Задача вариационная свободная

Задача вариационная свободная 65 [c.401]

В вариационной задаче 1 свободна только функция а у). Поэтому удобно рассмотреть (рис. 3.8) плоскость у, а. [c.75]

В предыдущих разделах изучались вариационные задачи для внешних течений. В следующем разделе будут рассмотрены внутренние течения и задачи со свободным концом искомого контура. [c.132]

Поскольку новая вариационная задача является свободной, без каких бы то ни было дополнительных условий, нет причин, препятствующих использованию t в качестве аргумента. В результате получаем интеграл действия [c.165]

Этот изящный математический прием имеет неожиданную и вместе с тем поучительную физическую интерпретацию. То обстоятельство, что после изменения функции Лагранжа L вариационная задача становится свободной, означает, что мы опускаем имеющиеся кинематические связи и рассматриваем механическую систему так, как если бы связей не было. При этом, однако, замена функции V на V означает, что мы добавляем к потенциальной энергии приложенных сил потенциальную энергию сил, обеспечиваюш их удовлетворение заданных связей. Эти силы задаются выражениями [c.169]

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЖИДКОСТИ [c.347]

Выведенные до сих пор вариационные принципы касались краевой задачи теории упругости. В последних двух параграфах этой главы рассмотрим вариационные формулировки задачи о свободных колебаниях упругого тела при малых перемещениях. Задача формулируется так, что тело свободно на 5 и закреплено на S . Поскольку мы ограничиваемся случаем малых перемещений, все уравнения задачи линейны, а перемещения и напряжения в теле изменяются гармонически во времени. Обозначив амплитуды напряжений, деформаций и перемещений через. ......., и, [c.66]

Конечно, также можно дать вариационные формулировки и для задач о колебаниях упругих пластин [39—41 ], хотя в данной главе мы не касались этой темы. Вариационные принципы применялись для решения задачи о свободных колебаниях неизотропных прямоугольных кварцевых пластин с вырезом [421. Заметим также, что автоколебания или вынужденные колебания пластин, обусловленные аэродинамическими силами, являются одной из центральных проблем аэроупругости [43, 44). Некоторые задачи на эту тему представлены в упражнениях в конце этой главы (см. задачи 14—17). [c.248]

Большой интерес представляет также задача о свободно опертой пластине, в которой одно краевое условие главное, а другое естественное. Как и в задаче для уравнения Пуассона с косой производной, вид естественного краевого условия будет зависеть от вида вариационного интеграла l v). В теории упругости естественное краевое условие включает коэффициент Пуассона V, определяющий изменение ширины при растяжении материала в длину обычно выбирают v = 0,3. Краевые условия, определяемые физическими соображениями, таковы [c.89]

Из сказанного видно, что при схеме течения, изображенной на рис. 3.41, функция а(ф) выражается через (р ф) независимо от полного решения задачи 6, что сокращает количество свободных функций на единицу. Видоизменение задачи б может быть произведено добавлением уравнений (3.37)-(3.39), (3.43) в качестве дополнительных связей. Такое преобразование является правомерным в силу независимости определения связи между функциями а ф) и ф ф) от условий задачи 6. Подчеркнем, что это преобразование не относится к инволюционным преобразованиям, правомерность которых для вырожденных вариационных задач в настоящее время не изучена. [c.151]

Итак, установлено, что количество свободных функций в задаче 6 может быть уменьшено на единицу. Самого преобразования вариационной задачи производить не будем, а упомянутые связи получим при ее решении. [c.152]

Последний член в подынтегральном выражении несуществен для формулировки вариационной задачи, но нужен для вычисления полной свободной энергии. [c.202]

Таким образом, при некоторых определенных условиях решение задачи о равновесии упругого тела может быть сведено к решению вариационной задачи о нахождении функций, дающих экстремум некоторому функционалу (для изотермических процессов — полной свободной энергии). [c.392]

