Решение вариационной задачи для функционала

Решение. Уравнение (1) является решением вариационной задачи для функционала [c.268]

Так как форма оболочки при значительной деформации близка к изометрическому преобразованию исходной поверхности, то в поисках решения вариационной задачи для функционала W U—А естественно ограничиться рассмотрением форм, близких к изометрическим преобразованиям. Решение задачи облегчается еще благодаря некоторой специфике изометрических преобразований, вблизи которых находится искомая форма. [c.7]

Решение вариационной задачи для функционала и—А мы расчленяем на два этапа. На первом этапе изометрическое преобразование фиксируется и функционал рассматривается на формах, близких к этому изометрическому преобразованию. Решение задачи на этом этапе удается получить в замкнутом виде при самых общих предположениях о поверхности оболочки и ее изометрическом преобразовании. В результате решения этой задачи функционал оказывается теперь определенным на изометрических преобразованиях, и общий вариационный принцип принимает геометрическую форму (принцип А, 2). Найденное на втором этапе изометрическое преобразование, исправленное малой добавкой, полученной на первом этапе, и дает истинную форму оболочки при заданном нагружении. [c.7]

Описанный метод решения вариационной задачи для функционала является на первом этапе приближенным. Именно поэтому и удается получить решение на этом этапе в замкнутой форме. Однако, будучи приближенным, этот метод выгодно отличается от других методов тем, что даваемое им решение тем точнее, чем тоньше оболочка при заданных масштабах рассматриваемых деформаций, и оно становится точным, когда толщина оболочки неограниченно убывает. Если рассматривать вариационную задачу для функционала как задачу с малым параметром толщина оболочки), то получаемое нами решение представляет собой основное приближение к точному решению. [c.8]

Решение вариационной задачи для функционала У [c.16]

Следовательно, уравнение (16.11) имеет собственные значения при отрицательных а. Таким образом, это уравнение (при ос > 0) имеет единственное решение, которое непрерывно зависит от правой части, а, следовательно, вариационная задача для функционала (16.4) корректна. [c.194]

Условия стационарности для свободной вариационной задачи. Вообще говоря, поставленная-вариационная задача для функционала F(u) может не иметь решения. Не останавливаясь на вопросе о существовании решения, предположим, что точка стационарности функционала F существует. [c.17]

Расчет упругой системы вариационным методом можно разделить на две взаимосвязанные составные части. Первая состоит в выборе наиболее подходящего функционала, вторая —в решении вариационной задачи для выбранного функционала. [c.169]

В более общем методе решения вариационной задачи стационарный функционал для функции являющейся решением волнового уравнения (1.12), имеет вид [43] [c.26]

Краткие сведения некоторых основных понятий вариационного исчисления приведены с целью напомнить, что решение вариационной задачи эквивалентно решению граничной задачи д.ля дифференциального уравнения, которое является уравнением Эйлера или уравнением Эйлера—Остроградского для данного функционала. [c.97]

Метод конечных элементов основан на определении температурного поля путем приближенного решения соответствующей вариационной задачи. Для формулировки этой задачи напомним понятие функционала. Оператор I [f (л )] называется функционалом, заданным на некотором множестве функций, если каждой функции / х) из этого множества по некоторому правилу ставится в соответствие числовое значение / [/ (х)]. Иными словами, функционал является как бы функцией от функции . В практических приложениях обычно встречаются функционалы, заданные в виде некоторых интегралов, в подынтегральные выражения которых входят функции / (х). [c.129]

Понятие о прямых методах решения вариационной задачи. Решение вариационной задачи о минимуме функционала может быть выполнено не только классическим путем, описанным выше, согласно которому она сводится к краевой задаче для некоторого дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, но и так называемым прямым методом. Последний состоит в представлении искомой функции (экстремали), минимизирующей функционал, в виде ряда [c.449]

