Конечные элементы простые

Условно разделим тело на множество конечных элементов простой формы. Присвоим номера всем элементам, а также в определенной последовательности обойдем все узлы и пронумеруем по порядку все степени свободы (или обобщенные перемещения) в узлах. Такую нумерацию степеней свободы в дальнейшем будем называть глобальной. Рассмотрим отдельный элемент с номером е. В заранее установленной последовательности обхода для элементов данного типа обойдем все узлы элемента и пронумеруем по порядку, начиная с единицы, все степени свободы в узлах элемента. -Такую нумерацию степеней свободы назовем локальной. Пусть общее число степеней свободы в элементе будет п. Таким образом, для элемента имеются две нумерации локальная и глобальная. Условно их представим в виде следующих упорядоченных массивов номеров или индексных массивов [c.103]

Для численной реализации рассмотренной выше процедуры формирования разрешающей системы условно представим конструкцию в виде набора конечных элементов простой формы. Присвоим номера всем конечным элементам. Обойдем все узлы и пронумеруем по порядку все обобщенные перемещения в узлах или узловые степени свободы. Такую нумерацию обобщенных перемещений будем называть глобальной. [c.281]

Для этого детали (и их поверхности) разбивают на конечные элементы простой геометрической формы. Параметры, характеризующие состояние системы, определяются в конечном числе узловых точек. В случае исследования изнашивания рассматривают траектории конечного числа точек /V, взятых на поверхностях трения деталей, а температуру и напряженно-деформированное состояние - в конечном числе узловых точек М на поверхностях и в объеме. В каждый фиксированный [c.169]

Вариационные или энергетические методы исследования конструкций образуют мощный и широко применяемый подход к построению соотношений для конечных элементов. Простейшие варианты этих методов используются для расчета инженерных конструкций уже более ста лет. Однако некоторые усложненные варианты вариационных и энергетических методов так же современны, как и сам конечно-элементный анализ элементов, и их развитие, по-видимому, обусловливалось желанием создать новую теоретическую основу метода конечных элементов. Так или иначе, последние работы в этой области дают всесторонний анализ возможных вариационных принципов строительной механики, в частности определяют область их применения и выявляют присущие им недостатки. [c.151]

В предыдущих трех главах дано довольно подробное описание, как могут быть поставлены и решены задачи линейной тео -рии упругости с помощью конечных элементов простейших форм. Хотя подробные выкладки проведены только для функций формы, относящихся к треугольным и тетраэдральным элементам, очевидно, что точно так же можно было бы рассмотреть и другие элементы. Фактически если выбран тип элемента и определены соответствующие функции формы, то все дальнейшие действия просты, порядок их ясен и они могут быть выполнены вычислителем, не знакомым с физическим содержанием задачи. Из последующего станет ясно, что вполне возможно составить программу, позволяющую решать на машине широкие классы задач только при задании определенных функций формы. Однако выбор функций представляет собой вопрос, требующий разумного решения, в принятии которого роль человека пока является определяющей. В настоящей главе излагаются правила построения некоторых семейств одномерных, двумерных и трехмерных элементов. [c.117]

Представление участка щва в виде конечного элемента простой геометрической формы (например, параллелепипеда на рис.5.3.5,в), но состоящего из анизотропного материала. Свойства этого материала следует подобрать такими, чтобы деформации участка шва при приложении к нему растягивающих, сжимающих и срезывающих усилий совпадали с результатами испытания образца с угловым швом при соответствующих направлениях приложенной нагрузки (рис.5.3.5,с). [c.112]

Для простоты рассмотрим довольно грубую модель области 5 , состоящую только из семи узлов и двух конечных элементов (рис. 7.1, Ь). Так что в = 7 и = 2. Заметим также, что границы области. М выбраны так, чтобы она достаточно хорошо аппроксимировала область отклонения Яг на рисунке заштрихована. Хотя всегда желательно, чтобы М возможно лучше аппроксимировала область 31 или даже совпадала с ней, часто оказывается невозможным или нецелесообразным выбирать в качестве границ Ш границы 31. Это частично обусловлено тем, что предпочтительнее использовать конечные элементы простейших форм, для того чтобы легко можно было [c.51]