Естественно сначала исключить одну из переменных — например, и — при помощи дополнительного условия, выразив ее через остальные и . Тогда мы получим функцию гг — 1 переменных Wi, Un-i, которую можно уже исследовать методами свободной вариационной задачи. Этот способ вполне оправдывает себя, а иногда оказывается и наиболее простым. Однако очень часто исключение переменных является чрезвычайно обременительной задачей. Кроме того, условие (2.5.2) может быть симметричным относительно переменных и ,. .., тогда, вообще говоря, нет никаких оснований искусственно выделять одну из переменных в качестве зависимой, выражая ее через остальные как через независимые переменные. [c.66]

Так как остались только те Ьи ., которые могут быть выбраны произвольно, то теперь применимы условия свободной вариационной задачи. Поэтому коэффициенты при всех б ,, должны равняться нулю [c.67]

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа сводит вариационную задачу с дополнительными условиями к свободной вариационной задаче. Функция F, для которой ищется стационарное значение, преобразуется путем прибавления левых частей дополнительных условий, каждая из которых умножается предварительно на некоторый неопределенный множитель К. Вариационная задача для преобразованной функции решается как свободная. Получающиеся условия стационарности вместе с имеющимися дополнительными условиями определяют искомые значения переменных и множители X. [c.70]

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет избежать исключения лишних переменных при наличии дополнительных условий и учитывает дополнительные условия без уменьшения числа переменных. Подинтегральное выражение L заданной вариационной задачи преобразуется путем прибавления левых частей имеющихся дополнительных условий, каждое из которых умножается предварительно на множитель X. Полученная новая задача рассматривается как свободная вариационная задача. Множители Я определяются затем как функции t путем удовлетворения имеющихся дополнительных условий. [c.88]

Это означает, что мы снова сумели перевести вариационную задачу с условиями в свободную вариационную задачу, заменив первоначальную функцию L на [c.91]

Если интересоваться тем, как свободная частица будет двигаться в криволинейной системе отсчета, то приходится решать вариационную задачу с функцией Лагранжа [c.372]

Сопоставим с формулой (30) формулы (24 ), (25 ) точнее, рассмотрим наряду с вопросом оптики элементарную динамическую задачу о движении свободной материальной точки (с массой, равной 1), находящейся под действием консервативной силы, имеющей потенциал U x, у, г). Любая связка динамических траекторий такой задачи определяется (п. 17) вариационной формулой [c.420]

Ниже мы рассмотрим вариационную постановку задачи о динамическом росте трещины в линейно-упругих, а также нелинейных (упругих или неупругих) телах. Вначале исследуем динамику развития трещины в линейно-упругом материале. Рассмотрим два момента времени t и + в соответствии с которыми переменные, описывающие поля, обозначаются индексами 1 и 2. Пусть в момент времени ti объем тела будет l/ , внешняя граница тела с заданными нагрузками Т будет 5<л, поверхность трещины равна 5 . Предположим, что между моментами ti и ta площадь трещины изменяется на AS = S 2 — 5 . Для простоты считаем, что поверхность трещины свободна от приложенных нагрузок. Более общий случай, учитывающий объемные силы и нагрузку, приложенную к поверхности трещины, рассмотрен в [9, 10]. Принцип виртуальной работы, определяющий движение твердого тела между моментами ti и г г, когда происходит рост трещины, определяется следующим образом 19,10 [c.274]

Метод Ритца. Задача о свободных колебаниях жидкости в неподвижном сосуде может быть сведена к вариационной задаче bL = О для функционала [12, 13] [c.291]

Задача о свободных колебаниях жидкости в объеме V сводится к вариационной задаче для функционала (6.3.28). Для ее рещения удобно воспользоваться методом Ритца. Идея метода заключается в следующем. [c.348]

В предыдущем параграфе мы ознакомились с вариационными принципами для задачи о свободных колебаниях. Когда установлены вариационные принципы, то удобно использовать метод Релея — Ритца, который является эффективным средством нахождения приближенных собственных значений. Взяв за основу этот метод, рассмотрим в качестве примера задачу о свободных колебаниях балки. [c.69]

