Пример из теории упругости

Пример из теории упругости. Уравнения того же типа, как только что выведенные, встречаются при рассмотрении одного вопроса из теории упругости, а именно при рассмотрении формы, которую примет упругая проволока при действии на нее двух сил Р, Р, приложенных к концам проволоки (фиг. 208). Кривая изгиба будет состоять из двух симметричных половин АВ и АВ среднюю точку ее А примем за начало, от которого будем отсчитывать длину s дуги этой кривой. Длина дуги s принимается за независимую переменную, и форма кривой определяется путем вывода зависимости S от того угла О, который образует касательная в любой точке т нашей кривой с линией сил Р, Р. Частное значение угла 9, получающееся для конца проволоки, назовем а. [c.354]

ПРИМЕР ИЗ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.355]

Пример из теории упругости [c.357]

ГОСТИ И механика разрушения. В гл. 1 содержится обзор этих методов в контексте общих краевых задач, которые могут относиться к любой из названных областей или к ним всем. Остальные главы посвящены методам граничных элементов в механике твердого тела. В гл. 2 дается обзор сведений из теории упругости, которые затем постоянно используются в остальной части книги. В гл. 3 вводится решение Фламана для линии сосредоточенных сил, действующих на границе полуплоскости, и для этого случая разрабатывается простой метод граничных элементов. Цель состоит в том, чтобы показать, как математическое решение элементарной задачи может быть преобразовано в вычислительную технику для решения более сложных проблем. В гл. 4 и 5 построены два непрямых метода граничных элементов для плоских задач. Идея прямых методов (эта терминология разъясняется в гл. 1) развивается в гл. 6 с помощью скорее физических, чем математических соображений. В гл. 7 иллюстрируются некоторые обобщения методов граничных элементов и технические приемы, позволяющие увеличить точность решения. Некоторые из этих приемов общие, а другие специально созданы для определенных классов задач. Особое внимание уделяется тому, как для решения этих задач строятся вычислительные программы. И наконец, в гл. 8 даны примеры приложений методов граничных элементов в горной геомеханике и инженерной геологии. Эти примеры подобраны таким образом, чтобы проиллюстрировать ту помощь, которую оказывает метод граничных элементов, облегчая понимание физических процессов. [c.8]

Сплошность. Реальные тела, строго говоря, не являются сплошными, а имеют дискретную структуру. Однако при достаточно плавном изменении напряженного состояния, когда напряжения на расстоянии порядка межатомного или порядка размера зерна в поли-кристаллическом материале можно считать постоянными, влияние дискретности практически отсутствует (проявляется слабо). Таким образом, предположение о сплошности обычно оправданно, введение же этого понятия существенно облегчает построение математической теории упругости и анализ конкретных задач. Вместе с тем результаты, следующие из теории упругости сплошной среды, нельзя абсолютизировать. В частности, поверхности разрыва напряжений и скоростей, определяемые уравнениями динамики сплошной среды, в действительности должны быть несколько размыты, а структура фронта волны должна зависеть от микроструктуры материала. С дискретными моделями связаны первые исследования по теории упругости (см. [20]). В последнее время теория упругой среды с микроструктурой получила значительное развитие [20 22 49 50]. Влияние дискретности на распространение упругой волны будет проиллюстрировано на простом примере в 2. [c.14]

Другим примером тензора второй валентности является хорошо известный из теории упругости тензор напряжений. В случае плоского напряженного состояния этот тензор может быть представлен в виде следующей матрицы [c.17]

Решение такой нелинейной задачи строится по методу последовательных приближений. В начальном приближении принимаются равными Е, л и из решения задачи линейной теории упругости находятся е ° у%,. . е, . Из зависимости Ф (е ) находится величина а затем < >, G . Далее решается задача линейной неоднородной теории упругости. По найденным из нее компонентам деформированного состояния определяются ei, ali Е ( Как и в рассмотренном примере для одноосного напряженного состояния, процесс последовательных приближений продолжается до тех пор, пока значения компонент тензоров напряжений или деформаций в двух соседних приближениях не будут отличаться друг от друга на величину, меньшую величины допустимой погрешности. [c.316]

