Вариационный метод решения задач устойчивости

Вариационный метод решения задач устойчивости [c.417]

Вариационные принципы механики неразрывно связаны с теорией групп преобразований, синтезом аналитического и геометрического аспектов механики, оптико-механической аналогией и единой волново-корпускулярной картиной движений, классической и квантовой теорией физических полей, вариационными методами решения задач движения, равновесия, устойчивости и структуры физических систем и другими фундаментальными проблемами. [c.780]

Принципиальное значение имели работы Л. С. Лейбензона, опубликованные в 1924 — 1940 гг. в Трудах ЦАГИ и посвященные определению центра изгиба тонкостенных незамкнутых профилей, вариационным методам решения задач упругости с приложением к кручению и изгибу авиационных профилей. Необходимо также отметить серию теоретических работ П. В. Зволинского, опубликованных в Трудах ЦАГИ в период 30-х годов и посвященных устойчивости цилиндрических оболочек и сжатых прямоугольных пластин. [c.301]

Для решения задач устойчивости при любых граничных условиях следует применять вариационный метод Бубнова — Галерки-на, см. [49], стр. 102 и 132. [c.162]

В учебнике излагаются теория напряжений в деформаций, основные соотношения, принципы и теоремы теории упругости, постановка и методы решения задач теории упругости, плоская задача теории упругости в декартовых и полярных координатах, теория изгиба и устойчивости тонких пластин (прямоугольных и круглых в плане), приближенные методы решения задач теории упругости (вариационные методы, метод сеток, метод конечных элементов), основы теории тонких упругих (безмоментных и пологих) оболочек, основы теории пластичности. Большое внимание уделено приложениям, ра-вобрано большое количество задач. В конце каждой главы приведены вопросы для самопроверки в задачи для тренировки, к части из которых даны решения. [c.2]

Для решения задач устойчивости прямоугольных пластин используем алгоритм численно-аналитического варианта МГЭ, вариационный метод Канторовича-Власова и дифференциальное уравнение технической теории устойчивости (7.66) [c.453]

Важно отметить, что энергетический критерий можно использовать и для получения приближенных решений задач устойчивости оболочек с помощью прямых вариационных методов. [c.212]

Разработка методов численного решения задач устойчивости оболочек (как и других задач теории оболочек) достигла в настоящее время такого уровня, при котором уже трудно назвать задачу, не поддающуюся численному решению. Для осесимметрично нагруженных оболочек вращения — это методы ортогональной прогонки. В случаях, не допускающих разделения переменных, — это различные вариационные методы, в том числе интенсивно разрабатываемые в последнее время методы конечных элементов. [c.8]

При решении задач мгновенного деформирования открытых в вершине оболочек вращения сходимость метода по числу координатных функций можно проверять по степени удовлетворения однородных краевых условий для радиальных усилий в срединной поверхности и изгибающих моментов на внутреннем контуре (если он не подкреплен), так как они естественным образом вытекают из исходного вариационного уравнения. На рис. 38 приведены результаты численного решения задачи изгиба и устойчивости жестко защемленной по внешнему контуру сферической оболочки с центральным отверстием а—125 мм, Гк=62,5 мм, h = [c.75]

В предлагаемом учебном пособии представлен достаточно общий расчетный аппарат, позволяющий решать широкий круг задач статики, устойчивости и колебаний многослойных стержней, пластин и оболочек. Рассматриваемые методы расчета названы здесь вариационно-матричными. Это объясняется тем, что для решения задач используются приемы вариационного исчисления и матричной алгебры. Сочетание таких математических процедур позволяет для сложных моделей деформирования, которые характерны для описания многослойных конструкций с неоднородной структурой и ярко выраженной анизотропией, во-первых, получать разрешающие уравнения, строго соответствующие исходным гипотезам, и, во-вторых, достаточно просто программировать алгоритмы расчетов. [c.3]

