Лагранжа вариационных задач

В литературе функционал (8) часто называют функционалом Лагранжа вариационной задачи (1), (2). Мы не будем пользоваться этим термином, оставив его для функционала, участвующего в формулировке принципа Лагранжа (принцип минимума потенциальной энергии) в теории упругости и теории оболочек. Функционал (8), как и все функционалы без дополнительных условий, полный. [c.36]

Рассмотрим вытекающие из условия (3.38) уравнения Эйлера — Лагранжа вариационной задачи. Предположим, что плотность функции Лагранжа выражается равенством (3.40). На основании (3.38) и (3.40) находим [c.77]

Для решения вариационной задачи 1 воспользуемся методом множителей Лагранжа. Составим сумму [c.71]

Величины Аз и А4 являются постоянными, а Аг(у) и Х у) — переменными множителями Лагранжа. При постановке частных вариационных задач некоторые из условий задачи 1 могут не использоваться. Например, в задаче о плоском профиле может не задаваться подъемная сила (. В этом случае в сумме (2.20) достаточно положить равным нулю соответствующий множитель Лагранжа. [c.71]

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

Действительно. Составляем для условной вариационной задачи функцию Лагранжа со множителем X [c.227]

Разработаны многочисленные методы рещения задачи оптимизации при различных видах целевой функции, уравнений связи и типах ограничений, которые условно можно подразделить на две группы а) классические (метод дифференциального исчисления, метод множителей Лагранжа, вариационное исчисление) б) метод математического программирования (методы линейного и нелинейного программирования, метод динамического программирования, принцип максимума Понтрягина и др.). [c.555]

Вообще уравнением Эйлера произвольной вариационной задачи называют получаемое по образцу уравнений (34.4) и (34.5) дифференциальное уравнение типа (34.6). Таким образом, можно сказать, что уравнения Лагранжа являются эйлеровыми уравнениями вариационной проблемы, заданной функцией L. [c.249]

Дополнительные условия. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Задача нахождения минимума функции не всегда задается в той форме, о которой говорилось выше. Число измерений пространства конфигураций, в котором движется точка Р, может оказаться меньшим, чем п, из-за наличия каких-то определенных кинематических соотношений между координатами. Подобные кинематические условия называются дополнительными условиями соответствующей вариационной задачи. Если такие условия не [c.65]

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа сводит вариационную задачу с дополнительными условиями к свободной вариационной задаче. Функция F, для которой ищется стационарное значение, преобразуется путем прибавления левых частей дополнительных условий, каждая из которых умножается предварительно на некоторый неопределенный множитель К. Вариационная задача для преобразованной функции решается как свободная. Получающиеся условия стационарности вместе с имеющимися дополнительными условиями определяют искомые значения переменных и множители X. [c.70]

Дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа в случае п степеней свободы. В механике приходится иметь дело с вариационными задачами следующего вида. Требуется найти стационарное значение определенного интеграла [c.83]

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет избежать исключения лишних переменных при наличии дополнительных условий и учитывает дополнительные условия без уменьшения числа переменных. Подинтегральное выражение L заданной вариационной задачи преобразуется путем прибавления левых частей имеющихся дополнительных условий, каждое из которых умножается предварительно на множитель X. Полученная новая задача рассматривается как свободная вариационная задача. Множители Я определяются затем как функции t путем удовлетворения имеющихся дополнительных условий. [c.88]

Неголономные условия. Метод неопределенных множителей Лагранжа применим и в том случае, когда дополнительные условия вариационной задачи заданы в виде не алгебраических, а дифференциальных соотношений (ср. гл. I, п. 6, и гл. И, п. 6). Мы снова получаем уравнения (2.12.5) с той только разницей, что df dq заменены коэффициентами Aik неголономных условий (2.6.1). Различие имеется лишь в вопросе о начальных условиях. Координаты qi теперь не связаны какими бы то ни было условиями, связи наложены только на их дифференциалы. Поэтому начальные [c.88]

Замечательное свойство вариационных задач заключается в том, что в них всегда автоматически возникает нужное число граничных условий. Эти граничные условия, не обусловливаемые имеющимися внешними обстоятельствами, следуют из сути вариационной задачи. Для наличия стационарного значения эти дополнительные граничные условия существенны в такой же степени, как и выполнение дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа. Появление этих дополнительных условий связано с граничным членом в Ы. Наложенные извне (внешние) и естественные граничные условия, вместе взятые, обеспечивают единственность решения. [c.93]

