Вариационная формулировка задач теории упругости

ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.49]

Таким образом, при заданной нагрузке на тело надо найти такие функции и, V, W, при которых выполняется условие бЭ = 0. Тем самым будут найдены истинные перемещения тела и решена задача теории упругости (в перемещениях). В этом и состоит вариационная формулировка задачи теории упругости с помощью принципа Лагранжа. Механически оно в интегральной форме выражает условия равновесия деформированного тела. [c.55]

Таким образом, при заданной нагрузке на тело надо пайти такие функции щ, при которых выполняется условие (4.8). Тем самым будут найдены истинные перемещения тела и решена задача теории упругости в перемещениях. В этом и состоит вариационная формулировка задачи теории упругости с помощью принципа Лагранжа. [c.75]

СВЯЗЬ МЕЖДУ ВАРИАЦИОННОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМУЛИРОВКАМИ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.55]

Мы будем называть эту формулировку задачи теории упругости моделью или постановкой в перемещениях и будем называть основной задачей соответствующую задачу минимизации или вариационную задачу. [c.395]

Наряду с основными дифференциальными уравнениями механики деформируемого твердого тела в учебнике изложена вариационная формулировка задач, которая имеет особенно важное значение при построении приближенных методов, используемых как в теории упругости и пластичности, так и в строительной механике. [c.3]

Подобно тому как статические задачи теории упругости допускают вариационную формулировку, решение динамической задачи может быть сведено к отысканию стационарного значения интеграла действия [c.432]

Большой интерес к вариационным формулировкам задач деформирования многослойных оболочечных конструкций объясняется в первую очередь тем, что на основе исходных гипотез, применяя формальные математические приемы, можно избежать трудоемкого этапа составления уравнений равновесия статическим методом и приближенно свести трехмерную задачу теории упругости к одномерной или двумерной задаче. При этом соответствующие разрешающие уравнения и граничные условия строго соответствуют исходным допущениям и определяются единственным образом. Кроме того, вариационные формулировки являются основой для эффективных приближенных методов расчета, которые позволяют получить на выбранном классе аппроксимирующих функций наилучшие в энергетическом смысле приближенные решения. [c.71]

Изложенные вьпне вариационные принципы могут быть применены для решения геометрически нелинейных задач теории упругости. Для этого необходимо внести некоторые изменения в их математические формулировки. С>чь этих изменений состоит в следующем [c.53]

Теория преобразования вариационных проблем дает в наше распоряжение все множество вариационных функционалов, точки стационарности которых являются решением задачи теории упругости или теории оболочек наиболее интересные из них приведены в гл. 3 и 4. В каждой вариационной формулировке задачи принципиально можно применить любой из прямых методов решения вариационные методы в аналитической, численной и комбинированной форме. [c.169]

Третье издание книги разбито на две части, часть А и часть В. Содержание части А, озаглавленной Формулировка вариационных принципов в теории упругости и пластичности , практически не отличается от первого издания, за исключением некоторых новых тем в гл. 5 и 7. Содержание части В, озаглавленной Вариационные принципы как основа методов конечных элементов , мыслится как улучшенное изложение приложения I второго издания. В этой части систематически излагаются классические вариационные принципы и модифицированные вариационные принципы со смягченными (ослабленными) требованиями непрерывности применительно к задачам статической теории упругости (теория малых перемещений и теория конечных перемещений) и динамической теории упругости, а также к теориям геометрической и физической нелинейности и теории изгиба упругих пластин. Последняя глава посвящается методам дискретизации и содержит вновь добавленное введение в метод граничных элементов. [c.8]

В-четвертых, когда точное решение задачи теории упругости не может быть найдено, вариационный метод зачастую обеспечивает формулировку для приближенного решения задачи, которая дает приближенное решение с заданной степенью точности. Здесь вариационный метод обеспечивает не только приближенное решение определяющих уравнений, но и условия приближенного выполнения граничных условий. Поскольку точное решение задачи теории упругости возможно лишь в очень редких случаях, то для практических целей следует удовлетвориться приближенными решениями. Теории балок, пластин, оболочек и многокомпонентных конструкций являются типичными примерами приближенных формулировок, демонстрирующими мощь принципа виртуальной работы и связанных с ним вариационных методов. [c.20]