Средние установившиеся температуры определяют по уравнению теплового баланса тепловыделение за единицу времени приравнивают теплоотдаче. При расчете теплоотдачи пользуются ее усредненными коэффициентами. Для решения более сложных тепловых задач (установления температурных полей в деталях машин, определения неустановившихся температур) используют методы, рассматриваемые в теории теплопередачи, в том числе методы подобия, комбинирования нз точных решений для элементов простых форм, методы конечных разностей и конечных элементов. [c.18]

Метод конечных элементов допускает любую геометрическую форму дискретных элементов, на которые делится рассматриваемая область, и любой порядок полинома для аппроксимации О м х, у) в пределах элемента. Наиболее широкое применение получили простейшие линейные полиномы первого порядка, которые для двумерной функции принимают вид [c.112]

Удовлетворить подобным требованиям не всегда просто, поэтому были предприняты попытки (и небезуспешные) построения конечных элементов, для которых предположение о принадлежности приближенного решения исходному функциональному пространству (в частности, предположение о непрерывности) не выполняется. Такие конечные элементы получили название гибридных и нашли широкое применение в расчете различных инженерных конструкций, в частности авиационных. [c.208]

В этом отношении значительно большими возможностями обладает метод конечного элемента [88]. В основу этого метода положено расчленение рассматриваемой области на отдельные элементы простой геометрической конфигурации, причем достаточно широкие возможности открываются уже при введении в расчет элементов прямоугольной и треугольной формы. Сочленение элементов осуществляется в узлах, в которых полностью удовлетворяются условия равновесия и неразрывности перемещений. Разрезание рассматриваемой области приводит к кажущемуся нарушению условий неразрывности перемещений на участках между узлами, в значительной степени компенсируемому предположением о линейном законе изменения напряжений в любом сечении элементарного элемента. Это обусловливает наложение на деформации элемента сильно ограничивающих их связей, которые, с одной стороны, имеют тенденцию улучшить условия соблюдения неразрывности деформации, а с другой,— не вызывает концентрации напряжений в узловых точках. [c.115]

Если несколько видоизменить трактовку алгоритма, сформулированного выше, то придем к решению, получившему наименование метода конечного элемента. Для этой цели полную энергию системы представим как сумму энергий, каждую из которых относят к соответствующему элементу, определяемому линиями, соединяющими узлы. Конечный элемент может иметь произвольную форму треугольник, прямоугольник, ромб и т. п., которая определяется удобствами расчета. Такое отнесение энергии к конкретному по форме элементу дает возможность получить сравнительно простые формулы, исключающие необходимость проведения достаточно громоздких вычислений в каждом отдельном случае. [c.119]

Второй путь решения задачи заключается в задании поля возможных напряжений. В этом случае к узловым точкам относят напряжения а ., Оу., х у. и вводят предположение об их распределении, в частности линейном, в пределах каждого конечного элемента. Далее определяют деформации и перемещения как функции узловых напряжений. Используя потом условие минимума энергии, приходим к системе алгебраических линейных уравнений относительно узловых напряжений. Подобный подход является аналогом классического метода сил, широко применяемого в строительной механике. Отнесение энергии к каждому конкретному конечному элементу позволяет опять получить достаточно простые формулы, существенно систематизирующие расчет. [c.119]

Естественно, что при сформулированном выше пути решения задачи число неизвестных оказывается достаточно большим, однако оно может быть существенно уменьшено за счет последовательного укрупнения конечных элементов. Необходимо также подчеркнуть, что эффективность метода конечного элемента проявляется при решении задач на быстродействующих цифровых вычислительных машинах, так как при создании расчетных программ удается сформулировать достаточно четкие и простые алгоритмы, а также алгоритмы с ясной логикой, что чрезвычайно существенно с точки зрения снижения объема исходной информации. [c.140]

В [205] был предложен прием построения координатных функций в специальной форме, допускающий сравнительно простую реализацию. Этот прием позволил создать универсальный алгоритм, часто называемый методом конечных элементов (МКЭ). [c.162]

