Конечный элемент четырехугольный

Рассмотрим конечные элементы четырехугольной формы. На рис. 7.15 представлено семейство таких элементов, включающее в себя элементы первого, второго и третьего порядков. [c.272]

При построении дискретной модели непрерывной величины, определенной в двух- или трехмерной области, основную идею метода конечных элементов используют аналогично. В двумерном случае элементы описываются функциями от х, у, при этом чаще всего рассматривают элементы в форме треугольника или четырехугольника (рис. 7.11). Функция элемента представляется плоскостью, если для данного элемента взято минимальное число точек, которое для треугольного элемента равно трем, а для четырехугольного —четырем. [c.199]

Основные этапы применения метода конечных элементов для приближенного решения сформулированной вариационной задачи следующие. Вначале область решения разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Разбиение на элементы может быть выполнено множеством разных способов, так как выбор размеров и форм элементов в общем случае произволен. Элементы для плоского тела обычно -имеют треугольную или четырехугольную форму. Разбиение области решения на конечные элементы и условия непрерывности, накладываемые на пробные функции, позволяют записать функционал (23.25) в виде суммы [c.247]

Иногда при определении геометрии узла производится анализ напряжений всей конструкции. Сложная конструкция может быть представлена как совокупность конечных элементов. Ими являются трех- и четырехугольные мембраны, панели, работающие на сдвиг, одноосные стержни. Для имитации обшивок используются плоскостные элементы. Размеры всех вышеперечисленных элементов выбираются в зависимости от сложности картины напряжений и геометрии конструкции. С использованием компьютеров можно вычислить деформацию конструкции в заданных условиях нагружения, после чего внести необходимые коррективы в предварительные расчеты. Напряжения и усилия, действующие в упрощенных (модельных) элементах, рассчитываются таким же образом и соотносятся с реальной конструкцией. [c.60]

Суть МКЭ применительно к расчету пластин заключается в том, что пластину разбивают на конечные элементы стандартной формы (обычно — треугольные или четырехугольные). Форму изогнутой поверхности задают в виде полинома не для всей пластины в целом, а для каждого элемента в отдельности. Коэффициенты аппроксимирующего полинома (а следовательно, и энергия деформации элемента) выражаются через перемещения (прогибы, углы поворота) в характерных точках элемента — узлах. [c.101]

Наиболее популярным у проектировщиков конечным элементом является пластина, нагруженная в своей плоскости. На рис. 5, б изображены треугольный (I) и четырехугольный (II) плосконапряженные элементы. К этому классу можно отнести еще много элементов, имеющих в [c.38]

Разработана единая программа расчета НДС и поиска цепи в граф - откосе для четырехугольного изопараметрического конечного элемента в упругопластической постановке задачи. [c.5]

Библиотеки конечных элементов содержат их модели — матрицы жесткости. Очевидно, что модели конечных элементов будут различными для разных задач (анализ упругих или пластических деформаций, моделирование полей температур, электрических потенциалов и т. п.), разных форм конечных элементов (например, в двумерном случае — треугольные рши четырехугольные элементы), разных наборов координатных функций. [c.218]

Для начала рассмотрим двумерную область . В этом случае область можно рассматривать в качестве плоской, которую дискретизируют с помощью конечных элементов основных типов (треугольных, четырехугольных). С каждым элементом связана интерполяционная функция или функция формы по перемещениям, т. е. мы имеем возможность связать внутренние значения перемещений и с узловыми значениями и (узлы элементов размещают в его вершинах, а иногда и на гранях в определенных [c.343]

При расчете методом конечных элементов сетка образуется двумя рядами прямых, причем один ряд соответствует направлению оси крыла, а другой параллелен хорде крыла (оси х), так что крыло разбивается на четырехугольные элементы, как показано [c.444]

В первом разделе рассмотрена общая процедура решения задач статики, динамики и теплопроводности с помощью МКЭ, даны методы, формулы и библиотека подпрограмм вычисления соответствующих матриц и векторов простых типовых конечных элементов прямолинейных стержней постоянного поперечного сечения (рис. 1.2), прямоугольных в плане оболочек (рис.. 3), тонких треугольных, четырехугольных и прямоугольных в плане пластин (рис. 1.4), круговых колец треугольного, четырехугольного и прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.5), четырех-, пяти- и шестигранных объемных элементов (рис. 1.6). Изложены методы и алгоритмы расчета приведена библиотека подпрограмм решения систем линейных алгебраических уравнений, нелинейных функциональных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.11]