Выведенные до сих пор вариационные принципы касались краевой задачи теории упругости. В последних двух параграфах этой главы рассмотрим вариационные формулировки задачи о свободных колебаниях упругого тела при малых перемещениях. Задача формулируется так, что тело свободно на 5 и закреплено на S . Поскольку мы ограничиваемся случаем малых перемещений, все уравнения задачи линейны, а перемещения и напряжения в теле изменяются гармонически во времени. Обозначив амплитуды напряжений, деформаций и перемещений через. ......., и, [c.66]

Естественно изогнутая и закрученная тонкая балка рассматривается в классической задаче теории упругости [1]. В качестве основы для приближенного- решения этой задачи можно применить принцип виртуальной работы, причем для описания искривленной оси балки и двух искривленных поверхностей, образованных огибающими главных осей поперечных сечений, удобно использовать криволинейную систему координат [27—28]. Для этой задачи были предложены вариационные формулировки, и работа [29] является одной из последних работ в этой области. [c.208]

Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной формулировки задачи (1.82), (1.83) по сравнению с классическим методом перемещений. При решении задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов сходимость решений в ряде случаев определяется реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация перемещений полиномами низкой степени является грубой для описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут накапливать ложную деформацию и вносить существенные погрешности в решение задач. При учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах учет смещения как жесткого целого становится особенно важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенности (A/i ) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении деформаций усиливаются и могут дать значительную ложную энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в пределах конечного элемента при использовании смешанного метода позволяет обеспечить минимальную энергию ложных деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости. [c.23]

Особое внимание уделено получению основных уравнений, соотношений и вариационных формулировок задач статики и термоупругости многослойных оболочек с использованием варианта теории, учитывающего деформации поперечных сдвигов. В качестве кинематических гипотез выступают предположения о несжимаемости стеики оболочки в поперечном направлении и линейном распределении по толщине многослойного пакета касательных перемещений. Распределения касательных поперечных напряжений выбираются в наиболее простом виде независимо от кинематических гипотез. Приведение трехмерной задачи теории упругости к двумерной осуществляется с использованием смешанной вариационной формулировки. Все преобразования выполнены с учетом переменности метрики по толщине оболочки. Показана идентичность полученных уравнений равновесия с интегральными уравнениями трехмерной теории упругости. [c.66]

При исследовании и решении задач теории упругости широко применяются энергетические (вариационные) методы. В их основе лежит использование тех или иных энергетических теорем (вариационных принципов, а в задачах с краевыми условиями в форме альтернативных равенств и неравенств и вариационных неравенств). Подробное изложение энергетических теорем с анализом класса задач, для которых та или иная из них наиболее эффективна, содержится, например в [19, 90,93, 123, 134, 135, 138, 225]. В дальнейшем понадобится главным образом теорема о минимуме потенциальной энергии, а также теорема о минимуме дополнительной работы. Приведем необходимые определения и формулировки. [c.94]

В механике сплошной среды ранее других стали развиваться вариационные методы в теории упругости, в частности в задачах равновесия упругого тела, после того, как В, Ритц опубликовал в 1908 г. свой метод приближенного решения вариационной задачи. Пожалуй, только с середины прошлого века стали разрабатываться вариационные методы в гидромеханике. Весьма интересна вариационная формулировка уравнения баланса и использование ее в задачах термодинамики и задачах переноса, в том числе в задачах [c.439]

Вариационные принципы применительно к динамическим задачам теории упругости могут быть сформулированы на основании общих вариационных принципов механики. Однако для линейных систем все необходимые формулировки можно получить, исходя из вариационных принципов статики. Произведем преобразования Лапласа над линейным уравнением [c.152]

Поскольку в общем случае связь и е ., а значит, связь и компонентов перемещений tii неоднозначна, для рассматриваемой задачи термопластичности не удается дать вариационную формулировку, которая бы содержала функционал с известными экстремальными свойствами. В частном случае описания неупругого поведения материала при помощи деформационной теории пластичности в рамках предположения о простом нагружении (см. 1.5) эта связь становится однозначной, материал можно рассматривать как нелинейно-упругий и в вариационной формулировке (1.114) использовать функционал (6.77). Реализация такого подхода изложена в 6.4. [c.258]

