Уравнения Эйлера вариационной задачи

Первый интеграл уравнения равновесия (т. е. уравнения Эйлера вариационной задачи о минимуме функционала (38,4)) [c.202]

Уравнение (8.26) служит дифференциальным уравнением Эйлера вариационной задачи (8.28). [c.248]

Элементарная теория, изложенная в гл. 3 и 4, основывалась на гипотезах, введенных ad ho и обоснованных лишь некоторыми соображениями качественного характера. Здесь мы получим те же уравнения, отправляясь от общих законов теории упругости. Наиболее надежный путь построения приближенных теорий, который будет использован в настоящей главе, состоит в том, что за основу принимаются вариационные уравнения теории упругости в одной из форм, приведенных в 8.7. После этого делаются некоторые предположения о характере распределения перемещений или напряжений (или того и другого независимо). Дифференциальные уравнения приближенной теории получаются как уравнения Эйлера вариационной задачи для функций от переменных, число которых меньше трех. [c.386]

Уравнениями Эйлера вариационной задачи о стационарности функционала / оказываются исходные соотношения линейной теории упругости, перечисленные в п. 1.1, а натуральными краевыми условиями — кинематические и статические краевые условия. [c.161]

Это условие эквивалентно принципу стационарности дополнительной работы, иными словами, оно представляет уравнения Эйлера вариационной задачи о стационарности функционала 6 при условиях (5.4.2). Это доказывается способом, указанным в п. 2.5 гл. IV. Введя лагранжев вектор к, имеем [c.682]

Для консервативных систем статический и энергетический критерии эквивалентны. Дифференциальные уравнения устойчивости, получающиеся при использовании статического метода, являются дифференциальными уравнениями Эйлера вариационной задачи, к которой приводит энергетический критерий. [c.267]

Уравнение Эйлера вариационной задачи принимает вид [c.233]

В соотношении (4.70) вариации концов траектории при заданных точках (жо,уо, о, 0, 0, 0,0) и хх.ух, Zl,Ul,Vl,Wl,tl) равны нулю. Приравняв затем к нулю выражения при 5х, 5у, 5z под знаком интеграла, найдем уравнения Эйлера вариационной задачи (4.69) [c.128]

Принимая во внимание независимость вариаций бе -, б , Ьоц, из формулы (3) получаем уравнения Эйлера вариационной задачи [c.133]

Из этого уравнения вытекают сд дующие уравнения Эйлера вариационной задачи [c.134]

В силу взаимной независимости виртуальных приращений уравнение (35а) сводится к следующим уравнениям Эйлера вариационной задачи [c.475]

Рассмотрим еще один общий способ получения адиабатического инварианта, основанный на применении приближенного прямого вариационного метода [5], близкого к известному методу Уизема [6]. Будем считать, что (12.1) является уравнением Эйлера вариационной задачи, [c.243]

Уравнение Эйлера вариационной задачи [c.13]

Уравнение Эйлера вариационной задачи (19) приводит к дифференциальному уравнению для ш (х), подобному уравнению (20) [c.19]

Уравнение Эйлера вариационной задачи (19) приводит к следующему дифференциальному уравнению для формы колебаний [c.33]

При короткой оболочке ( <2хо) или, в том случае, если внешняя нагрузка изменяется по нелинейному закону, следует пользоваться общим методом получить дифференциальное уравнение из уравнения Эйлера вариационной задачи для всей оболочки, определить функцию радиальных перемещений ю(х), а затем и все силовые факторы. [c.68]

Уравнения движения и краевые условия. Уравнения Остроградского — Эйлера вариационной задачи (2) дают уравнения движения и естественные краевые условия Например, для двухмерной упругой системы, когда лагранжиан L не содержит третьих и более высокого порядка производных от и , уравнения и естественные крае вые условия имеют вид [c.136]

В работах [37а—с] развивается метод Био введения обобщенных координат. Путем варьирования по этим координатам вариационное уравнение приводится к системе уравнений Эйлера—Лагранжа. Задача сформулирована для температуры, объемного расширения и роторной части вектора перемещений. Начальные условия заданы для температуры, перемещений и скоростей перемещений. Граничные условия могут быть заданы произвольным образом путем введения дополнительных параметров они удовлетворяются приближенно. [c.241]

Уравнение Эйлера этой вариационной задачи [c.198]

Методы решения двух последних групп являются приближенны ми лишь условно, так как с их помош,ью можно достигнуть любой точности результатов, если решение допускает уточнение в виде учета последующих членов разложения какой-либо величины или построено в форме последовательных приближений, или связано с малым интервалом при определении значения исследуемой функции. Вариационные методы могут оказаться и точными, если уравнения Эйлера—Лагранжа при исследовании экстремума функционала (например, Э) допускают точное решение или задача имеет конечное число степеней свободы (см. задачу 1.5). [c.9]

Второй характерный случай применения вариационного подхода — это получение дифференциальных уравнений и граничных условий рассматриваемой задачи как уравнений Эйлера соответствующего функционала. Такой путь оказывается оправданным для тел сложной формы и структуры (например, многослойные оболочки и др.), а также при переходе от одной системы координат к другой (от декартовой системы к полярной, криволинейной и другим системам). [c.57]