Поскольку циклические переменные столь легко исключаются после написания уравнений движения Лагранжа, то возникает естественный вопрос, нельзя ли произвести их исключение до написания уравнений еще при постановке самой вариационной задачи. Как известно, первая вариация интеграла [c.152]

Путем решения уравнения (а) относительно qn и подстановки в (Р) циклическая скорость исключается из L. Новая функция Лагранжа уже не зависит от циклической переменной и первоначальная вариационная задача с п степенями свободы сводится к новой вариационной задаче с п — 1 степенями свободы. [c.154]

Этот изящный математический прием имеет неожиданную и вместе с тем поучительную физическую интерпретацию. То обстоятельство, что после изменения функции Лагранжа L вариационная задача становится свободной, означает, что мы опускаем имеющиеся кинематические связи и рассматриваем механическую систему так, как если бы связей не было. При этом, однако, замена функции V на V означает, что мы добавляем к потенциальной энергии приложенных сил потенциальную энергию сил, обеспечиваюш их удовлетворение заданных связей. Эти силы задаются выражениями [c.169]

Преобразование Лежандра в применении к функции Лагранжа. Функция Лагранжа L, появляющаяся в вариационной задаче, зависит в общем случае от п позиционных координат qi, п скоростей qi и времени t [c.193]

Замечательное преобразование уравнений Лагранжа, произведенное Гамильтоном, фактически означает, что произвольная сколь угодно сложная вариационная задача может быть преобразована в эквивалентную задачу с удвоенным количеством переменных и с кинетической частью, приведенной к простой форме. Это преобразование осуществляется без какого бы то ни было интегрирования, лишь при помощи дифференцирований и исключения переменных. [c.199]

Обычные задачи механики приводят к функциям Лагранжа, не содержащим производных выше первого порядка. В общем же случае в вариационных задачах могут встретиться в подинтегральном выражении производные вплоть до т-го порядка. Эти задачи также могут быть преобразованы к нормальному виду при помощи канонического интеграла. Поэтому канонические уравнения Гамильтона могут считаться нормальным видом, к которому приводится любая [c.199]

Если интересоваться тем, как свободная частица будет двигаться в криволинейной системе отсчета, то приходится решать вариационную задачу с функцией Лагранжа [c.372]

Еще одно преимущество этого формализма заключается в том, что мы сразу же получаем преобразование вариационной задачи с производными высших порядков к канонической форме, ие прибегая к процессу последовательного исключения производных, описанному на стр. 200. Предположим, например, что задана функция Лагранжа [c.398]

Подобно принципу Гамильтона ( 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из пего можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения Е = h, накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал h [c.546]

Если перейти от этих тождеств к соответствующей вариационной задаче, т.е. если положить = 0 ), то теорема I для случая одномерного пространства, в котором дивергенция переходит в полный дифференциал, устанавливает существование д первых интегралов, между которыми во всяком случае могут существовать нелинейные зависимости ) в многомерном случае получаются уравнения дивергенции, которые теперь часто определяют как теоремы сохранения теорема И говорит, что д уравнений из общего числа уравнений Лагранжа являются следствием остальных. [c.614]

Напомним также, что условие (П.16) эквивалентно известному дифференциальному уравнению Эйлера—Лагранжа, используемому при решении классических вариационных задач [40]. Если подынтегральная функция в (П.15) , явно зависит от х, у к производных (/<"), например, так [c.219]

Это условие эквивалентно принципу стационарности дополнительной работы, иными словами, оно представляет уравнения Эйлера вариационной задачи о стационарности функционала 6 при условиях (5.4.2). Это доказывается способом, указанным в п. 2.5 гл. IV. Введя лагранжев вектор к, имеем [c.682]

В рассмотренных примерах моментные уравнения, которые имеют интегральную форму, удовлетворялись путем приравнивания к нулю подынтегральных выражений перед множителем типа ехр не равным нулю. Это соответствует достаточному условию существования решения. Если же число моментных соотношений ограничено, то для получения замкнутой системы уравнений относительно множителей Лагранжа необходимо интегральное выполнение каждого дополнительного условия. По-видимому, такой способ обеспечивает необходимые условия существования решения. Однако строгого доказательства необходимости и достаточности моментных уравнений для получения решения вариационной задачи здесь не найдено. [c.56]