Матрицы теплопроводности и теплоемкости. Матрицу теплопроводности [i ] (4.29) для четырехугольного конечного элемента вычисляют согласно схеме, показанной на рис. 4.13, т. е. суммированием матриц теплопроводности для соответствующих треугольных элементов, определяемых по формуле (4.88). [c.87]

Таким образом, мы получаем совместные четырехугольные конечные элементы с восемью степенями свободы. Узловые перемещения, найденные с помощью подобных элементов, будут такими же, как и при самостоятельном применении входящих сюда треугольников. Все же использование составных четырехугольников имеет определенные преимущества Во-пер-вых, сокращается количество исходной информации. В память ЭВМ достаточно ввести координаты х, у всех внешних узлов, а координаты внутренних можно определить для каждого элемента программным путем, пользуясь, например, формулами [c.155]

Максимальное значение N имеет погрешность порядка 30%, хотя погрешность в перемещениях для этой сетки составляет 3,5%. Эти колебания отчетливо проявляются даже при весьма густой сетке. Так, при =40 отклонение максимального значения N от точного решения составляет 2%, в то время как погрешность в перемещениях не превосходит 0,3%. Применение процедуры местного сглаживания, описанной в пре дыдущем параграфе, совместно с осреднением результатов )в узлах, позволяет полностью устранить эти колебания и получить значения N практически с той же погрешностью, что и для перемещений (точки на рис. 5.27). Крестиками на графике даны значения силы N, полученные на модели 3 в случае п = = 10. Как видим, описанный в 5.7 плоский четырехугольный конечный элемент с линейным полем напряжений весьма эффективен при моделировании тонких стенок. [c.204]

Подобным же образом можно ввести четырехугольные конечные элементы второго и третьего порядков (рис. 7.4). Соотношения, полученные выше для элемента первого порядка, остаются и здесь в силе. Отличие будет лишь в выражении для функций г >г (I, т]). Для элемента второго порядка должны использоваться функции (5.62). Интегрирование в (7.21) следует выполнять при этом по трем точкам Гаусса для каждой из переменных т], а в (7.22) — по двум. [c.236]

Силовой каркас обычно разбивает обшивку на отдельные панели, которые часто целиком моделируют одним конечным элементом. Обшивка представляет собой тонкую оболочку, и в принципе для идеализации панелей могут быть использованы четырехугольные конечные элементы, описанные в предыдущей главе. Однако тонкая обшивка работает в оС" новном на растяжение-сжатие и сдвиг, слабо сопротивляясь изгибу. Распределение напряжений по ее толщине можно счи- [c.284]

В 5.12 описаны два метода, которые могут быть использованы для поузлового интегрирования метод Маркова и метод Эйлера. Первый из них пригоден для тех конечных элементов, у которых в узлах задаются значения функций, но не их производных. Примерами могут служить четырехугольные конечные элементы плоской задачи теории упругости, для которых матрицы г имеют вид (см., например, 5.2) [c.339]

Рассмотрим, далее, семейство четырехугольных конечных элементов произвольной оболочки (см. 7.13). Перемещения [c.349]

Для наших целей мы будем аппроксимировать границы при помощи прямолинейных отрезков — для двумерных задач и при помощи треугольников или четырехугольников — для трехмерных задач. Внутренняя область, в которой в результате нагружения ожидается течение, разбивается затем на соответствующее число треугольных или четырехугольных ячеек — для двумерных задач и тетраэдров или параллелепипедов — для трехмерных задач. Хотя такая дискретизация похожа на применяемую в методе конечных элементов, здесь ячейки используются лишь для вычисления различных объемных интегралов посредством конечных сумм. Поэтому формирование дискретизированной системы уравнений, в сущности, такое же, как описано в гл. 3—8. Так, например, уравнение (12.43) можно записать в следующем виде [c.347]

В качестве контактных в данной реализации использованы базовые четырехугольные конечные элементы с определенным образом назначенными анизотропными свойствами. Главные оси анизотропии связываются с местной системой координат t]o (рис. 2), где в дальнейшем рассматриваются условия взаимодействия. При несовпадении осей местной т]о и глобальной roz системы координат параметры упругости ортотропного материала слоя преобразуются к осям последней с добавлением членов общего случая двумерной анизотропии [118] [c.27]

Контактный слой моделируется слоем простейших четырехугольных контактных конечных элементов. Он вводится независимо от того, отра> ает он жесткости шероховатостей или реальной мягкой прокладки илч рассматривается контакт идеально гладких тел. В последнем случае влияние слоя может быть сведено к минимуму, если принять его достаточно тонким и жестким. [c.100]