Увеличение размерности пространства исходной задачи приводит к необходимости введения соответствующих конечных элементов— треугольников в плоском случае и тетраэдров в пространственном. Разумеется, можно воспользоваться любыми многоугольниками или многогранниками, но при расчетах целесообразнее использовать простейшие элементы. В плоском случае, например, треугольники предпочтительнее для криволинейной границы, а прямоугольники удобны при построении матриц жесткости и массы эти две формы конечных элементов наиболее употребительны. [c.168]

В плоской задаче, на примере которой проиллюстрируем применение метода конечных элементов, область S, занятая телом в плоскости Оху, может быть разбита на некоторое число подобластей Sik так, что в каждой подобласти s,, решение можно аппроксимировать простейшими функциями. Если область S прямоугольная при О X а, О у Ь, то разобьем ее на прямоугольные подобласти Sij так, что в пределах каждой подобласти Xi xs xi + Qi = Xi+i, y/ y yj + bj = yj, 1. [c.450]

Здесь потенциальная энергия записана для одного конечного элемента, а для всего тела ее можно получить простым суммированием по элементам или переходом но правилам сборки от локальных к глобальным величинам. [c.90]

Определенные трудности при решении несимметричных задач возникают в том случае, если берега трещин начинают соприкасаться друг с другом. Применение обычной методики МКЭ приводит к тому, что конечные элементы перекрывают друг друга и решение некорректно. Простая процедура приближенного решения такого рода контактной задачи описана, например, в работе [3941. [c.95]

Введение таких элементов позволяет избежать измельчения сетки элементов в окрестности вершины трещины. При этом. определение коэффициентов интенсивности напряжений по найденному полю перемещений представляет даже более простую задачу, чем нахождение напряжений в обычных конечных элементах. Несмотря на разрывность перемещений при переходе через границу сингулярных элементов, их применение отличается высокой точностью даже на весьма грубых сетках конечных элементов. [c.474]

Для решения различных задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов создано большое количество стандартных программ. Составление таких программ представляет значительные трудности, несмотря на то, что в своей основе этот метод достаточно прост и универсален. [c.227]

Рассмотрим в качестве простейшего примера плоское тело, разбитое на два конечных элемента (рис. 17.5), Для указанного тела [c.558]

Расчет соединений рассмотрен в т. 8, гл. 10 здесь представлены лишь некоторые простые результаты, иллюстрирующие основные расчетные модели. В сложных случаях расчет выполняется с помощью вычислительных машин методом конечных элементов. [c.132]

Точно так же, как это было показано на простой двухэлементной модели, можно запрограммировать учет ползучести компонентов при решении методом конечных элементов задачи о распределении напряжений в повторяющихся элементах массива волокон арматуры в матрице. Значительные различия связаны лишь со сложностью структуры, которая представляется большим числом конечных элементов, и с более сложным напряженным состоянием, в котором находятся элементы. [c.266]

Ответственные узлы современного энергетического, авиационного и другого оборудования работают в условиях значительных тепловых нагрузок. В связи с этим повышенные требования предъявляются к термоупругим и термопластическим расчетам соответствующих конструкций, которые часто характеризуются сложной геометрией, неоднородностью строения и выполняются из материалов с нелинейными свойствами. Область применения аналитических методов в задачах подобного типа ограничена простейшими случаями поэтому большое значение приобрели численные методы исследования, в частности используемый в настояш,ей работе метод конечных элементов. [c.149]

Метод конечных элементов (МКЭ) представляет собой эффективный численный метод инженерных задач. Основная идея метода состоит в том, что любую непрерывную величину (например, перемещение) можно приближенно представить в виде набора отдельных более простых функций, разбив область определения этой величины на конечное число участков (элементов). [c.104]