Уравнения (2.74) являются уравнением Эйлера для функционала (2.66), записанным через конечные разности. Поэтому намеченный путь решения вариационной задачи с помош,ью конечных разностей фактически сводится к решению дифференциального уравнения Эйлера методом конечных разностей. [c.68]

Вариация функционала в виде (8) может быть использована и для решения вариационных задач [c.179]

Различные методы получения энергетических оценок погрешности и их трактовка с точки зрения теории преобразования вариационных проблем. Будем считать, что имеется приближенное решение вариационной задачи на основе одного из экстремальных (для определенности — минимальных) функционалов. Для энергетической оценки погрешности нужно [0.11] построить максимальный функционал Э р), имеющий то же стационарное значение, что и данный Э и), решить приближенно вариационную задачу для построенного функционала и вычислить его значение. Разность [c.198]

Общий подход здесь, как, скажем, и в МКЭ, состоит в применении итерационных алгоритмов, с тем чтобы на каждом шаге нужно было строить решение соответствующей линейной задачи. Так, при решении задачи типа (а) на каждом шаге итерационного процесса сначала неизвестная граница считается условно заданной, затем строится решение линейной задачи для фиксированной области, находится невязка в граничных условиях и вычисляется поправка к форме неизвестной границы, после чего процесс повторяется. Как известно, подобного рода алгоритм достаточно эффективен (особенно в трехмерных задачах) лишь при применении специальных процедур выбора шага итерационного процесса. В связи с этим стоит обратить внимание на другую возможность решения задач с неизвестной границей. В ряде случаев исходную задачу можно привести к вариационной задаче минимизации функционала по границе (или по ее части) с ограничениями в форме равенств и неравенств или к решению вариационного неравенства [2]. В свою очередь подобные вариационные задачи сводятся к задачам математического программирования, численные методы решения которых хорошо разработаны (см., например, [3]). В качестве примеров применения такого подхода укажем работы [4, 5]. [c.7]

Указанное макроскопическое приближение позволяет представить адекватным образом отдельные особенности эволюции мартенситной структуры [93]. Однако, такой подход носит прагматический характер, поскольку единственный параметр р не может представить все детали макроструктуры. Полную информацию содержит пространственная зависимость е(г) параметра мартенситного превращения, тогда как объемная доля мартенситной фазы р = (г)р представляет момент низшего порядка. Определение полного вида зависимости б(г), требующее решения вариационной задачи по минимизации функционала у е(г) , в общем случае не представляется возможным. Поэтому для описания тонких деталей макроструктуры мартенсита следует расширить рамки макроскопического приближения, дополняя объемную долю р = 1б(г)р моментами [c.189]

Для сравнения приведём результат варьирования при решении вариационной задачи на экстремум функционала при условии (18). Функционал безусловной вариационной задачи содержит слагаемое [c.82]

Вид вариации (23) показывает, что условие стационарности функционала безусловной вариационной задачи содержит производную по времени от неопределённого множителя (х), и следовательно, для определения х требуются начальные условия, которые в механической постановке задачи отсутствуют (согласно принципу причинности Ньютона движение должно определяться только состоянием системы в начальный момент времени). Поэтому траектории неголономной системы будут принадлежать к решениям вариационной задачи при дополнительных условиях. Можно показать, что в число этих условий входят равенства [c.83]

Применительно к нормальной задаче отметим установленную эквивалентность двух подходов к ее решению путем отыскания минимума энергетического функционала с ограничениями и на основе построения решения, несингулярного вблизи неизвестной границы области налегания. Существенно, что доказанные без помощи вариационного метода утверждения в сочетании с установленной ранее положительностью нормальной задачи приводят к регулярной невариационной процедуре численного отыскания неизвестных границ при произвольной форме исходной полости (трещины). Более подробно рассмотрен пример сдвиговая задача с условиями трения в области налегания поверхностей эллиптической трещины при зависящих от параметра нагрузках. Помимо анализа свойств решений, рассмотрены примеры точных решений сдвиговой задачи для эллиптической трещины при различных траекториях нагружения. [c.59]