Эта теория создана уже около половины века тому назад, но в литературе известны лишь немногие примеры применения ее к задачам механики деформируемых тел. Первые работы принадлежат Р. Куранту [0.9] и Э. Рейсснеру [0.13]. Р. Курант впервые применил преобразование Фридрихса для установления связи между принципами Лагранжа и Кастильяно. Э. Рейсснер [0.13], оценивая результаты своих четырех работ, посвященных вариационным принципам теории упругости, характеризует новизну использования теории [0.9] и полученную в итоге полную формулировку вариационной теоремы как вклад в теорию упругости. В отечественной литературе теория [0.9] впервые применена в работах [0.4], а впоследствии в (0.15, 0.6, 0.1] и др. Однако все эти исследования, как правило, не имеют общего характера и относятся к вариационным формулировкам в терминах стационарности функционалов. К анализу экстремальных свойств функционалов эта теория не применялась. [c.8]

В литературе функционал (8) часто называют функционалом Лагранжа вариационной задачи (1), (2). Мы не будем пользоваться этим термином, оставив его для функционала, участвующего в формулировке принципа Лагранжа (принцип минимума потенциальной энергии) в теории упругости и теории оболочек. Функционал (8), как и все функционалы без дополнительных условий, полный. [c.36]

На основе вариационного подхода рассмотрен способ приведения конструктивно-анизотропных, в частности ребристых, оболочек, к задачам теории неоднородных анизотропных оболочек [0.2, П.1, П.2]. Обобщение распространено и на учет приобретенной анизотропии, которая создается даже в изотропных оболочках при работе в упруго-пластической стадии [П.З]. Благодаря такому обобщению формулировки гл. 4 распространяются на оболочки с конструктивной и приобретенной анизотропией. [c.217]

Включение в настоящий обзор раздела о вариационных методах может показаться неожиданным, однако эти методы находят в. теории оболочек со своими сложными соотношениями такое широкое и разнообразное применение, что следует подчеркнуть их значимость. Общая теория оболочек или же ее упрощенные варианты для решения каких-либо конкретных задач, конечно, могут быть построены без использования аппарата вариационных методов, но нужно привлечь внимание и к обратной точке зрения раз некоторая совокупность расчетных соотношений построена, следует проверить, обладает ли данная модель упругой системы потенциалом, допускающим вариационную формулировку рассматриваемой задачи. [c.234]

Расчеты на ползучесть по теории старения эквивалентны расчетам при нелинейных зависимостях между напряжениями и деформациями. Наиболее общая формулировка теории старения принадлежит Ю. Н. Работнову [124, 125]. Согласно ей напряжения и деформации в условиях ползучести для заданного значения времени определяются путем расчета детали на основе изохронной кривой ползучести для этой величины времени. Поэтому так же, как и в случае установившейся ползучести, результаты, полученные в теории пластичности [50, 60, 149], а также приближенные методы решения упруго-пластических и пластических задач, например метод упругих решений [50], метод переменных параметров упругости [8, 9], вариационные методы [60], могут быть использованы и для расчетов по теории старения. [c.220]

В данной главе прежде всего позпакомимся с двумя основными принципами — Лагранжа и Кастильяно, а также с некоторыми другими принципами. Укажем на связь этих принципов и вариационной формулировки задачи теории упругости с дифференциальной формой этой задачи. [c.49]

Вариационная формулировка задачи теории упругости используется главным образом в двух с.пучаях. В первом на основе уравнения бЭ = О строятся численные методы решения этой задачи (метод Ритца, метод конечных элементов и т. п.). Все эти методы относят к классу прямых методов решения задач теории упругости, не требующих в явной форме использования дифференциальных уравнений. [c.57]

В настоящее время профессор Васидзу подготовил переработанное издание своей книги, в которую включено новое приложение I. Это приложение дает представление об основных вариационных принципах, которые часто используются как базис для математической формулировки задач теории упругости и пластичности, включая новые вариационные принципы, разработанные в связи с методом конечных элементов. Так же как и в первом издании, приложение I написано ясно, кратко и элегантно — стиль, вообще свойственный профессору Васидзу. [c.11]