Дальнейшее уточнение методики приводит к решению объемной задачи теории упругости. Расчет пространственно-напряженного состояния диска сложной конфигурации с эксцентричными отверстиями неправильной формы требует разбиения области решения на большее число элементов. Хотя принципиальных трудностей при решении пространственной задачи МКЭ не возникает, для реализации ее требуются ЭВМ, обладающие значительным объемом оперативной памяти и быстродействием. Например, решение пространственной задачи для РК ДРОС методом конечных элементов с использованием достаточно простого разбиения на элементы (линейные призмы) и решением системы уравнений методом исключения Гаусса потребует приблизительно 2-10 байт оперативной памяти. Сокращения необходимого объема оперативной памяти можно достигнуть применением метода сопряженных градиентов вместо метода Гаусса, однако в этом случае резко увеличивается время счета (до нескольких десятков часов для ЭВМ серии ЕС). [c.106]

Для тела сложной формы подбор функций и, удовлетворяющих определенным условиям на различных участках его поверхности, является довольно трудной задачей. Наиболее гибким и универсальным для осуществления такого подбора является метод конечных элементов, когда вместо аппроксимации распределения температуры сразу во всем теле проводится более простая аппроксимация в пределах каждого из элементов, на которые условно разбиваются это тело или составляющие его части [26]. [c.48]

Значительный прикладной интерес представляет использование в качестве ф - (t) конечных элементов [58], т. е. таких функций с конечным носителем, которые отличны от нуля только в небольшой (порядка шага сетки) окрестности интервала Ы-Простейшим примером могут служить кусочно-линейные функции вида [27, 69] [c.54]

Распределение напряжений и деформаций в изделии, состоящем из разнородных материалов, оценивается усредненным значением модуля упругости и коэф-, фициента Пуассона, при этом " принимается, что мем-бранные напряжения пропорциональны пределу текучести основного материала. В современных конструкциях отношение предела текучести к расчетному напряжению составляет 1,5—1,6. Напряжения в таких изделиях могут быть рассчитаны с достаточной точностью методом конечных элементов. Конечные элементы представляют собой небольшие зоны или объемы, в которых неизвестные поля напряжений и Рис. 5.1. Кривая напряжение — деформаций имеют простое анали- деформация, показывающая пре- [c.37]

Метод конечных элементов (или, сокращенно, МКЭ) в настоящее время находит все более широкое применение при решении задач механики сплошных сред. Объясняется это широкой универсальностью МКЭ и возможностью идеализации самых сложных конструк-, цнй конечными элементами простой конфигурации. Метод очень удобен при использовании ЭЦВМ, так как все его алгоритмы легко записываются в так называемом матричйом виде. Некоторые авторы считают, что уже при сегодняшних возможностях ЭЦВМ могут быть получены решения всех встречающихся на практике задач строительной механики. [c.381]

На первый взгляд, структура решения задачи с помощью изопараметрических конечных элементов проста и не требует специального подхода. Однако при более детальном рассмотрении можно заметить, что стоит ввести промежуточный узел, т. е. задать криволинейный изопара-метрический стержневой элемент второго порядка (рис. 6, б), как трудоемкость явного интегрирования матрицы жесткости [ ] значительно возрастает. В этом легко убедиться, проделав аналогичные выкладки при следующих значениях [c.44]

Применения обычного метода Ритца ограничиваются относительно простыми геометрическими формами области, тогда как в методе конечных элементов простую форму должны иметь только элементы. [c.38]

На базе уравнений задачи в напряжениях, сведенных к уравнению совместности в виде (19.11), развиты мощные аналитические методы решения плоских задач теории упругости с использованием функций комплексного переменного. Однако эти методы выходят за пределы данного круга и здесь не излагаются. Получение аналитических решений в замкнутом виде для более или менее сложных областей и видов нагрузок представляет большие трудности. Для сравнительно простых случаев решение может быть построено путем подбора функций Ф, заведомо удовлетворяющих уравнению совместности (19.11). Последующая р омбинация этих частных решений может дать с заданным уровнем приближения решение поставленной задачи. Такая задача рассмотрена в 19.4. Эффективные методы решения плоских задач теории упругости дают метод конечных разностей и метод конечных элементов, которые рассмотрены в последующих параграфах. [c.444]

Покажем на простом примере изгиба жестко защемленной по контуру квадратной пластины со стороной а, нагруженной равномерно распределенным давлением q = q — — onst, как применить метод конечных элементов в форме перемещений. [c.225]