Содержание предлагаемой читателю книги состоит из глав, материал которых практически весь излагался автором в лекциях на механико-математическом факультете МГУ и в других университетах. Она разбита на три части. Первая из них написана на вполне элементарном уровне. На примере простейших стержневых систем автор стремился изложить основные идеи общей теории упругих и пластических сред. Вторая часть посвящена теории упругости и ее приложениям. Наконец третья, последняя часть относится к проявлениям неупругости — теории пластичности, ползучести, механике разрушения. [c.10]

Нижеследующий пример взят из книги Математическая теория упругости Лява, который приводит его со ссылкой на оригинальную работу Бетти. [c.265]

На примере цилиндрической оболочки мы убедились в том, что при плавно меняющейся нагрузке в большей части оболочки можно пренебречь изгибом и напряжениями от изгибающих моментов но сравнению с равномерно распределенными по толщине напряжениями от усилий Гар. Моментное напряженное состояние реализуется только в зоне краевого эффекта, протяженность кото-рой оценивается характерным линейным размером к = УНк. Для оболочки положительной гауссовой кривизны этот результат носит совершенно общий характер, схема расчета таких оболочек строится следующим образом. Сначала находится усилие в оболочке, которую представляют как тонкую, нерастяжимую мембрану, совершенно не сопротивляющуюся изгибу. Эта задача решается с помощью одних только уравнений статики и, собственно говоря, не относится к теории упругости. Соответствующая теория называется безмоментной теорией оболочек. Решение, найденное по безмоментной теории, как правило, не позволяет удовлетворить всем граничным условиям, поэтому вблизи границы рассматривается краевой эффект, связанный с изгибом. Ввиду малости области краевого эффекта, уравнения теории оболочек для этой области принимают относительно простую форму. Для вывода уравнений безмоментной теории нам понадобятся некоторые сведения из теории поверхностей, которые предполагаются известными и сообщаются для справки. [c.423]

В некоторых случаях решение задачи теории упругости оказывается таким, которое содержит трансцендентные функции от операторов. В качестве примера можно привести построенное в 12.13 решение задачи об осесимметричном изгибе круговой цилиндрической оболочки. Решение соответствующего однородного уравнения для упругой оболочки строится из частных решений [c.600]

Разберем это определение на примере деформации стержня, нагруженного через серьгу силой Р (рис. 1.14, а). Прочностной расчет стержня следует начать с замены действия на него серьги системой сил, распределенной по поверхности контакта, след которой АА, образующейся в результате их взаимной деформации. На рис. 1.14,6 схематически показана такая замена. Значение поверхностной интенсивности в каждой точке поверхности контакта может быть получено только методами теории упругости как результат решения сложной математической задачи. Такую задачу следует решать, если представляют интерес напряженное и деформированное состояния в заштрихованной области стержня. Для их определения за пределами этой области следует заменить распределенную нагрузку равнодействующей (рис. 1.14, в), величина которой элементарно находится из условия равновесия серьги (рис. 1.14, г). По принципу Сен-Венана, деформированное и напряженное состояние бруса за пределами заштрихованных областей в схемах нагружения бив будут практически одинаковы. [c.22]

В настоящей главе кратко изложены отдельные аспекты теории упругости анизотропного тела. Раздел II содержит изложение обобщенного закона Гука, свойств симметрии и ограничений, накладываемых на упругие постоянные. В разделе III приведены некоторые элементарные примеры, иллюстрирующие различия в поведении изотропных и анизотропных тел. Показано, что трудности, связанные с описанием армированных композиционных материалов, непосредственно вытекают из необычного характера поведения анизотропных тел. [c.15]

