Вариационной задачи решение прямое

Рассмотрим примеры решения вариационной задачи кручения прямыми методами. [c.179]

Понятие о прямых методах решения вариационной задачи. Решение вариационной задачи о минимуме функционала может быть выполнено не только классическим путем, описанным выше, согласно которому она сводится к краевой задаче для некоторого дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, но и так называемым прямым методом. Последний состоит в представлении искомой функции (экстремали), минимизирующей функционал, в виде ряда [c.449]

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

Задача Б представлена в форме общих задач вариационного исчисления. В зависимости от вида функционала Яо и компонентов вектор-функционала Н задачи вариационного исчисления имеют различные формы и различные методы их решения [60]. Выбор той или иной формы задачи во всех случаях обусловлен удобством и эффективностью решения. Методы решения вариационных задач делятся на две большие группы аналитические и прямые (численные). [c.76]

Замечания о применении вариационных принципов механики. Прямые методы решения задач динамики, Принцип переменного действия [c.209]

Расчет массивных тел методами математической теории упругости связан со значительными математическими трудностями ввиду разнообразия форм, краевых условий и условий нагружения. Поэтому для решения пространственных задач применяют прямые и вариационные методы прикладной теории упругости. [c.351]

Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие Ji = U—2А = т п является очень эффективным для приближенных решений задач статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся при исследовании вариационных задач (например, уравнение равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в частных случаях. Поэтому возникает необходимость в разработке методов приближенного решения вариационных задач с использованием исходных функционалов [например, (4.217)], не переходя к дифференциальным уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято называть прямыми методами. [c.180]

Обычно дифференциальные уравнения вариационных задач интегрируются в конечном виде лишь р исключительных случаях. Поэтому возникает необходимость решения вариационных задач непосредственными или прямыми методами, т. е. без решения соответствующих дифференциальных уравнений. [c.97]

ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ КРУЧЕНИЯ [c.177]

Таким образом, вместо решения уравнения Пуассона (7.33) при граничном условии (7.13) функция напряжений Ф, минимизирующая функционал может быть приближенно определена одним из прямых методов вариационной задачи кручения при выполнении граничного условия (7.13). [c.179]

Перечисленные нами ранее вариационные методы решения задач относятся к так называемым прямым вариационным методам. [c.190]

Методы прямые решения вариационной задачи 449 [c.614]

Если удается создать функционал, который необходимо минимизировать выбором всех неизвестных параметров, а также если определены все ограничения (связи), наложенные на эти величины, то такую экстремальную задачу легче решать, чем искать аналитическую форму решения (прямой метод). Теория вариационного исчисления полностью основана на косвенном методе. Ф. Гаусс ввел [10] скалярную функцию, названную мерой принуждения. Она имеет вид [c.70]

В математической физике методы приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений, основанные на сведении задач к решению системы алгебраических уравнений, принято называть прямыми методами. Прямые методы широко применяют непосредственно для построения приближенных решений задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных, а также вариационных задач, к которым сводятся соответствующие задачи математической физики. [c.115]

В отличие от задачи на экстремум функций конечного числа переменных в вариационной задаче необходимо исследовать на экстремум функции бесконечного числа переменных. Поэтому вполне естественной является основная идея прямых методов рассматривать вариационные задачи как предельные для задач на экстремум функций конечного числа переменных. Если при решении вариационных задач не совершать предельного перехода, то получим их приближенное решение. [c.116]

Если в точке излома производная слева х ) больше производной справа х ) то применение формулы Ньютона может привести к ошибкам. В этом случае следует ожидать также возникновения отрыва пограничного слоя, и реальная картина течения будет существенно отличаться от расчетной. Поэтому при решении вариационной задачи в данной постановке прямые ж = жз и = 0 следует исключить из рассмотрения. Участками краевого экстремума могут быть торец ( ж = 0) и участок постоянной толщины у = уз). Стыковка торца с экстремалью происходит в точке 1 с координатами = 0, 1, а стыковка экстремали с участком постоянной толщины — в точке 2 с координатами Ж2, У2 — Уз- [c.522]