Вариационная задача называется корректно поставленной (устойчивой), если она имеет единственное решение и всякая минимизирующая последовательность сходится к элементу х -В противных случаях вариационная задача называется некорректно поставленной. Однако часто вместо непосредственной минимизации функционала J (х) получают уравнение Эйлера — необходимое условие экстремума функционала J (х) — и из него определяют численными или аналитическими методами решение экстремальной задачи. В связи с этим рассмотрим вопрос о корректности операторных уравнений и их связь с вариационными задачами. [c.32]

Пример 31. Рассмотрим жестко защемленную квадратную пластину, нагруженную силами Мх = Му = М (рис. 6.7, в). Выше отмечалось, что наибольшая погрешность вариационного метода Канторовича-Власова наблюдается у квадратных пластин, а условия ее опирания не позволяют получить точного аналитического решения задач статики, динамики и устойчивости. Поэтому данная задача позволяет дать оценку точности и эффективности различных методов, в том числе и МГЭ. Матрица устойчивости и ее определитель для краевых условий по рис. 6.7, в примут вид [c.220]

Выражения (6.69) - (6.71) переходят в фундаментальные функции для прямоугольных пластин, если = //г г = (2-//)г = Ag = А. Добавим, что вариационный метод Канторовича-Власова исключает функции Бесселя, применяемые обычно при решении задач статики, динамики и устойчивости круглых пластин [19, 20, 26, 72, 92 и др.]. [c.228]

В данной работе предлагается принципиально новый метод расчета цилиндрических складчатых систем, основанный на алгоритме МГЭ для стержневых систем. Теоретической основой метода является вариационный метод Канторовича-Власова. Решение задачи Коши изгиба прямоугольной пластины представлено в 6.2. Его можно использовать для расчета пластинчатых систем в случаях, когда плоским напряженно-деформированным состояниям элементов можно пренебречь. Алгоритм МГЭ устраняет практически все отмеченные выше недостатки существующих методов. Так, для формирования системы разрешающих уравнений типа (1.38) не используются матричные операции, не рассматривается основная система, снимаются ограничения на условия опирания пластин по торцам (граничные условия могут быть любыми, а каждая пластина может иметь смешанные граничные условия и включать как прямоугольные, так и круглые элементы), матрица коэффициентов А сильно разрежена, хорошо обусловлена и может приметаться в задачах статики, динамики и устойчивости, возможен учет ортотропии, ребер жесткости, упругого основания, переменной толщины и т.д. Таким образом, алгоритм МГЭ охватывает практически наиболее общий случай расчета. Перечисленные преимущества сопровождаются, как это бывает всегда, и недостатками. В частности, порядок матрицы А существенно больше порядка матрицы реакций метода перемещений. Однако этот недостаток [c.232]

Направление научной деятельности - развитие теории и методов расчета линейных систем стержней, пластин и оболочек, решение задач статики, динамики и устойчивости на базе одномерных интегральных фавнений и вариационного методу Канторовича-Власова. [c.287]

Оптимальное профилирование радиальных подшипников имеет большое значение для создания конкретных технических устройств. Помимо оптимизации параметров подшипников с помощью решения прямых задач значительное место занимают исследования с привлечением вариационных методов. Наибольшее внимание уделялось профилированию зазоров подшипников, обеспечивающих максимальную несущую способность (задача типа задачи Рэлея) [1 ], максимальную жесткость подшипников [5,6] и минимальное сопротивление на цапфе вала [7, 8]. При этом принималось, что внутренние поверхности подшипника и цапфы абсолютно жесткие и недеформируемые. Однако на практике в связи с эксплуатационными особенностями работы используют подшипники с различного вида деформируемыми вкладышами - лепестковые, фольговые, ленточные и т.д. [9]. Они обладают рядом эксплуатационных достоинств - таких, как повышенная устойчивость к самовозбуждающимся колебаниям в широком диапазоне частот вращения вала, пониженный износ поверхностей трения при высоких частотах вращения, меньшие потери мощности, повышенный верхний предел несущей способности, низкая чувствительность к деформации корпуса и к отклонению от соосности узла подшипника, стойкость к инородным частицам. .. [c.33]