В гл. 2 описываются основы конечно-элементной формулировки задач теории упругости в перемещениях. Необходимость внимательного изучения этой главы обусловлена тем, что ряд последующих глав, в которых рассматриваются различные задачи теории упругости, непосредственно основывается на разработанной здесь теории. В гл. 3 возможные другие подходы на основе принципов виртуальной работы и минимума энергии распространяются на вариационные задачи и показывается существенное сходство методов конечных элементов и Релея — Ритца. Наряду с этим в гл. 3 указывается иа возможность и других, не вариационных формулировок. [c.8]

В гл. 3 было показано, что задачи теории упругости допускают как дифференциальную формулировку, так и вариационную об отыскании таких функций, которые сообщают некоторому функционалу Э стационарное значение, когда вариация ЬЭ = 0. В связи с применением ЭВМ в решении сложных задач прикладной теории упругости в последние два-три десятилетия было установлено, что конечно-разностные аппроксимации во многих случаях предпочтительнее сочетать именно с вариационной постановкой задачи. Это позволяет удобно алгоритмизировать все этапы расчета, избежать вывода дифференциальных уравнений в сложных случаях, упрощает формула ровку граничных условий [1,5]. [c.247]

Метод Ритца. Вариационная формулировка задачи о равновесии, заключающаяся в принципе минимума потенциальной энергии системы, подсказывает возможность применения для решения задач теории упругости прямых методов вариационного исчисления. [c.153]

Способ Галеркина (1915). Для краевых задач, допускающих вариационную формулировку, в частности для задач теории упругости, этот приближенный способ интегрирования дифференциальных уравнений представляет упрощающее вычисление видоизменение метода Ритца. Приближение (2.3.1) [c.154]

Таким образом, видно, что метод Релея — Ритца в теории упругости при малых перемещениях ведет к формулировкам, эквивалентным тем, которые получены с помощью приближенных методов 1.5 и 1.7. Однако каждый метод имеет свои преимущества и недостатки в применении к задачам, отличным от задач теории упругости. Эти приближенные методы справедливы независимо от соотношений напряжения — деформации и потенциалов внешних сил, но обычно трудно доказать, что приближенное решение сходится к точному при увеличении п. С другой стороны, соотношения напряжения — деформации, объемные силы и поверхностные силы должны обеспечивать существование функций состояния Л, Л Ф и Ч при использовании вариационных формулировок метода Релея — Ритца. Однако доказательство сходимости решений здесь менее сложно, особенно когда найдено минимальное или максимальное значение функционалов. [c.62]

Б. четвертой главе описаны сведения из функционального анализа и теории вариационных неравенств, используемые при решении поставленных задач. Кратко рассмотрен вопрос о математической постановке дийамических задач теории упругости для тел с трещинами, на берегах которых заданы односторонние ограничения в виде неравенств. Дана вариационная формулировка задачи, выведены вариационные граничные неравенства и граничные функционалы. [c.6]

Использование метода Галёркина непосредственно приводит к слагаемым, которые в вариационной формулировке должны быть добавлены к функционалу, чтобы учесть граничные условия. Метод Галёркина применяется также при решении двумерных и трехмерных задач теории упругости [5]. В результате получается система уравнений, подобная той, которая соответствует вариационной формулировке этих задач. [c.332]

Формулировку вариационных принципов этой теории, так же как и теории упругости для сплошного тела (см. гл. 3, 6), можно обобщить, рассматривая в качестве варьируемых переменных разрывные поля перемещений, деформаций, усилий и функций напряжений. Вариационные принципы при разрывных полях параметров напряженно-деформированного состояния могут служить для построения алгоритмов расчета оболочек, в частности при использовании метода Ритца и метода конечных элементов, а также для решения некоторых контактных задач. [c.132]

Айнола Л. Я- О возможностях формулировки вариационной задачи в нелинейной теории упругих оболочек. — Тр. Таллинского политехнического института, сер. А, № 104. Таллин, 1957 Вариационные задачи в нелинейной теории упругих оболочек. — ПММ, 1957, т. 21, вып. 3. [c.279]

