Ряды вариационные,

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

Несмотря на то, что имеется целый ряд вариационных принципов, связанных с именами Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона, все эти принципы взаимосвязаны, и к ним ко всем подходит название принцип наименьшего действия , если понимать этот термин в широком смысле слова. [c.136]

В книге рассмотрены различные задачи прикладной механики в приложении к расчету конкретных машин в наиболее типичных режимах эксплуатации при запуске, торможении и установившемся режиме работы. Даны рекомендации но выбору расчетных методов определения статических и динамических усилий, приведен ряд вариационных и экстремальных задач прикладной механики машин с подробными решениями, позволяющими выбрать оптимальные режимы работы. [c.2]

В ЕЛ. 1,4 был изложен ряд вариационных методов решения задач механики деформируемого твердого тела. При их использовании аппроксимацию основных неизвестных осуществляли через координатные функции, которые определялись одним выражением для всей рассматриваемой области V, интегралы вычисляли также сразу по всей области. [c.54]

Аналитическое решение уравнений (1.10) и (1.12) возможно провести для однородного двухслойного ВС, а уравнения (1.12) и для среды с параболическим профилем в, т. е. при условии, что в ВС отсутствует однородная оболочка. Для расчета градиентных ВС с другими непрерывными и кусочно-непрерывными ППП разработан ряд приближенных аналитических и численных методов решения задачи (1.9) — (1.10) или (1.12) — (1.13). Это методы ступенчатой аппроксимации, степенных рядов, вариационные и численные. [c.25]

Задача упруго-пластического кручения имеет ряд вариационных формулировок. [c.61]

Заметим в заключение, что задача Галина имеет интересную механическую аналогию с задачей об изгибе пластины [13]. Эта аналогия приводит к ряду вариационных постановок, эквивалентных вариационному неравенству [c.127]

Принципы механики подразделяются еще на невариационные и вариационные. Невариационные законы устанавливают соотношение между величинами, имеющими место для действительного движения. Вариационные устанавливают признаки, отличающие действительное движение от всех других движений, кинематически возможных. Примером вариационных дифференциальных принципов служит принцип возможных перемещений и общее уравнение механики. Известен ряд вариационных интегральных принципов, обладающих различной общностью. Наиболее общим является принцип, установленный Гамильтоном и обобщенный Остроградским, или принцип экстремального действия. [c.211]

Решающее правило 315 Ряды вариационные, см. Вариационные ряды [c.350]

В большинстве случаев вариационные задачи механики оказываются вырожденными. Это приводит к тому, что их решение частично или полностью совпадает с границами области допустимых функций. Метод решения таких задач был разработан и опубликован в ряде статей Охоцимским. Первой из них была работа [2]. [c.45]

Исследование областей, в которых реализуются те или иные решения, удобнее всего производить в плоскости а, в. Ta oe исследование связано с трансцендентными системами уравнений, например, с системой (4.23)-(4.25) или (3.57), (3.58), (3.44), (3.45) и с решениями краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений, например, (1.20), (2.40)-(2,43). Анализ областей существования различных решений в общем виде здесь не представляется возможным. Некоторые необходимые результаты могут быть получены при помощи вычислений. Ряд заключений может быть получен на основании уже имеющихся сведений о решениях вариационных задач. [c.124]

В XIX в. ряд первоклассных открытий был сделан русскими учеными. Среди них в первую очередь следует отметить труды академика Михаила Васильевича Остроградского (1801—1861), которому принадлежат глубокие исследования в области аналитической механики особенно важное значение имеет установление М. В. Остроградским вариационного принципа, эквивалентного в частных случаях принципу, известному под названием принципа Гамильтона . Поэтому русские ученые прошлого века называли его принципом Остроградского — Гамильтона. Это название мы и сохраним в дальнейшем. [c.22]

В заключение заметим, что вариационные принципы механики широко применяются в механике непрерывных сред. Например, в теории упругости вариационные принципы применяются для получения приближенных решений ряда сложных задач. [c.214]

Интегрируя уравнения (б) и (в) либо вариационным методом, либо в бесконечных рядах, получим следующие значения критических нагрузок для первого случая [c.163]

Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [114] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [68]. [c.268]

В 1788 г. появилось сочинение Ж- Лагранжа Аналитическая механика , в котором вся механика была изложена строго аналитически на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. При этом Лагранжем были получены дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах. Дальнейшее развитие аналитических методов, предложенных Лагранжем для исследования движения и равновесия несвободных механических систем, привело к установлению ряда дифференциальных и вариационных принципов механики. [c.16]

Ряд важнейших исследований по аналитическим методам решения задач механики принадлежит знаменитому русскому математику и механику М. В. Остроградскому (1801 —1861). Он установил очень важный вариационный принцип динамики — принцип наименьшего действия, позволяющий сводить изучение движения механических систем к некоторой экстремальной задаче. Этот принцип называется принципом Остроградского — Гамильтона, так как независимо от Остроградского и в несколько менее общем виде он одновременно также был дан английским ученым Гамильтоном (1805— 1865). М. В. Остроградский решил также много частных механических задач в области гидростатики, гидродинамики, теории упругости, теории притяжения и баллистики. [c.16]