Оба описанных способа основываются на дифференциальных уравнениях теории упругости, но ими не исчерпываются возможные подходы к решению задач. Еще одна возможность заключена в использовании минимальных энергетических принципов и в применении основанных на них прямых методов решения вариационных задач. [c.126]

Итак, приближенное решение вариационных задач статистической динамики по методу множителей Лагранжа для простейших нелинейных систем обеспечивает высокий уровень точности уже при учете моментных соотношений второго порядка. В отличие от метода редукции уравнения относительно моментных функций здесь удовлетворяются не приближенно, а в строгом соответствии с совместной плотностью вероятности фазовых переменных. При этом форма распределения выбирается не произвольно, а на основе вариационного принципа максимума энтропии. Однако построение дальнейших приближений, которые могут потребоваться для системы с существенными нелинейностями, связано с громоздкими вычислениями. Привлечение моментных соотношений более высокого порядка приводит к усложнению выражения для р и резкому увеличению машинного времени на реализацию численного алгоритма. В связи с этим ниже рассмотрены другие варианты прямого метода решения вариационных задач, более удобные для практической реализации. [c.61]

Эффективность прямых методов решения вариационных задач во многом зависит от обоснованного выбора выражений, аппроксимирующих искомые функции. В задачах статистической динамики возможно косвенное представление распределений, осно- [c.66]

Сведение к ГИУ —один из путей понижения размерности краевой задачи другой путь заключается в преобразовании ее к задаче отыскания минимума функционала, запи санного по границе области (или ее части), и положен в основу прямого вариационного метода решения смешанных краевых задач для эллиптических уравнений, предложенного в 165]. [c.204]

Выбор подходящих функций является одним из важнейших этапов анализа процессов обработки металлов давлением не только в случае применения вариационных методов этого анализа. Действительно, возможность использования равенств (6-42) для определения по заданным выражениям (6-39) выражений компонентов девиатора напряжений, как и возможность использования равенств (6-43) и (6-44) для нахождения значений заранее неизвестных параметров в выражениях (6-39) и расчета самих напряжений имеет место вне зависимости от вариационных методов решения задач обработки материалов давлением. Что касается так называемых прямых вариационных методов (т. е. использование уравнений [c.187]

В настоящую книгу, посвящённую пространственным задачам теории упругости, можно было бы включить наряду с тем материалом, который представлен, изложение теорем о существовании решений уравнений теории упругости, вариационных и других прямых методов решения пространственных задач и рассмотрение некоторых специальных вопросов, в первую очередь задачи Сен-Венана и ей родственных задач Митчелла и Альманзи, а также учения о концентрации напряжений в местах резкого изменения геометрической формы упругого тела. Выполнение такой программы превышает силы и возможности автора оно потребовало бы для изложения, могущего претендовать на полноту и обстоятельность, работы целого коллектива и книги совершенно иного объёма. Надо надеяться, что советская литература, располагающая капитальными трудами по теории упругости, со временем обогатится отдельными сочинениями и по указанным выше вопросам. [c.7]

Численные методы построения оптимальных решений. Как уже отмечалось, в подавляющем большинстве случаев исследование проблемы оптимизации приводит к необходимости решения сложных вариационных задач, что невозможно без использования эффективных численных методов. В связи с этим в задачах механики полета находят широкое приложение существующие численные методы и, с другой стороны, при решении специфичных задач разрабатываются новые численные методы. Методы численного решения вариационных задач разделяются на прямые и непрямые. Основу первых составляют различные итерационное процессы последовательного уменьшения (увеличения) функционала для применения непрямых методов вариационная проблема предварительно сводится к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений. Ограничимся перечислением тех методов, которые наиболее часто используются в задачах механики полета [c.285]

Вариационная задача двойлвеиная 282 Вариационное исчисление 267 Вариационной задачи решение прямое 281 [c.311]

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили методы Рэлея—Ритца, Бубнова— Галеркина. [c.127]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили метод Ритца, метод Канторовича н метод Бубнова—Галеркина — метод приближенного решения диффе- [c.97]