Численные методы построения оптимальных решений. Как уже отмечалось, в подавляющем большинстве случаев исследование проблемы оптимизации приводит к необходимости решения сложных вариационных задач, что невозможно без использования эффективных численных методов. В связи с этим в задачах механики полета находят широкое приложение существующие численные методы и, с другой стороны, при решении специфичных задач разрабатываются новые численные методы. Методы численного решения вариационных задач разделяются на прямые и непрямые. Основу первых составляют различные итерационное процессы последовательного уменьшения (увеличения) функционала для применения непрямых методов вариационная проблема предварительно сводится к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений. Ограничимся перечислением тех методов, которые наиболее часто используются в задачах механики полета [c.285]

Параметр Я,- ф О, когда при очевидном условии существования решений решение вариационной задачи минимизации только функционала N1 не удовлетворяет условию = а,-. Для дальнейших рассуждений удобен функционал вида (12). Для определенности рассмотрим задачу отыскания элемента, реализующего нижнюю 72 [c.72]

Если квадратичный функционал р (8) имеет единственный глобальный минимум на векторах из Ф т , то и решение вариационной задачи будет также единственным. Это утверждение достаточно очевидно и нет особой надобности его доказывать. (Формальные аспекты излагаемых здесь вопросов можно найти в работе [42]). Укажем лишь на то, что квадратичный функционал р2(8) является выпуклым функционалом как т-мерная парабола по аргументам 5ш. В подобном случае для единственности [c.66]

Особое решение вариационной задачи дается уравнением Эйлера, которое для функционала типа (7. 146) имеет вид конеч- [c.289]

Задача оптимального проектирования, сформулированная выше, относится к наиболее общим и сложным типам вариационных задач, которые рассматриваются в теории оптимальных процессов [56]. Это обусловлено тем, что часть аргументов целевого функционала зависит от времени, а другая часть неизменна во времени. Обычно для решения подобных задач предлагается исходную формулировку преобразовать к формулировке чистых вариационных задач, у которых все аргументы являются функциями времени. Для этого необходимо векторы Z и К рассматривать в качестве новых векторов-функций времени, производные которых по времени тождественно равны нулю. Это увеличивает размерность и объем задачи и создает дополнительные трудности для применения вариационных методов решения. [c.72]

Используя теорему II.3 приложения II, заключаем, что для линейно-упругого материала решение вариационного неравенства (5.343) эквивалентно задаче минимизации функционала [c.288]

Основные этапы применения метода конечных элементов для приближенного решения сформулированной вариационной задачи следующие. Вначале область решения разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Разбиение на элементы может быть выполнено множеством разных способов, так как выбор размеров и форм элементов в общем случае произволен. Элементы для плоского тела обычно -имеют треугольную или четырехугольную форму. Разбиение области решения на конечные элементы и условия непрерывности, накладываемые на пробные функции, позволяют записать функционал (23.25) в виде суммы [c.247]

Математическая связь состоит в том, что решение краевой задачи или задачи Коши для дифференциального уравнения, описывающего поведение данной механической системы, оказывается эквивалентным проблеме отыскания функции, минимизирующей определенный интеграл, которым выражается потенциальная энергия системы. Если иметь в виду, что минимизация определенного интеграла (функционала) является предметом вариационного исчисления, можно сказать, что решение краевой задачи или задачи Коши для дифференциального уравнения эквивалентно решению соответствующей вариационной проблемы. [c.438]

Полное решение вариационной задачи для функционала L = Л] Нх — высота ракеты, достигаемая при I = t ) дано Лоуденом [20]. [c.726]