Решать простые задачи такие, которые могут быть с успехом решены, например, традиционными вариационными методами, методом конечных элементов вряд ли целесообразно. Этот метод является весьма эффективным, когда рассматриваемый объект имеет спо кные конфигурации (с вырезами, подкреплениями, слоя4ными очертаниями контура) и граничные условия (свободный или частично свободный край, неоднородные условия закрепления и т. д.). [c.227]

В методе суперэлементов некоторая часть смежных элементов сводится к одному эквивалентному элементу. Суперэлемент может формироваться из конечных элементов любого типа, однако нужно учитывать, что в этом случае поведение суперэлемента предполагается линейным даже в том случае, когда в его состав введен нелинейный элемент. Аналогичные упрощения можно выполнить и с расчетной моделью - простые участки расчетной модели изделия рассматриваются как домен, на котором создается один конечный суперэлемент. В основе такого подхода лежит матричное уплотнение, с помощью которого такие параметры, как жесткость (проводимость), масса (удельная теплоемкость) и сопротивление приводятся к системе ведущих степеней свободы. Метод супермоделей позволяет сократить время решения. [c.67]

Подводя итог изложенному, можно сказать, что рассмотренный комбинированный подход, объединяющий метод конечных элементов и анализ слоистой среды, является приемлемым для прогнозирования свойств слоистых композитов при простых температурно-силовых воздействиях, когда материал матрицы нелинейно упругий и чувствителен к ползучести, Применение этого подхода к боропластикам на эпоксидном связующем подтвердило оценки уровней усадочных напряжений в этих материалах, полученные при помощи линейного термоупругого анализа. Усадочные напряжения, определенные с учетом ползучести для типичного цикла отверждения слоистого композита, могут в зависимости от схемы армирования составлять по величине от 80 до 100% усадочных напряжений, рассчитанных при помощи линейного термоупругого анализа. Величина усадочных напряжений, по-В1 димому, не чувствительна к небольшим изменениям скорости охлаждения композита. Однако нагрев выше температуры отверл<дения (повторный) приводит к значительному увеличению усадочных напряжений. [c.283]

Для тел слол<йой формы функции влияния наиболее просто определяются одним из численных методов (методом конечных элементов, вариационно-размостным методом и т. п., см. иже). [c.15]

Метод соединения контактирующих тел. Метод конечных элементов позволяет достаточно просто и точно описать тело произвольной формы. При его использовании появляется возможность совместного решения задачи в общей системе координат без расчленения тел (совместная кодировка контактирующих тел). Такой подход можно реализовать и в случае применения других численных хметодов. [c.118]

Для решения задачи необходимо иметь значения функций влияния их величины наиболее просто вычисляются одним из численных методов (например, методом конечных элементов и др., см. [15]). На рис. 8.2 показана сеточная разметка области фланцевого соединения, а на рис. 8.3 — график рашределения относительных контактных давлений q = qlqomax на стыке фланцев при Qo=25 кН и разных значениях внешней нагрузки в зависимости от отношения r = r/R R — нарул ный радиус фланца < отах = о(с) — макси-мальноб давление на стыке после затяжки, отах — [c.144]

Формулировка метода конечных элементов. Основные соотношения МКЭ для задач статики и динамики конструкций могут быть получены как обобщения известных вариационных методов Галеркина, Ритца и других, например коллокации, наименьших квадратов, на пространство кусочно-непрерывных базисных или пробных функций специального вида [47]. Для построения этого пространства исходная расчетная область D (конструкция или ее отдельные элементы) покрывается сеткой, составленной из совокупности М достаточно простых непересекающихся подобластей - конечных элементов Д , связанных между собой в отдель- [c.104]

Отметим одну характерную особенность, которая может быть использована как упрощающее обстоятельство при описании пространственных движений модели тела или системы тел, соединенных с упругим полупространством. Упругое пространство можно дискретизировать и представить системой конечных элементов — тел или точек (рис. 98). При этом математическая модель из дифференциальных уравнений смешанного типа приводится к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, допускающих более простое алгоритмизирование ее для ЭЦВМ. [c.323]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...