И. Г. Бубнов (1872—1919) впервые в 1913 г. изложил новый приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений теории упругости, который широко применялся затем Б. Г. Галеркиным (1871—1945) для решения ряда задач теории упругости. Метод Бубнова—Галеркина, как общий приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений, не связан, вообще говоря, с каким-либо вариационным принципом. [c.109]

При подготовке разделов, посвященных вариационным и разностным методам и динамическим задачам теории упругости, существенную помощь нам оказали И. Ф. Образцов и В. Б. Поручиков. Ряд ценных советов и замечаний по структуре книги и ее содержанию был сделан С. Г. Михлиным. Улучщению всего изложенного материала способствовала внимательная работа над рукописью, проведенная коллективом кафедры теории пластичности МГУ (зав. кафедрой Ю. Н. Работнов) и В. М. Александровым. [c.10]

Подставив ряды (6.156) в уравнения (6.153) и сократив тригонометрические функции, приведем задачу к трем однородным алгебраическим уравнениям с тремя неизвестными для каждого члена разложения. Приравняв нулю детерминант этой системы, найдем определяющее уравнение для частоты собственных колебаний Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [74] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [14]. [c.189]

Этот численный метод заключается в разбиении рассматриваемой области упругого тела на ряд подобластей, в каждой из которых неизвестные иоля имеют простое аналитическое выражение с точностью до нескольких констант. Задача состоит в определении этих констант из вариационных принципов или условий совместности. [c.552]

В ряде задач весьма эффективным оказывается вариационный метод И. Г. Бубнова —В. Г. Галеркина, который применительно к задаче об изгибе пластинок оформляется следующим образом задаются уравнением изогнутой поверхности пластинки [c.135]

Вариационный метод Галеркина требует, чтобы левая часть уравнения (15.1) после подстановки в нее ряда (15.11) (если ряд удовлетворяет всем граничным условиям плиты), была ортогональна ко всем функциям, составляющим этот ряд. [c.389]

Первичная статистическая обработка одномерной совокупности сводится к построению вариационного ряда — расположению статистической совокупности по возрастанию их численных характеристик, построению диаграммы накопленных частот — эмпирического аналога закона распределения и гистограммы — эмпирического аналога функции плотности распределения (см. 2.1). Затем определяются оценки среднего значения, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Рекомендуется следующий способ построения гистограммы. Сначала определяют число интервалов, на которое должна быть разбита ось абсцисс. Число интервалов к приближенно оценивается по полуэмпирической формуле [c.104]

В работе [1821 приводятся результаты усталостных испытаний на консольный изгиб образцов из сплава марки В-95. Длительный предел усталости сплава a j = 200 МПа, испытания проводились при напряжении а ах = 300 МПа. Получен следующий вариационный ряд из 22 членов для числа циклов N до разрушения N. 10- ==0,53—0,65—0,76—0,80—0,87—0,90—0,90— 1,02 — 1,07-, 1,07 — 1,09—1,16—1,22—1,29—1,40—1,57—1,59—1,88—2,07— 2,23—2,23—2,38—2,79. [c.128]

Таким образом, было показано, что поскольку принцип минимума потенциальной энергии выводится из принципа виртуальной работы, он может быть обобщен путем введения множителей Лагранжа и дает ряд вариационных принципов-, включающих принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. п. Это показано в виде диаграммы на табл. 2.1. [c.59]

МЕТОД СКЛЕЙКИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ. В теории конформных отображений установлен ряд вариационных принципов, позволяющих рценить влияние вариации некоторого участка границы на геометрические параметры отображения. Используя гидродинамическую трактовку соответствующих результатов, можно сформулировать принцип локального влияния формы границы изменение формы отдельного участка границы вызывает возмущение потока лишь в некоторой окрестности этого [c.312]

Мы сделали попытку изложить ряд вариационных задач динамики тозди переменной массы в книге Курс теоретической механики , ч. П. М., 1 966, с. 140—248. [c.225]

Целый ряд вариационных задач, приведенных в IV разделе, только сформулирован, и намечены лишь первые шаги последующего детального анализа. Автор надеется, что учащиеся и преподаватели найдут в этих эскизах благодарный и актуальный материал для самостоятельных размышлений. Мы хотели бы обратить внимание читателей на большой класс изопериме-трических задач динамики точки переменной массы, которые имеют практическое значение при решении проблемы перехвата (проблемы рандеву ) для воздушных и космических кораблей. Наш опыт преподавания в Московском университете показывает, что современное студенчество охотно занимается исследованиями вариационных задач механики и выбирает эту проблематику как для своих дипломных сочинений, так и в качестве тем докладов в научных семинарах и кружках. Я уверен, что это вызывается идеальными мотивами, а не серыми разновидностями неопрагматизма. [c.4]

