нелинейных и анизотропных тел. [c.144]

Находясь в рамках применимости линейной теории, можно сформулировать другой вариационный принцип, двойственный к вариационному принципу виртуальной работы для задачи теории упругости, поставленной в 1.1. Рассмотрим тело, находящееся в состоянии равновесия при заданных массовых силах и граничных условиях, и обозначим компоненты деформации и перемещений в этом теле через е .,. .., и и, v, w соответственно. Очевидно, что [c.34]

Можно доказать (см. [17, 34]), что, если пара (й,р ) является седловой точкой лагранжиана Ь(у,р ), то элемент й — решение исходной вариационной задачи, элемент р — решение задачи (83), которую называют сопряженной (или двойственной) к исходной задаче минимизации функционала J(v) на множестве К кроме того, операции нахождения нижней и верхней грани в задаче (88) можно поменять местами. [c.110]

Мы будем называть эту формулировку (модельной задачи) двойственно-основной формулировкой, а двойственно-основной задачей—соответствующую задачу о седловой тО же илн вариационную задачу. [c.400]

Во второй главе задача расчета термоизоляции сведена к решению соответствующей задачи теплопроводности при принятых условиях теплообмена с окружающей средой или теплоносителем с учетом (в общем случае) зависимости теплофизических характеристик термоизоляторов от температуры. Дана математическая формулировка задач теплопроводности в дифференциальной и интегральной (в частности, в вариационной) формах для теплоизоляционной конструкции в виде неоднородного анизотропного тела произвольной формы, и рассмотрены основные методы решения таких задач. На основе вариационной формулировки задачи теплопроводности построены двойственные оценки таких важных интегральных характеристик теплоизоляционной конструкции, как ее термическое сопротивление, проходящий через нее суммарный тепловой поток, средние температуры поверхностей теплообмена. [c.4]

Наличие двойственной вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности на основе функционалов (2.48) и (2.50) позволяет получить интегральную оценку погрешности приближенного решения по разности [12] aJ = J(T) - J(T, q). Чем ближе приближенные распределения температуры Г и компонентов плотности теплового потока к истинным распределениям, тем ближе между собой значения J(T) и J(T, q) и меньше 52 [c.52]

Двойственную вариационную формулировку стационарной задачи теплопроводности в некоторых случаях удается применить для оценки эффективной теплопроводности композиционных материалов и пористых термоизоляторов. Пусть композиционный материал состоит из наполнителя с теплопроводностью Я.1 и матрицы с теплопроводностью Х.2, причем объемное содержание матрицы составляет р. В случае пористого термоизолятора р будет соответствовать пористости, - теплопроводности скелета, а 2 - теплопроводности среды в порах. [c.58]

Способ разделения неоднородного тела на однородные части изотермическими или адиабатическими поверхностями (или их комбинацией), как это было сделано в рассмотренном случае при задании допустимых для функционалов (2.71) и (2.72) распределений температуры и вектора плотности теплового потока соответственно, нашел широкое применение при определении эффективной теплопроводности неоднородных материалов со сложной структурой [5]. Анализ получаемых при этом формул для X.j,3 и Хад введением соответственно изотермических и адиабатических поверхностей показывает, что всегда А. з А. д. Эквивалентность этого способа двойственным оценкам термического сопротивления неоднородного тела на основе вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности дает возможность строго обосновать правомерность такого результата. Кроме того, использование вариационного подхода при более близких к реальным неодномерных допустимых распределениях температуры и плотности теплового потока позволяет более точно определить эффективную теплопроводность неоднородных материалов и одновременно оценить максимально возможную погрешность получаемого результата. [c.60]

Двойственные вариационные принципы в контактных задачах без трения сформулированы А. С. Кравчуком . Невариационный численный метод для конструкционно нелинейных контактных задач предложен Б. А. Галановым Методы конечных и граничных элементов разработали А. Н. Подгорный и др. Примеры численного решения контактных задач можно найти в работах и др. [c.65]