Наиболее интересны приложения этих теорем к системам е бест 5т ечным числом степеней свободы, на которые теоремы распространяются по аналогии. Теория упругости дает ряд примеров, некоторые из которых оказались по лезными в статике сооружений (,Статика , 142). [c.217]

На первом этапе, желая упростить решение системы уравнений теории упругости, часть искомых функций стараются угадать , при этом система уравнений упрощается, так как в ней искомыми оказываются только остальные неизвестные функции. Конечно, угадать в полном смысле этого слова искомые функции невозможно. В основу такого априорного выбора функций должны быть положены те или иные соображения. Обычно, если решается такая задача, которая могла бы быть решена при упрощенном подходе и в элементарной теории (например, в сопротивлении материалов), то некоторые из искомых функций могут быть взяты из упомянутого элементарного решения. Если решается задача, которая не может быть решена средствами элементарной теории, то в основу априорного выбора некоторых функций кладутся те или иные умозрительные соображения или в ряде несложных случаев удается использовать теорию размерностей ). В качестве иллюстрации такого выбора функций приведем следующий пример. [c.634]

Для анализа напряженно-деформированного состояния в неупругой области цилиндрических оболочечных элементов из неоднородных материалов в первом приближении можно использовать результаты анализа упругих термонапряженных состояний. В работе [8] приведен аналитический расчет методом теории упругости компонент напряжений а , ад, Of, г гг на наружной и внутренней поверхности и во внутренних сечениях труб при нагреве разнородного соединения на постоянную температуру Д/. В приводимом примере принято (рис. 7.2) д/Ь =0,75 (tt2 - ai)Af = 1 коэффициент Пуассона = 0,3. Величина р = 0,75 соответствует внутренней поверхности трубы, р = 1,0 - наружной. Рассматривается часть соединения справа от стыка ( > 0). Величины приведены на рис. 7.3 и 7.4 (индекс т. у.) Линии пересечения плоскости стыка труб с наружной и внутренней цилиндрическими поверхностями являются линиями, по которым имеет место разрыв напряжений, и при незначительном удалении в глубь сечения ( =0,01) градиент напряжений на поверхности весьма велик. [c.215]

Приведенный выше пример показывает, что решение простых задач теории упругости методом одной гармонической функции связано с более громоздкими вычислениями по сравнению с методом комплексного переменного. Этот недостаток может быть в значительной мере компенсирован при решении сложных задач, решение которых не выражается через элементарные функции, для областей, где легко определяется регулярная часть функции Грина уравнения Лапласа. Как видно из примера, итерационный ряд (6) достаточно быстро сходится. [c.11]

Приведенными примерами показана возможность построения силовых систем (сила, центр вращения, центр расширения, силовые диполи), соответствующих каждой из введенных особенностей по отдельности. Этим доказано, что каждая из четырех групп слагаемых формулы (1.2.5) представляет некоторое частное решение уравнений теории упругости, непрерывное [c.211]

В рамках классических теорий прочности рассмотрены вопросы оптимального проектирования конструкций. Подход основан на общем принципе равнопрочности, введенном ранее одним из авторов. Рассмотрены некоторые конкретные примеры конструкций стержневые системы, безмоментные оболочки вращения, безопорные мосты, трубопроводы, навитые из волокон сосуды давления и др. Для решения обратной задачи теории упругости [c.3]

Предшествующие обсуждения настоящей главы основаны на гипотезе с несжимаемости материала пластины в поперечном нац-равлении. Погрешность в решении, связанная с этой гипотезой, не может быть исследована в общем виде. В каждой конкретной задаче она будет разной. Оценим погрешность на примере бесконечной пластины, к. которой. приварен по /всей длине полубесконечный стрингер, нагруженный на конце продольной силой Р (рис. 2.35). Эта задача в точной постановке на основе уравнений плоской теории упругости решена В. Т. Койтером [19]. Выпишем из разд. 2.2 основные уравнения [c.115]