Обычно для оценки точности приближенного решения, полученного методом Ритца или другими прямыми методами, пользуются следующим теоретически, конечно, несовершенным, но практически достаточно надежным приемом вычислив Ыг и ы,-(т1+1)> сравнивают их между собой в нескольких точках рассматриваемой области. Если в пределах требуемой точности их значения совпадают, то считают, что с требуемой точностью решением вариационной задачи будет гп. Если же значения ы,- vi.Unn+D в пределах заданной точности не совпадают, то вычисляют Ыкп+2) и сравнивают о (n+D- [c.109]

Прямой метод решения вариационных задач, предложенный Л. В. Канторовичем (1933) и названный методом приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, представляет собой развитие метода Ритца, когда функционал зависит от функций нескольких переменных. [c.111]

Вариационная задача отыскания функции А = Д/(ф), при которой достигается минимум функционала и в прямом приближенном методе Ритца, сводится к задаче отыскания коэффициентов С в приближенном решении, представленном в фо ме конечной суммы [c.422]

При применении прямых методов получение достаточно точных решений связано с решением больших систем уравнений, решение которых затруднено из-за ограниченных возможностей вычислительных машин (память, быстродействие, ошибки округления). Поэтому при составлении программ решения больших систем линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации вариационных задач, стремятся учесть особый вид магриц таких систем например, их малую заполненность, ленточную структуру и т. д. Такие системы можно решать на ЭВМ точными методами (Гаусса, Жордана), если использовать внешние запоминающие устройства и применять специальные приемы, направленные на экономию памяти и времени счета, например блочный метод Гаусса. [c.180]

Таким образом, прямой вариационный метод В.Ритца фактически сводит решение вариационной задачи к задаче о поиске экстремума функции. В приложениях этот метод часто оказьшается весьма эффективным. [c.283]

Решения прямой и вариационной задач с полностью сверхзвуковым течением для малых А и с переходом от сверхзвука к дозвуку в узле - при больших А не исчерпывают всех возможных режимов работы оптимального МГД генератора. Для тех же условий на входе и выходе из его канала при промежуточных А возможны режимы с торможением потока в стационарном прямом скачке. Примеры оптимальных МГД генераторов, работающих на таких режимах, построе- [c.18]

Применительно к задачам оптимального профилирования сопел для воздушно-космических систем (ВКС) интересны не только плоские симметричные, но и плоские несимметричные сопла, которые кроме тяги создают подъемную силу и момент. В ЛАБОРАТОРИИ решение вариационных задач, включающих эти характеристики или их комбинации в качестве оптимизируемого или фиксируемого функционала ( изопериметрического условия ), с помощью МНК выполнила Г.Ю. Миско [42]. Прямыми методами вариационного исчисления оптимальное профилирование несимметричных сопел ВКС успешно осуществили М. К. Аукин и Р. К. Тагиров [43, 44]. Прямые методы позволили учесть трение и вытесняющий эффект пограничного слоя (последний для сопел ВКС увеличивает тягу) и осуществить оптимальный выбор наклона короткой (нижней) стенки несимметричного сопла. [c.367]

В пятидесятых годах решение прямой задачи начинает внедряться в практику расчета и проектирования турбомашин и получает многочисленные примеры применения. Решение задачи относительно составляющих скоростей производится обычно по методу прямых и сводится к последовательности краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в естественной сетке с использованием кривизн (Г. Ю. Степанов, 1953, 1962) или в нолуфиксированной и в фиксированной сетках (Л. А. Симонов, 1950, 1957 Я. А. Сироткин, 1959—1963 Н. И. Дураков и О. И. Новикова, 1963 М. И. Жуковский, 1967). Решение задачи относительно функции тока получается методом сеток (Г. И. Майкапар, 1958 Я. А. Сироткин, 1964) или вариационным методом Галеркина (П. А. Романенко, 1959). Во всех случаях из-за нелинейности задачи применяются последовательные приближения, причем их сходимость проверяется или достигается (путем выбора шагов сетки или весовых коэффициентов) с помощью численного эксперимента. Расчеты в общей постановке задачи оказываются весьма трудоемкими и ориентируются в основном на применение современных ЭЦВМ. [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...