Краткие сведения некоторых основных понятий вариационного исчисления приведены с целью напомнить, что решение вариационной задачи эквивалентно решению граничной задачи д.ля дифференциального уравнения, которое является уравнением Эйлера или уравнением Эйлера—Остроградского для данного функционала. [c.97]

Как уже было показано (см. гл. V, 6), вариационное уравнение (5.63) влечет за собой выполнение условий совместности Бельтрами, которые в случае задачи кручения выражены уравнением (7.33). Легко установить, что уравнение Пуассона (7.33) является следствием вариационного уравнения (7.229), т. е. представляет собой уравнение Эйлера — Остроградского для функционала (7.228). Действительно, исходя из уравнения (7.229), имеем [c.178]

Система уравнений теории упругости и граничные условия представляют собою уравнения Эйлера и естественные граничные условия некоторой вариационной задачи. Построим следующий функционал [c.253]

Замечание. Дифференциальные уравнения (2) представляют собой необходимые и достаточные условия для того, чтобы равнялась нулю первая вариация bW, где интеграл W имеет вид (1). В вариационном исчислении уравне-Hi/я (2) называются дифференциальными уравнениями Эйлера для вариационной задачи [c.107]

Вообще уравнением Эйлера произвольной вариационной задачи называют получаемое по образцу уравнений (34.4) и (34.5) дифференциальное уравнение типа (34.6). Таким образом, можно сказать, что уравнения Лагранжа являются эйлеровыми уравнениями вариационной проблемы, заданной функцией L. [c.249]

Дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа в случае п степеней свободы. В механике приходится иметь дело с вариационными задачами следующего вида. Требуется найти стационарное значение определенного интеграла [c.83]

Замечательное свойство вариационных задач заключается в том, что в них всегда автоматически возникает нужное число граничных условий. Эти граничные условия, не обусловливаемые имеющимися внешними обстоятельствами, следуют из сути вариационной задачи. Для наличия стационарного значения эти дополнительные граничные условия существенны в такой же степени, как и выполнение дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа. Появление этих дополнительных условий связано с граничным членом в Ы. Наложенные извне (внешние) и естественные граничные условия, вместе взятые, обеспечивают единственность решения. [c.93]

Таким образом, поставленная задача может считаться решенной, если будет найдена функция ilin (х). Раскрытие статической неопределимости производится энергетическим методом с иопользованием условия минимума потенциальной энергии системы. Уравнение Эйлера вариационной задачи приводит к разрешающему линейному неоднородному дифференциальному уравнению четвертого порядка относительно искомой величины -фп (х) [c.56]

Таким образом, полная энергия системы представлена в виде функционала, зависящего от яеизвестных узловых перемещений v (г) н их производных V (г) по координате z. Функции v (z) должны быть выбраны таким образом, чтобы этот функционал принимал минимальное значение. Для отыскания v (г) можно записать уравнения Эйлера вариационной задачи и прийти, таким образом, к системе дифференциальных уравнений относительно компонент матрицы v (z). [c.131]

Принцип Гамильтона, рассматриваемый как вариационный принцип стационарного действия, справедлив только для голономных систем. Невозможность непосредственного распространения интегральных принципов, установленных для голономных систем, на неголоном-ные системы была отмечена ещё Герцем [27]. Он обратил внимание на то, что не всякие две точки конфигурационного пространства могут быть соединены траекторией системы с неинтегрируемой дифференциальной связью. Первым, кто предложил интегральный принцип, пригодный для неголономных систем, по-видимому, был Гёльдер его принцип имеет форму интегрального равенства, не являющегося условием стационарности функционала он был получен при предположении перестановочности операций d w 5 (см. заметку 16). При этом, во-первых, варьированные траектории не удовлетворяют уравнениям неголономных связей, и во-вторых, уравнения движения неголономной системы не совпадают с уравнениями Эйлера вариационной задачи Лагранжа. Обсуждению этих двух вопросов посвящена обширная литература с начала двадцатого века и до настоящего времени. Приведём некоторые результаты [101. [c.142]

Задавшись выражениями вектора места К в актуальной коифигурации и тензора Р, содержащими некоторое число описывающих их функций материальных координат и постоянных параметров, следует составить по ним выражение функционала 1Г3. Эти функции и параметры далее разыскиваются из уравнений Эйлера вариационной задачи и диктуемых ею краевых условий. Этот прием двух аппроксимаций (К и Р) с успехом применяется в задачах линейной теории. Конечно, в нелинейной теории уравнения Эйлера для аппроксимирующих функций нелинейны. Трудности, связанные с представлением удельной дополнительной работы Эх (Р), конечно, сохраняются и при составлении функционала 1Г3. [c.146]

Решим эту задачу, исходя из уравнений Эйлера-Лагранжа, соответствующего вариационному условию (41.8), и воспользуемся затем соотношением — = onst. (43.3) [c.327]

Другая вариационная постановка задачи кручения бруса базируется на принципе минимума потенциальной энергия системы (см. гл. V, 5). В этом случае приходим к функционалу /7, уравнением Эйлера—Остроградского которого является уравнение Лапласа (7.54) для функции кручения ф (оно получено из уравнений равновесия Ламе), естественными граничными условиями — граничные условия (7.55) для функции ф. Читателю, желаю1Цему ознакомиться с такой постановкой вариационной задачи кручения, можно рекомендовать книгу [35]. [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...