В качестве первого примера рассмотрим простейший конечный элемент, применяемый для решения плоской задачи теории упругости. Это треугольный элемент (рис. 5.1) с тремя узлами, расположенными в вершинах треугольника. Узловые перемещения для такого элемента указаны на рисунке. Матрицы перемеш,ений для каждого узла состоят из двух компонент. Так, для узла i имеем [c.133]

В 5.12 описаны два метода, которые могут быть использованы для поузлового интегрирования метод Маркова и метод Эйлера. Первый из них пригоден для тех конечных элементов, у которых в узлах задаются значения функций, но не их производных. Примерами могут служить четырехугольные конечные элементы плоской задачи теории упругости, для которых матрицы г имеют вид (см., например, 5.2) [c.339]

Экспериментатор может сделать за конечный промежуток времени лишь некоторое количество дел. Я нахожу обязательным, чтобы в лаборатории было готово к применению достаточное число методов измерения основных величин с тем, чтобы экспериментатор был, насколько это возможно, независим от техники в выборе направления исследований. Каждое десятилетие, начиная, конечно, с середины XIX столетия, характеризовалось чрезмерным использованием какого-то одного из известных в то время методов измерений, ограниченность которого много раз подсознательно предполагалась при попытках извлечь из него новые возможности. Одним из многих недавних примеров служат ультразвуковые методы были проделаны десятки тысяч измерений скорости волны в буквально сотнях типов конструкций и элементов в широком диапазоне температур при различных внешних давлениях и т. д., в результате этого за последние пятнадцать лет образовалась столь обширная литература, что трудно даже перечислить названия работ, не говоря уже о том, чтобы критически рассмотреть их. Вместе с тем лишь относительно немногие исследования по применению ультразвука касались различных аспектов общей механики твердого тела и в еш,е меньшем числе работ ставился вопрос об использовании для интерпретации результатов линейной теории упругости. [c.29]

Было сделано много попыток для того, чтобы дать приближенную теорию напряжений, возникающих в крюках подъемных кранов, железнодорожных сцеплений и т. д. ). Большинство из этих попыток почти не связаны с точными уравнениями теории упругости и поэтому мы не будем останавливаться на них в этой книге. Рассмотрим только задачу, связанную с крюком узкого прямоугольного поперечного сечения, ввиду того, что ее можно рассматривать как пример плоского напряженного состояния. Подобно тому, как это было сделано в 413, мы введем здесь в соответствии [c.509]

Один из известных подходов к решению ИУ состоит в применении метода последовательных приближений. Процедура метода применительно к решению регулярных ИУ второго рода подробно рассмотрена, цапример, в [47]. Остановимся кратко на особенностях реализации метода при решении сингулярных ИУ второго рода на примере СИУ теории упругости типа (1.5), (1.6). Возможность применения метода по- [c.198]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Остановимся еще на одном, казалось бы парадоксальном, примере. Из решения плоской задачи теории упругости для бесконечной области (безразлично — бесконечной или полубеско-нечной) будет следовать, что при неравенстве нулю главного вектора внешних сил перемещения оказываются бесконечными. В этом нет ничего удивительного, поскольку при рассмотрении плоской задачи (допустим, в случае плоской деформации) с позиций пространственной задачи оказывается, что суммарное усилие обращается в бесконечность. Следует заметить, что переходы к бесконечному телу при решении задачи в напряжениях и перемещениях не эквивалентны друг другу. Если в напряжениях переход и возможен, то в смещениях он может и быть ошибочен, что и подтверждается приведенным примером. Для устранения же бесконечных смещений можно предложить, например, такой спосЪб. После того как решение в деформациях определено достаточно точно из решения для бесконечного тела, находят по ним смещения в истинном теле, исходя из его фактических размеров и краевых условий. Разумеется, строгое обоснование предлагаемого подхода затруднительно для общего случая, но в частных задачах, по-видимому, оно может быть достигнуто. [c.304]