В заключение приведем без доказательства следуюпхее утверждение если 5 удовлетворяет условию р(/С , Ра)<ст, то р(Ро, Ра) < а и р(5о, 5 ) <8 (а), где 8=0(а). Это утверждение гарантирует нам близость полученного решения 5 (как решение вариационной задачи для функционала р на компакте Фм) к точному решению 5о. В дальнейшем будем опускать доказательства подобных утверждений, поскольку работа в целом ориентирована на прикладные исследования и в ней отдается предпочтение неформальному изложению обратных задач. Возможно, это не самый лучший способ изложения обратных задач, но более ясный и доступный. Использованные выше математические понятия в случае необходимости уяснения их смысла можно найти в любом учебнике по функциональному анализу (предпочтение можно отдать элементарному введению в функциональный анализ [10]). [c.45]

Совместное решение системы уравнений Эйлера и уравнений связи позволяют определить л + т неизвестных yi(x), y ix),. ... ... Уп х)] h x), Х2(х), Хз(х),. .., Хт(х). Функции у (х) нвоб-ходимо решают вариационную задачу для функционала (8.1.12). [c.699]

Совершенно иной подход к постановке вариационных задач газовой динамики предложил в 1950 г. Никольский [1]. Решая вариационную задачу для осесиммефичных течений в линейной постановке, Никольский вводит конфольный контур из характеристик первого и второго семейств, проходящих, соответственно, через переднюю и заднюю точки искомого контура. При этом характеристика первого семейства полностью известна, а вариационная задача ставится для функций на характеристике второго семейства. Сама вариационная задача оказывается одномерной, а исследуемый функционал относится к хорошо изученному типу. После определения искомых функций на характеристике второго семейства течение около искомого контура находится решением задачи Гурса. Искомый контур является линией тока найденного течения. Таким образом, подход Никольского избавляет от необходимости предварительного решения задачи обтекания произвольного контура и приводит лишь к необходимости решения конкретной задачи Гурса. [c.65]

Изложенный метод численного решения вариационной задачи, т. е. задачи о минимуме функционала, указан В. Ритцем (в 1908 г.). Независимо от него и почти одновременно с ним С. П. Тимошенко использовал аналогичный метод для решения задач устойчивости (см. его книгу, указанную в сноске на с. 278). [c.392]

Метод численного решения. При численном решении контактной задачи область, занимаемая контактирующими телами, расчленяется по поверхности контакта на подобласти, и для них последовательно решаются краевые задачи с известными граничными условиями на Г и Г (4.1), (4.2) и смешанными граничными условиями на Г , уточняемыми в процессе итераций. Процесс решения, в свою очередь, расчленяется на два чередующихся этапа а - поиск границы площадки контакта к б - уточнение ее конфигурации в пространстве. На каждом из этих этапов используется двойственная вариационная постановка контактной задачи (см. табл. 4.4). При решении вариационной задачи считаются выполненными предварительные условия экстремальности соответствующего функционала, однако в процессе итерации могут нарушаться естественные условия экстремальности. Так как истинное решение задачи (й, ст) принадлежит произведению множеств VXKk имеет место равенство [c.144]

К достоинствам метода Ритца относится возможность удовлетворить большому числу дополнительных условий и эффективность этого метода при расчетах для случая квадратичного функционала и линейных ограничений. К недостаткам метода Ритца относится то, что решение ишется в более узком классе функций, чем в точных методах и чем это необходимо по условию задачи. Тем не менее метод Ритца в большинстве случаев позволяет найти решение вариационной задачи с требуемой точностью. [c.22]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

С эгими двумя частями расчета связаны два ос-нова1П1Я для классификации вариационных методов расчета по используемому функционалу и по методу решешш вариационной задачи. Этот подход отражен на рис. 5.11, на котором радиусы разделяют методы, связанные с выбором функционала, а окружности — методы решения вариационной задачи (методы дискретизации). Выбор метода расчета приводи- к одному из криволинейных прямоугольников 1. 1 этой [c.169]