В предыдущей главе было построено классическое решение вариационной задачи об экстремуме энтропии при дополнительных условиях (3.2). При помощи метода множителей Лагранжа было выведено стационарное распределение, сходящееся к точному выражению. [c.57]

Итак, приближенное решение вариационных задач статистической динамики по методу множителей Лагранжа для простейших нелинейных систем обеспечивает высокий уровень точности уже при учете моментных соотношений второго порядка. В отличие от метода редукции уравнения относительно моментных функций здесь удовлетворяются не приближенно, а в строгом соответствии с совместной плотностью вероятности фазовых переменных. При этом форма распределения выбирается не произвольно, а на основе вариационного принципа максимума энтропии. Однако построение дальнейших приближений, которые могут потребоваться для системы с существенными нелинейностями, связано с громоздкими вычислениями. Привлечение моментных соотношений более высокого порядка приводит к усложнению выражения для р и резкому увеличению машинного времени на реализацию численного алгоритма. В связи с этим ниже рассмотрены другие варианты прямого метода решения вариационных задач, более удобные для практической реализации. [c.61]

С формальной точки зрения задача нахождення минимума определенного интеграла является собственно задачей вариационного исчисления, в то время как задача нахождения минимума функции принадлежит к обычному анализу. Исторически эти две проблемы возникли одновременно и четкого разграничения между ними не было вплоть до Лагранжа, развившего технику вариационного исчисления. Знаменитая задача Дидоны, хорошо известная геометрам древности, была вариационной задачей, требовавшей нахождения минимума некоторого интеграла. Герон Александрийский вывел закон отражения, исходя из того, что луч света, выходящий из точки А и приходящий в точку В после отражения от зеркала, достигает цели в кратчайшее время. Ферма применил этот принцип для получения законов преломления. Все эти задачи решались геометрическими методами. Задача о брахистохроне (кривой быстрейшего спуска) была предложена Иоганном Бернулли и решена независимо им самим, Ньютоном и Лейбницем. Основные дифферен- [c.57]

Резюме. Канонические уравнения Гамильтона могут рассматриваться как решение задачи Лагранжа с подинтегральным выражением особо простой структуры. Переменными в этой вариацион юй задаче являются варьируемые независимо друг от друга qt и р,-. Подинтегральное выражение вариационной задачи приводится к нормальной форме [c.201]

Гамильтон (1805—1865). Совершенно новый мир, скрывавшийся за достижениями Лагранжа, открылся в исследованиях сэра Уильяма Роуанн Гамильтона. Уравнения Лагранжа были довольно сложными дифференциальными уравнениями второго порядка. Гамильтон сумел преобразовать их в систему дифференциальных уравнений первого порядка с удвоенным числом переменных позиционные координаты и импульсы рассматривались при этом как независимые переменные. Дифференциальные уравнения Гамильтона линейны и разрешены относительно производных. Это простейшая и наиболее удобная форма, к которой могут быть приведены уравнения вариационной задачи. Отсюда название канонические уравнения , данное им Якоби. [c.391]

В этой статье мы в дальнейшем не будем придерживаться данного способа вычислений. Он должен служить лишь для предварительной ориентировки при установлении внешней связи волнового уравнения с у. Г. Функция у> в действительности не находится в таком соотношении с функцией действия рассматривасмо10 движения, как это следует из фор щлы (2) первого сообщения. Напротив, связь между волновым уравнением и вариационной задачей очень проста-, подынтегральное выражение стационарного интеграла представляет собой функцию Лагранжа волнового процесса. [c.679]

В мемуаре О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров , а затем в письме к Лиосковскому профессору Н. Д. Брашману, напечатанном ь 1866 г., Остроградский высказал сомнение в справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к следующему. Для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и не являются поэтому независимыми, в отличие от переменных обыкновенной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчинены некоторому условию и не могут быть совершенно произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа у Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственную формулировку в случае консервативной системы действительная траектория движения между двумя точками обладает тем свойством, что преобразование уравнений движения приводит к условию [c.218]

Путем линеаризации нелинейного вариационного уравнения принципа возможных перемещений Лагранжа для задач теории малых упруго пластических деформаций и теории пластического теченггя ниже получены линейные соотношения для методов упругих решений, дополнительных деформаций, переменных параметров упругости, метода Ньютона-Канторовича и метода последовательных нагружений с коррекцией погрешноспг. [c.232]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...