Необходимо подчеркнуть, что теорема единственности доказана нами для геометрически линейной постановки задачи теории упругости. Если условие (8.4.8) не выполнено, единственности может не существовать. Это может означать одно из двух о либо принятая модель сплошной среды некорректна, либо материал неустойчив. При- Рис. 8.4.1 мером такого неустойчивого материала служит материал с падающей диаграммой растяжения, подобной изображенной на рис. 8.4.1. Видно непосредственно, что одному п тому же значению напряжения на этой диаграмме соответствуют два разных значения деформации. Вопрос о действительном существовании таких неустойчивых упругих материалов остается открытым диаграммы вида изображенной на рис. 8.4.1 наблюдаются при описании пластического поведения и представляют зависшюсть условного напряжения, т. е. растягивающей силы от деформации. Пример неустойчивости такого рода был рассмотрен в 4.13. Для геометрически нелинейных систем теорема единственности несправедлива нарушение единственности соответствует потере устойчивости упругого тела. Рассмотрению подобного рода задач в элементарной постановке была посвящена вся четвертая глава. [c.247]

Система уравнений Бельтрами — Митчела — это система 12-го порядка. Произведя дифференцирование при их выводе, мы искусственно повысили порядок исходной системы. В результате оказывается, что возможные решения системы (8.5.8) порождают класс функций более широкий, чем возможные решения задачи теории упругости. Решения системы (8.5.8) не обязательно удот влетворяют уравнениям равновесия. Это ясно хотя бы из следующего примера. Пусть напряжения — произвольные линейные функции координат Оц = Поскольку уравнения (8.5.8) [c.250]

В восемнадцати предшествующих главах были изложены различные разделы механики деформируемого твердого тела, при этом практическая направленность каждого из них не очень акцентировалась. Но основная область приложения механики твердого тела — это оценка прочности реальных элементов конструкций в реальных условиях эксплуатации. С этой точки зре-нпя различные главы приближают нас к решению этого основного вопроса в разной степени. Классическая линейная теория упругости формулирует свою задачу следуюш им образом дано пекоторое тело, на это тело действуют заданные нагрузки, точки границы тела претерпевают заданные перемещения. Требуется определить поле вектора перемещений и тензора напряжений во всех точках тела. После того как эта задача решена, возникает естественный и основной вопрос — что это, хорошо или плохо Разрушится сооружение или не разрушится Теория упругости сама по себе ответа на этот вопрос не дает. Правда, зная величину напряжений, мы можем потребовать, чтобы в каждой точке тела выполнялось условие прочности, т. е. некоторая функция от компонент о.-,- не превосходила допускаемого значения. В частности, можно потребовать, чтобы нигде не достигалось условие пластичности, более того, чтобы по отношению к этому локальному условию сохранялся некоторый запас прочности, понятие о котором было сообщено в гл. 2 и 3. Мы знаем, что для пластичных материалов выполнение условия пластичности в одной точке еще не означает потери несущей способности, что было детально разъяснено на простом примере в 3.5. Поэтому расчет по допустимым напряжениям для пластичного материала безусловно гарантирует прочность изделия. Для хрупких материалов условие локального разрушения отлично от условия наступления текучести и локальное разрушение может послужить началом разрушения тела в целом. Поэтому расчет по допускаемым напряжениям для хрупких материалов более оправдан. Аналогичная ситуация возникает при переменных нагрузках и при действии высоких температур. В этих условиях даже пластические материалы разрушаются без заметной пластической деформации и микротрещина, возникшая в точке, где 42 [c.651]

На рис. 32.14 в качестве примера показано распределение первого главного напряжения по контуру впадин контактирующих (рабочих) и неконтактирующих (свободных) витков (цифры — максимальные напряжения в МПа). Данные получены из расчета соединения (болт и гайка из стали, резьба М10) методом теории упругости. [c.514]

В качестве примера, иллюстрирующего характер искажений в пограничном слое, о которых говорилось выше, мы приведем некоторые результаты решения задачи теории упругости для слоистого тела, изображенного на рис. 2. Тело состоит из четырех анизотропных слоев однонаправленного композита, ориентация волокон в разных слоях которого задается углами [—0, 0, [c.55]