В главе строится нелинейная теория жесткогибких оболочек без использования гипотез Кирхгофа. Ее главное отличие от квази-кирхгофовской теории (гл. 3) и теории типа Тимошенко-Рейсснера (гл. 9) заключается в учете вариаций параметров поперечного обжатия Статическая гипотеза заменяется известным приемом подчинения нормальных поперечных напряжений граничным условиям на лицевых поверхностях оболочки. Поперечные сдвиги учитываются по линейной теории, что естественно для тонких жесткогибких оболочек. Показано, что в граничном вариационном уравнении Лагранжа независимыми являются вариации, вообще говоря, шести геометрических величин — компонент вектора перемещения и их производных по тангенциальной нормали к граничному контуру. Как частный случай получены уравнения уточненной теории пологих оболочек. На примере показано, что слагаемые, связанные с вариациями параметров А , могут иметь принципиальное значение для контактных задач со свободной границей. [c.232]

Задача II является изопериметрической задачей вариационного исчисления. Граничные условия для функции у х), вообш е говоря, неизвестны, и поэтому эта зада ча является задачей на свободный экстремум. Пользуясь данным специальным видом функционала I (4) для заданных Mi и эту задачу можно свести к решению системы большого числа трансцендентных уравнений. Фактическая реализация этого спосо ба построения сеток довольно сложна и трудоемка, поэтому ниже будет описан один простой алгоритм построения сеток, который легко применять на практике. [c.491]

Для класса прямолинейных движений уравнение И. В. Мещерского содержит одну свободную (управляющую) функцию — закон изменения массы точки. Если принять дополнительную гипотезу о постоянстве относительной скорости отбрасываемых частиц (гипотеза Циолковского), тогда закон изменения массы точки однозначно определяет программу изменения тяги реактивного двигателя. Задача определения законов изменения массы точк№, при которых некоторые интегральные характеристики движения становятся оптимальными, есть по существу задача оптимального программирования величины тяги двигателя. Как было показано в 2 этой главы, задачи программирования тяги ракетного двигателя, обеспечивающего Ящах, сводятся или к простейшей задаче вариационного исчисления, или к вариационным задачам на условный экстремум. [c.171]

Что касается аппроксимации задач четвертого порядка на областях с криволинейными границами, то упомянем работу Мэнсфилда [6], где рассматривается, кроме того, эффект численного интегрирования. Его подход аналогичен использовавшемуся у Сьярле, Равьяра [3] для задач второго порядка. Криволинейные изопараметрические конечные элементы нового типа предлагаются Робинсоном [1]. В случае задачи о свободно опертой пластине (см. упр. 1.2.6) упомянем парадокс Бабушки (см. Бабушка [1], а также Биркгоф [1]) В противоположность задачам второго порядка нельзя получить сходимость аппроксимации, если криволинейная граница заменяется ломаной. Это происходит потому, что краевое условие А -(1—а)3 = 0 на Г (которое включается в вариационную формулировку) заменяется тогда на краевое условие ду и — О. [c.368]

Во всех рассмотренных до сих пор осесимметричных потоках азимутальная составляющая вектора скорости отсутствовала. Это являлось отраничением в постановке вариационных задач, но отказ от ограничений может только улучшить решение. Обратимся к закрученным осесимметричным течениям и покажем на простейшем примере, что закрутка потока действительно может увеличить силу тяги сопла при прочих равных условиях. При этом азимутальная составляющая скорости не будет рассматриваться как свободная функция, она просто будет задаваться. [c.143]

Решать простые задачи такие, которые могут быть с успехом решены, например, традиционными вариационными методами, методом конечных элементов вряд ли целесообразно. Этот метод является весьма эффективным, когда рассматриваемый объект имеет спо кные конфигурации (с вырезами, подкреплениями, слоя4ными очертаниями контура) и граничные условия (свободный или частично свободный край, неоднородные условия закрепления и т. д.). [c.227]

Этих уравнений недостаточно для решения задач теори трещин, поскольку необходимо располагать смещениями точек, поверхности трещины. Следовательно, приведенные соотношения являются дополнительными к уравнениям теории упругости, т. е. для решения задачи необходимо решить систему уравнений теории упругости совместно с условием разрушения. Например, к соотношениям (29), (30) можно добавить вариационное уравнение Лагранжа для тела, свободного от заданных нагрузок, но с трещиной, на поверхность которой действуют ри [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...