Широко известно, что одним из первых математиков, принимавших участие в становлении МКЭ, был Курант. Он представил приближенный метод решения задачи кручения Сен-Венана с помощью принципа минимума дополнительной энергии, используя линейную аппроксимацию функции напряжений внутри каждого из совокупности треугольных элементов [1]. С другой стороны, наиболее важными и исторически первыми среди пионерских работ по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются статьи Тёрнера, Клафа, Мартина и Топпа [2] и Аргириса и Келси [3]. После появления этих статей вариационный метод стал интенсивно использоваться в математических формулировках МКЭ. И обратно, быстрое развитие МКЭ сообщило мощный стимул к разработке вариационных методов за последнее десятилетие появились новые вариационные принципы, такие, как вариационные принципы со смягченными условиями непрерывности [4—8], принцип Геррмана для несжимаемых или почти несжимаемых материалов [9, 10] и для задач изгиба пластин [11, 12] и т. д. Цель части В состоит в том, чтобы дать краткий обзор достижений в области вариационных принципов, которые служат основой МКЭ в теории упругости и теории пластичности. С практическим использованием этих принципов при формулировке МКЭ читатель может ознакомиться по работам [5—7]. [c.340]

Как мы уже видели, начальные условия (15.7) в вариационных принципах, связанных с принципом Гамильтона, не играют существенной роли. Таким образом, ни один принцип из этого семейства не позволяет получить все уравнения задачи динамической теории упругости только из вариационного выражения. Гуртин ввел вариационные принципы, которые в отличие от принципов семейства Гамильтона полностью характеризуют решение задачи динамической теории упругости. Его формулировка начинается с определения свертки двух функций д х, t) и а х, t) в виде [c.377]

Как указывалось выше, термодинамические методы оказываются. необходимыми при решении обширного класса задач механики твердого деформируемого тела. Это задачи, в которых используются понятия работы, количества теплоты, внутренней энергии (вариационные принципы термоупругости, формулировка основных теорем строительной механики при наличии теплового нагружения и т. д.у, решается фундаментальная проблема механики сплошной среды [20], формулируются термодинамические постулаты в теории пластического течения, исследуется механизм затухания упругих волн звуковой частоты и т. д. Большое практическое значение имеют термодинамические методы в теории т рмоползучести и проблеме длительной прочности конструкционных материалов. Рассмотрим коротко некоторые из перечисленных задач. [c.51]

Принцип Гамильтона — Остроградского обладает тем недостатком, что он не позволяет получить все условия задачи динамической теории упругости только из вариационного выражения. Действительно, из (Д.34) следует, что начальные условия не играют главной роли в формулировке принципа Гамильтона—Остроградского. Кроме того, этот принцип не является экстремальным [30]. Более подробно вариационные принципы статической и Динамической теорий упругости рассмотренынв—[4 , 30, 47, 325, 482, 557 и др.]. [c.201]

Дана строгая математическая формулировка динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами. Для этого использованы некоторые понятия и результаты из фукционального анализа и теории вариационных неравенств, которые кратко изложены здесь. Дан краткий обзор литературы математического и прикладного характера по затронутым вопросам. [c.81]

Теория неравенств в частных производных приводит к вопросу об одностороннем приближении. Для стандартных линейных элементов мы уже установили, что при заданной функции ы О оценки теорем 3.1—3.3 остаются справедливыми, если потребовать О и ы. (Интерполянт и = ы/, конечно, бесполезен, так как он не обязательно лежит ниже и.) Заметим, что Дюво и Лионе сумели сформулировать в виде вариационных неравенств несколько важных физических задач (в том числе задач упруго-пластичности), в дифференциальной формулировке приводящих к чрезвычайно неудобным элиптико-гиперболиче-ским системам с неизвестной свободной границей раздела. Мо-ско и Стренг и независимо от них Фальк подтвердили обычную ошибку / 2 в энергии для линейной аппроксимации задачи Сен-Венана о кручении, типичной д ля класса вариационных неравенств, так называемых задач с ограничениями. [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...