Густав Роберт Кирхгофф родился в Кенигсберге в 1824 г., умер в Берлине в 1887 г. Преподавал последовательно в университетах Бреславля, Гейдельберга и Берлина и был одним из крупнейших специалистов своего времени по математической физике. Известен тем-, что дал теоретические основы спектрального анализа и вместе с Бунзеном разделяет заслугу первого его практического применения. Классическими являются также и его законы о распределении электрических токов в сетях, исследования, относящиеся к принципу Гюйгенса, и принадлежащая ему теория упругих стержней и пластинок. Его лекции по математической физике, собранные в четырех томах, первый из которых (только что цитированный) был отредактирован лично им самим и представляет собою полный трактат по механике, еще и сегодня могут служить примером осторожности и точности изложения. [c.406]

Известно, что в математической теории упругости большое внимание уделяется вопросам существования и единственности решения [67, 100], весьма сложным с математической точки зрения. Вместе с тем в случае неоднородного тела необходимость их решения не менее, а, по-видимому, более важна, чем в классической теории упругости, ввиду возможности возникновения особенностей, связанных с характером исходных уравнений. Достаточно в качестве примера указать на задачу Бусси-неска для неоднородного полупространства, когда обобщенная система уравнений Ламе на границе области вырождается из эллиптической в параболическую [142]. [c.38]

Как было показано ранее, задачу теории упругости для малых перемещений можно сформулировать вариационными методами, предположив существование трех функций Л, Ф, Y. Точные дифференциальные уравнения и граничные условия тогда получаются из условий стационарности общей потенциальной энергии или родственных функционалов. Однако одно из основных преимуществ вариационного исчисления — это его применимость для получения приближенных решений. Так называемый метод Релея — Ритца — один из лучших способов получения приближенных решений путем использования вариационното метода [2, 3, 12—17]. Проиллюстрируем метод Релея—Ритца двумя примерами. [c.61]

Модельная задача. Как мы видели в предшествующ их параграфах настояп1 ей главы, уравнения моментной теории упругости дают пример эллиптических краевых задач с естественным малым параметром при старших производных. Для таких задач эффективным методом построения решений является метод Вишика--Люстерника [4], который сводится к согласованному построению основного итерационного процесса и решений типа погранслоя. Такой метод широко используется при решении задач об изгибе пластин. Однако одним из условий применимости метода Вишика — Люстерника является гладкость контура, что, естественно, исключается в задачах теории трещ ин. [c.130]

Сначала на примере неоднородного стержня показывается техника применения методики осреднения к нелинейным краевым задачам. С помощью этой методики задача о стержне решается точно. Затем подробно описывается решение квазистатической задачи неоднородной и анизотропной теории пластичности. Рассматриваются теория эффективного модуля и теория нулевого приближения. Большое место в главе уделяется построению теории малых упруго-пластических деформаций для анизотропной однородной среды. Для такой среды доказываются теорема единственности решения квазистатической задачи в перемещениях и напряжениях, теоремы о минимуме лагранжиана и максимума кастильяниана, теоремы о простом нагружении. Описывается схема экспериментов, необходимых для определения материальных функций исследуемой теории. Показано, как исходя из теории малых упруго-пластических деформаций А. А. Ильюшина для изотропной среды получить методом осреднения соотношения анизотропной теории пластичности. [c.219]

Если плоская задача теории упругости поставлена правильно, то в каждой точке контура заданы касательное напряжение или касательное смещение и нормальное напряжение или нормальное смещение, т. е. две из четырех величин и , м и (Т должны быть заранее известны. Оставшиеся две величины могут быть найдены как часть решения задачи. Несколько подобных примеров мы рассмотрели в предыдущих главах книги. В частности, в задачах, рассмотренных в гл. 4 и 5, мы сначала находили либо фиктивные напряжения, либо разрывы смещений, которые обеспечи- [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...