В начале 1960-х годов А. Л. Гонор в рамках закона сопротивления Ньютона впервые поставил и решил ряд вариационных задач о построении оптимальных пространственных конфигураций. Решение задачи построения двумерной поверхности тонких гомотетичных тел минимального волнового сопротивления удалось свести к решению, двух связанных через константы одномерных задач определения оптимальных продольного и поперечного контуров ([8] и Глава 4.5). Для конических тел без ограничения на толщину аналогичной получилась задача определения оптимального поперечного контура ([9] и Глава 4.6). Сопротивление построенных оптимальных конфигураций со звездообразным поперечным сечением оказалось существенно меньше сопротивления эквивалентных по длине и объему круговых конусов. Более полное изложение соответствующих результатов заинтересованный читатель найдет в статье А. Л. Гонора и Г. Г. Черного [10], а подтверждающие эти исследования экспериментальные результаты в написанной А. Л. Гонором первой части обзора [11. [c.360]

Предлагаемая вниманию читателя книга В. Прагера — одного из основоположников теории оптимального проектирования конструкций (широко известного также своими фундаментальными работами в теории пластичности), посвящена результатам в данной области, полученным за последнее десятилетие. Главная их часть основана на использовании в оптимальном проектировании конструкций классических вариационных принципов. Непосредственное применение методов вариационного исчисления к оптимальному проектированию конструкций приводит лишь к необходимым условиям стационарности оптимизируемого параметра, не гарантируя его локальной или глобальной минимальности (или максимальности). Достаточные условия оптимальности в ряде случаев можно получить, используя для рассматриваемого класса конструкций соответствующий вариационный принцип. [c.5]

Вариационный метод Рэлея-Ритца. Согласно этому методу перемещения щ представляются в виде рядов функций, каждая из которых удовлетворяет геометрическим граничным условиям. Пусть, например, [c.127]

Как известно, постановка задачи в перемещениях не является единственно возможной. В ряде случаев более целесообразным является использование постановки задачи в напряжениях. Краевая задача для соответствующей системы дифференциальных уравнений здесь использована не будет, а будет произведен переход сразу к вариационной постановке — минимизации (максимизации) соответствующего функционала с помощью применения преобразования Фридрихса [17] к получепным ранее проблемам минимизации функционалов вида [c.202]

Если пластинка не имеет двух противоположных шарнирно опертых краев, то прогиб не может быть представлен рядом (а), и точное решение сильно осложняется. В последнем случае часто применяют приближенные методы — вариационные методы Рит-ца — Тимошенко, Бубнова — Галеркина, Треффца, Власова — Канторовича, метод конечных разностей и т. д. [c.185]

Методом Ритца можно получить ряд последовательно все более точных приближений. Вопрос о сходимости этих приближений к искомому решению вариационной задачи, а также об оценке погрешности этого метода представляет собой относительно трудную задачу 28, 411. [c.109]

С помощью метода Канторовича удается получить приближенное. решение значительно более точное, чем по методу Ритца с теми же координатными функциятми и с тем же числом членов ряда (5.103). Это достигается благодаря тому, что класс функций (5.103) значительно шире класса функций (5.89) о постоянными коэффициентами Oft и, следовательно, среди функций (5.103) можно подобрать функции, лучше аппроксимирующие решение вариационной задачи, чем среди функций (5.89), [c.111]

При решении вариационной задачи методом Ритца (в отличие от разложения решения в ортогональный ряд Фурье) коэффициенты зависят от общего количества удерживаемых членов, и поэтому само решение полезно представлять в виде ряда [c.155]

Методы Рэлея (1877), см. уравнения (4.57)—(4.61), Ритца (1908) — Тимошенко (1910), Бубнова (1913) — Галеркина (1915) и Треффца (1933) предлагают различные способы приближения w к действительному значению на оснтзе приведенных выше вариационных принципов. По методу В. 3. Власова (1946) —Л. В. Канторовича (1942) решение задается в форме ряда [c.11]

Решение задачи о выпучивании пластинки под действием касательных сил в ее срединной плоскости в конечном виде очень сложно, поэтому воспользуемся одним из вариационных методов— методом Ритца—Тимошенко. Согласно этому методу уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки при ее выпучивании следует искать в виде ряда, каждый член которого должен удовлетворять хотя бы геометрическим граничным условиям. [c.197]

Если для определения минимума (в) использовать вариационное исчисление, то мы придем к уравнению (30) для функции напряжений ф. Вместо этого используем следующую процедуру приблилтенного решения задачи ). Представим функцию напряжений и виде ряда [c.270]

Для приближенного решения задач о кручении заменим вышеописанную задачу вариационного нсчнслення простой задачей отыскания минимума некоторой функции. Возьмем функцию напряжений в виде ряда [c.323]

Одним из эффективных вариационных методов является метод Лагранжа—Ритца Этот метод состоит в следующем. Вначале представляют решение в форме ряда, удовлетворяющего граничным условиям и содержащего неопределенные параметры щ, [c.388]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...