Применительно к задачам оптимального профилирования сопел для воздушно-космических систем (ВКС) интересны не только плоские симметричные, но и плоские несимметричные сопла, которые кроме тяги создают подъемную силу и момент. В ЛАБОРАТОРИИ решение вариационных задач, включающих эти характеристики или их комбинации в качестве оптимизируемого или фиксируемого функционала ( изопериметрического условия ), с помощью МНК выполнила Г.Ю. Миско [42]. Прямыми методами вариационного исчисления оптимальное профилирование несимметричных сопел ВКС успешно осуществили М. К. Аукин и Р. К. Тагиров [43, 44]. Прямые методы позволили учесть трение и вытесняющий эффект пограничного слоя (последний для сопел ВКС увеличивает тягу) и осуществить оптимальный выбор наклона короткой (нижней) стенки несимметричного сопла. [c.367]

Другой подход к решению вариационных задач газовой динамики был предложен Т. К Сиразетдиновым. Этот подход дает возможность решать задачи при произвольных ограничениях, накладываемых на на поверхность обтекаемого тела, и состоит в том, что дифференциальные уравнения в частных производных, описывающих течение, используются в качестве связей между функциями в области влияния. При составлении функционала Лагранжа для задачи на безусловный экстремум эти. уравнения учитываются при помощи переменных множителей Лагранжа. Необходимые условия экстремума для такой задачи в общем случае представляют собой краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с условиями на замкнутой поверхности, ограничивающей область влияния. При сверхзвуковых скоростях эта система, включающая уравнения для множителей Лагранжа, имеет гиперболический тип. [c.243]

К. Г. Гудерлей и Дж. В. Армитедж предложили ) новый подход к решению вариационных задач газовой динамики, свободный от перечисленных ограничений. Этот подход, идея которого была также независимо высказана Т. К. Сиразетдиновым (1963), состоит в том, что экстремальная задача формулируется для интеграла от давлений, записанного непосредственно по контуру тела, при наличии связей между искомыми функциями в области влияния.контура в виде дифференциальных уравнений, описывающих движение газа. При составлении минимизируемого функционала эти связи учитываются введением соответствующих переменных множителей Лагранжа, так что функционал состоит из суммы интеграла, взятого вдоль искомого контура, и двойного интеграла, взятого по области влияния контура. Необходимые условия экстремума дают краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с условиями на границе области влияния. [c.180]

Метод Ритца применяется большей частью для приближенного решения вариационных задач и тех краевых задач, к-рые сводятся к вариационным. Пусть задан функционал Vu/(x)] (или более сложный функционал) и требуется найти такую ф-цию у(х), принимающую в точках х и х, заданные значения а = у(хо) и = у(х,), на к-рой функционал V[y(x)] будет достигать экстремума. Значения исследуемого на экстремум функционала V [jf(x)] рассматриваются не на всех [c.449]

Вернемся теперь к основной задаче вариационного принципа найти такую функцию из допустимого класса функций, что некоторый определенный интеграл по замкнутой области Я, зависящий от функции и ее производных, принимает максимальное или минимальное значение. Это есть обобщение элементарной теории вычисления максимумов и минимумов, которая состоит в нахождении точки замкнутой области, в которой функция имеет максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности в этой области. Определенный интеграл в вариационном принципе есть пример функционала и зависит от всего поведения функции в целом, а не от числа переменных. Область определения функционала есть пространство допустимых функций. Главная трудность вариационного подхода состоит в том, что задачи, которые могут быть естественно сформулированы как вариационные, могут нё иметь рещений. Математически это выражается незамкну-тостью пространства допустимых функций. Поэтому в вариационном принципе нельзя предполагать существование максимума или минимума. В этой книге мы, однако, имеем дело с приближенными решениями вариационных задач. Они получаются при рассмотрении некоторого замкнутого подмножества пространства допустимых функций для получения верхней и нижней оценок точного решения вариационной задачи. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...