Иванов Г. В. К вариационным методам решения задач о деформировании и устойчивости пластин и оболочек в условиях ползучести. — Прикл. математика и техн. физика, 1963, № 5, с. 148—150. [c.98]

В первых пяти главах учебника рассматриваются общие вопросы теории упругости (теория напряжений и деформаций, основные соотношения и теоремы, постановка и лгетоды решения задач теории упругости, плоская задача в декартовых координатах, плоская задача в полярных координатах). В шестой и седьмой главах излагаются основные уравнения теории тонких пластин (гибких и жестких) и некоторые задачи изгиба и устойчивости пластин. Восьмая глава учебника посвящена рассмотрению приближенных методов решения задач прикладной теории упругости (вариационных, конечных разностей, конечных элементов). В девятой главе рассматриваются основы расчета тонких упругих оболочек, причем основное внимание уделено вопросам расчета безмоментных и пологих оболочек. В десятой главе изучаются основы теории пластичности. Здесь рассмотрена и теория расчета конструкций по предельнол1у состоянию. [c.6]

Изложенный метод численного решения вариационной задачи, т. е. задачи о минимуме функционала, указан В. Ритцем (в 1908 г.). Независимо от него и почти одновременно с ним С. П. Тимошенко использовал аналогичный метод для решения задач устойчивости (см. его книгу, указанную в сноске на с. 278). [c.392]

Изложены теория деформаций и напряжений, вариационные принципы, критерии и теории пластичности, теория ползучести, методы решения задач пластичности и ползучести прочность и разрушение, термолрочность механика композиционных материалов и конструкций (модели, прочность и деформативность) колебания механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, включая азрогидромехаиические колебания, параметрические и автоколебания, нелинейные колебания, удар, принципы линейной и нелинейной виброизоляции устойчивость упругих и упрутогшастических механических систем. [c.4]

В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР. В математическом отношении метод относится к группе вариационно-разностных, Строгое доказательство таких важных ствойств, как устойчивость, сходимость и точность метода, проводится в соответствующих разделах математики и часто представляет собой непростую проблему. Тем не менее МКЭ [c.12]

Это обстоятельство было впервые отмечено И. Г. Бубновым [97] при анализе задачи об устойчивости пластинки, решение которой на основе метода Ритца было получено С. П. Тимошенко. В дальнейшем Б. Г. Галер-кин [108] заметил, что существование эквивалентной вариационной задачи не является необходимым для данного алгоритма и, следовательно, ограничение, вводимое при анализе вариационными методами (а именно требование, чтобы оператор i4 был положительно определенным), становится излишнни. [c.154]

Большой ш лад в развитие общей теории оболочек внес В. 3. Власов. Им исследовались общие уравнения теории оболочек, разработаны техническая теория оболочек, полу-безмоментпая теория оболочек, предлоясеиа новая теория изгиба и кручения тонкостенных стерл ней открытого профиля. Ему принадлежит заслуга развития нового вариационного метода применительно к решению задач изгиба п устойчивости оболочек. Исследования В. 3. Власова положили начало созданию новой научной дисциплины — строительной механики оболочек. [c.11]

Воспользуемся для решения стохастических задач устойчивости вариационным методом, который был изложен выше применительно к нелинейным системам. Рассмотрим вновь простой методический пример, соответствующий параметрическим колебаниям безмассоБой системы при экспоненциально-коррелированном воздействии. Стохастические уравнения движения имеют вид (5.14), система моментных соотношений — форму (5.16). [c.147]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