Известное сходство с утверждением 4 можно обнаружить в изо-периметрических задачах вариационного исчисления, для которых справедлив принцип взаимности, однако там существенно требование, чтобы интегральное ограничение само не обращалось в экстремум на искомой экстремали [12]. Другую аналогию можно найти в двойственных задачах выпуклого программирования, но там имеет место лишь пара сопряженных задач [22]. [c.177]

Теперь мы дадим несколько примеров задач, в которых можно построить двойственные вариационные принципы. [c.45]

В гл. 2 было приведено несколько примеров таких задач, для которых справедливы двойственные вариационные принципы. Почти во всех случаях численное решение таких задач с помощью метода конечных элементов основывается на принципе минимума, а не на принципе максимума. Вообще говоря, это происходит потому, что принцип минимума легче реализовать практически. Сейчас мы решим с помощью метода конечных элементов одну простую задачу, используя сначала принцип минимума, а затем принцип максимума, и сравним полученные результаты. [c.194]

Метод численного решения. При численном решении контактной задачи область, занимаемая контактирующими телами, расчленяется по поверхности контакта на подобласти, и для них последовательно решаются краевые задачи с известными граничными условиями на Г и Г (4.1), (4.2) и смешанными граничными условиями на Г , уточняемыми в процессе итераций. Процесс решения, в свою очередь, расчленяется на два чередующихся этапа а - поиск границы площадки контакта к б - уточнение ее конфигурации в пространстве. На каждом из этих этапов используется двойственная вариационная постановка контактной задачи (см. табл. 4.4). При решении вариационной задачи считаются выполненными предварительные условия экстремальности соответствующего функционала, однако в процессе итерации могут нарушаться естественные условия экстремальности. Так как истинное решение задачи (й, ст) принадлежит произведению множеств VXKk имеет место равенство [c.144]

При решении вариационных задач с ограничениями, в частности контактных задач теории упругости с односторонними ограничениями, широко применяются методы теории двойственности [48, 72, 338, 335, 420 и др.]. Г огда задача решения вариационного неравенства с ограничениями может быть сведена к задаче отыскания седловой точки некоторого функционала. В частности, задача решения вариационного неравенства (4.53) эквивалентна задаче нахождения infsup, т. е. седловой точки функционала [c.101]

Двойственность в вариационных задачах. Двусторонние оценки точ ной нижней грани функционала. Двойственность по Касти.гъяно. Метод размораживания дифференциальных связей. Оценки снизу коэффициента предельной нагрузки. [c.86]

В отличие от задач без трения, которые могут быть сведены к решению вариационных неравенств или к задаче минимизации выпуклого функционала на вьшуклом множестве ограничений, содержащем ограничения в виде неравенств, контактная задача с трением сводится к решению квазива-риационного неравенства. В работе [29] приведен итерационный процесс решения такого неравенства, а также дан алгоритм практического решения задачи, основанный на идее двойственности. Решение задачи проводится с помощью алгоритма типа Удзавы. На каждой итерации решается задача, эквивалентная обычной задаче теории упругости с граничными статическими условиями на Гк, причем последовательно уточняются как напряжения а , так и напряжения а . Для определения этих напряжений по данным предьщущей итерации применяются операторы ортогонального проектирования на множество Стр<0, Эти операторы имеют вид [c.152]

Помимо оценки погрешности приближенного решения наличие вариационной формулировки задачи позволяет получить двойственную оценку (сверху и снизу) некоторых важных интегральных характеристик, связанных с температурным состоянием тела. Пусть в (2.48) = X (Р), = Г(Р) и<7 =q (P) = = QyiP), Р е V / = /tP") - а Р) ПР), Р" S" =Д S , а на контактной поверхности S q s о и тепловой контакт является идеальным, т.е.Д = /р = О- Тогда вместо (2.48) можно написать [c.54]

Вариационная формулировка задач теории пластичности дает возможность строить эффективные оценки точности приблил енного решения. Используя двойственную формулировку задачи, мон но оценить минимальное значение функционала. Вычисляя затем значение функционала на приближенном решении для сильно выпуклых функционалов, получаем с помощью неравенств типа Кларксона оценку погрешности решения в энергетической норме ( 6). [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...