В предлагаемом подходе при любых положительных весовых коэффициентах тип системы уравнений Э-0 не меняется. Однако, так как при Ар = О, Ао 7 О система становится смешанного эллиптико-гиперболического типа, то и для устойчивости вы-числений при решении уравнений Э-0 весовые коэффициенты выбирались таким образом, чтобы вклад слагаемых, соответсвующих /о, /а, не превосходил /р. В противном случае в дискретной ситуации задача может оказаться неустойчивой. Подробные рекомендации для выбора весовых коэффициентов в вариационных методах, основанных на решении уравнений Э О, на примере уравнений Брекбилла-Зальцмана приведены в [10, 21]. Отметим, что численное решение уравнений Э-0 не единственный путь для реализации вариационных принципов. Более эффективными при построении сеток могут оказаться прямые методы минимизации дискретных функционалов [16, 23]. [c.521]

В. И. Моссаковский, Н. И. Ободан и А. Д. Фридман исследовали [84] нелинейное деформирование цилиндрических оболочек с большими прямоугольными вырезами, нагруженных, внешним давлением. Для решения задачи использовался вариационный подход в сочетании с дифференциально-разностной формой метода конечных элементов. Исследован процесс локальной потери устойчивости и определены соответствующие критические нагрузки. [c.303]

Для отыскания критических чисел Рэлея и критических движений можно использовать прямые методы математической физики, в частности, методы Ритца и Бубнова — Галеркина. Особенно широкое распространение в задачах конвективной устойчивости получил метод Бубнова — Галеркина ввиду его простоты и универсальности (см. работы а также ряд последующих параграфов этой книги). Важное преимущество этого метода состоит в том, что он может быть эффективно использован для решения задач, не связанных с вариационными проблемами. К их числу относится, например, задача об устойчивости конвективных движений, расс матриваемая в гл. X. [c.28]

Определение критических чисел из трансцендентных уравнений (6.14), (6.15) требует громоздких вычислений, поэтому в первых исследованиях устойчивости равновесия слоя с твердыми границами использовались приближенные методы решения краевой задачи для нейтральных возмущений. Впервые значения минимального критического числа Рэлея были найдены Джефрисом с помощью метода конечных разностей [ ], а затем, более точно, — методом Фурье Р]. Исследование границы устойчивости на основе точных характеристических уравнений было проведено Лоу [ ] и особенно обстоятельно — в известной работе Пеллью и Саутвелла [ ] ). В последней работе был также предложен вариационный метод нахождения критических чисел Рэлея для плоского слоя. Дальнейшее развитие вариационный метод получил в работах Чандрасекара (см. [ 2]). Весьма эффективным оказался также метод Галеркина (см. 7 и 8). [c.43]

Задачи устойчивости типичны для тонких и тонкостенных тел. Решения этих задач для стержней, пластин и оболочек строятся обычно на основе приближенных уравнений, в которых используются некоторые кинематические и динамические гипотезы. Имеется несколько путей для получения этих уравнений. Первый, наиболее ранний способ состоит в непосредственном рассмотрении форм движения (равновесия), смежных с невозмущенным. При этом ищется некоторая приведенная нагрузка, которая вводится в уравнение невозмущенного движения. Все рассуждения носят наглядный характер однако в достаточно сложных задачах эта наглядность оказывается обманчивой. Другой путь состоит в использовании нелинейных уравнений соответствующих прикладных теорий. Линеаризуя последние в окрестности невозмущенного движения, получим искомые уравнения. В теории оболочек этот путь использовался X. М. Муштари (1939), Н. А. Алумяэ (1949), X. М. Муштари и К. 3. Галимовым (1957), Н. А. Кильчевским (1963), В. М. Даревским (1963) и другими авторами. Однако в нелинейной теории имеется еще меньше единства взглядов на то, как должны записываться основные уравнения. Следо вательно, идя по этому пути, мы лишь смещаем все трудности в другую, еще менее согласованную область. Третий путь состоит в использовании общих уравнений теории упругой устойчивости (В. В. Новожилов, 1940, 1948). Метод, основанный на соответствующем вариационном принципе, был применен [c.332]

Значительное число частных задач теории упругой устойчивости решено на основе уравнений нейтрального равновесия типа (4.6) и (4.7). Решение задач сводится к отысканию собственных значений и выбору среди них тех, которые соответствуют переходу от устойчивости к неустойчивости. При этом применяются разнообразные методы — как заимствованные из математической физики, вычислительной математики, теории колебаний, так и более специализированные приемы строительной механики, теории оболочек и т. п. Среди них важное место занимают вариационные методы метод Рейли — Ритца (1873, 1889, 1908 гг.), метод Бубнова (1911 г.) и др. Применение этих методов широко освещено в книгах [c.337]

Для решения задач М. широко пользуются всевозможными математич. методами, многие из к рых обязаны М. самим своим возникновением и развитием. Изучение всех перечисленных выше разделов с помощью соответствующих математич. методов, а также рассмотрение основных законов и принципов, включая вариационные принципы механики, и вытекающих из этих законов и принципов ур-ний и теорем, составляет содержание т. н. теоретич. М. К те0рс1тич. М. относят, в частности, исследование устойчивости равновесия и устойчивости движения, а также механику тел переменной массы. Важное место в М., особенно Б М. сплошных сред, занимают экспериментальные исследования, проводимые с помощью разнообразных механич., оптич., электрич. и др. физич. методов и приборов (см., напр.. Аэродинамический тгсперимент, Оптический метод исследования напряжений). [c.210]

Таким образом, получена вариационная формулировка задачи о температурном растяжении пластины. Аналогично тому, как это делалось в 8.4, можно получить вариационную формулировку и для задачи о температурном изгибе для этого следует использовать второй член правой части уравнения (8.90). Далее формулировки задач о температурном напряжении в пластине можно обобщить и на случай больших прогибов аналогично тому, как это делалось в 8.5. Эти вариационные принципы использовались в сочетании с методом Релея—Ритца для получения приближенных решений [21, 221. Температурные напряжения являются причиной таких явлений, как температурная потеря устойчивости или изменение жесткостей и частот колебаний пластин (23, 241. [c.238]

Ко второй группе теоретических исследований по вопросу об устойчивости ламинарных течений относятся исследования, в которых использовался преимущественно энергетический метод. При использовании этого метода на ламинарное течение накладывалось также поле возмущений, но оно выбиралось не из частных решений линеаризированных уравнений, а из условия минимума некоторого выражения, содержащего интегралы от кинетической энергии и квадрата вихря. В частности, это выражение представляло собой отношение того количества энергии, которое переходит из основного поля скоростей в поле скоростей возмущений, к тому количеству кинетической энергии, которое рассеивается благодаря вязкости. При некотором видоизменении постановки вопроса об определении распределения скоростей в поле возмущений задача приводится к задачам вариационного исчисления. Этот метод был использован в работах Рейнольдса, Лоренца, Орра ), Кармана ), Сайнджа ) и др. [c.388]

Решение вариационной задачи о поперечных колебаниях пластинки, как и в случае статического изгиба и устойчивости, можно получить, например, методом Ритца, а именно, задаются компонентами деформации ф, гр, и в виде бесконечной суммы с неопределенными коэффициентами [c.94]

Дан полный математический анализ краевых задач иелииейиой теории оболочек. Для всех физически осмысленных постановок доказаны теоремы разрешимости и корректности в условиях глубокой нелинейности. Приведены условия единственности решений и условия неединственности. Получили обоснование в этом круге нелинейных задач методы приближенного решения Бубнова — Галеркина, Ритца, Ньютона — Канторовича и др. Большое внимание уделено нелинейной устойчивости, в которой различаются две проблемы оценка числа решений краевой задачи и выбор наиболее реального. Подробно проанализированы возможности принципа линеаризации Эйлера, дано строгое математическое обоснование существования нижних критических чисел, развит статистический подход. Основу рассмотрений составили топологические и вариационные соображепия. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...