Поверхность тела представляется при помощи четырехугольных и треугольных элементов с квадратичным изменением формы и линейным, квадратичным или кубическим изменением перемещения и вектора напряжений относительно внутренней системы координат. Тело разбивается на подобласти производится дискретизация интегрального уравнения для каждой подобласти, и получается система уравнений ленточного типа. Для вычисления интегралов используется квадратурная формула Гаусса, число узлов в которой выбирается на основании верхней оценки для ошибки, определенной по значениям производных от подынтегральных выражений. Масштаб коэффициентов в уравнениях выбирается таким образом, чтобы получить устойчивую при счете систему, разрешимую методом исключения без итерации остатков. Поблочное решение уравнений позволяет рассматривать большие задачи. В программе используется большое число процедур, осуществляющих контроль и автоматическое формирование данных. Результаты решения задачи о фланце трубопровода и характеристики выполнения программы сравниваются с результатами, полученными методом конечных элементов, и экспериментальными результатами. [c.111]

При решении методом конечных элементов практических задач, связанных с достаточно сложной областью, важное значение имеет автоматизация подготовки входной информации. В работе [40] используется следующий метод. Заданная двумерная область разбивается вручную на крупные четырехугольные зоны, ограниченные прямыми линиями или отрезками парабол. Для каждой зоны задаются кратности разбиения по двум направлениям. Используя эти кратности, автоматически получаем разбиение зон на четырехугольные элементы, которые затем также автоматически делятся на треугольные. Стороны зон могут делиться равномерно или с заданной неравномерностью. [c.199]

Основные этапы применения метода конечных элементов указаны на рис. 5.8. Первый этап состоит в разделении тела на малые элементы простой формы, соприкасающиеся в точках, которые называются узлами. Разделение на элементы можно выполнить множеством разных способов, так как выбор размеров, формы и ориентации элементов целиком определяется представлениями инженера о том, как проще решить данную задачу. Элементы плоского тела имеют обычно треугольную или четырехугольную форму, а элементы трехмерных тел — форму тетраэдров или гексаэдров. Те участки тела, для которых из физических соображений требуется получить более детальную информацию, разбиваются на большее число мелких элементов. Если физические свойства тела изменяются в точке или вдоль линии, то можно изменять форму, размеры или ориентацию элементов на этом участке тела. На рис. 5.9 показано разбиение равномерно нагруженной квадратной пластинки с эллиптическим отверстием в центре на 26 треугольных конечных элементов. Так как пластинка имеет две оси симметрии, то рассматривается только одна ее четверть. Следует обратить внимание на уменьшение размеров элементов вблизи эллиптического отверстия. Это позволяет получить более подробную информацию о тех участках пластинки, на которых велики градиенты напряжений. Как видно из рнс. 5.9, обычно нумеруют и элементы, и узлы, так как это [c.126]

Цри построении дискретной модели непрерывной величины, определенной в двух- или трехмерной области, основная концепция метода конечных элементов используется аналогично. В двумерном случае элементы описываются функциями от х, у, при этом чаще всего рассматриваются элементы в форме треугольника или четырехугольника. Функции элементов изображаются теперь плоскими (фнг. 1.5 или криволинейными (фиг. 1.6) поверхностями. Функция элемента будет представляться плоскостью, если для данного элемента взято минимальное число узловых точек, которое для треугольного элемента равняется трем, а для четырехугольного — четырем. [c.14]

Треугольники являются простейшими многоугольниками, на которые моЖно разделить любую двумерную область, и это от части объясняет популярность треугольного конечного элемента. Следующий возможный тип, который широко распространен,— это прямоугольные или, в более общем смысле, четырехугольные элементы. Многоугольники более высокого порядка обычно не используются. [c.195]

Обычно конечным элементом внутри рассматриваемой области П называют некоторую подобласть геометрические размеры которой очень малы по сравнению с размерами области П, но тем не менее остаются конечными. В простейшем случае эти элементы имеют треугольную (20) или тетраэдральную (30) топологию для плоских и трехмерных задач. В общем случае топология может быть четырехугольной или многоугольной. Элемент характеризуется числом геометрических узлов и степенью аппроксимации неизвестной функции в области. Аппроксимация может быть прямолинейной или криволинейной и порядок аппроксимации лежит в пределах 1-6. На рис 1.2 приведено несколько типов элементов, которые будут подробнее рассмотрены в гл. 3. [c.24]

Мы рассмотрим детальное разбиение областей на треугольники (возможно с криволинейными сторонами) по двум причинам. Во-первых, для таких канонических объектов, как области, составленные из пря-мо) ольников, четырехугольников (возможно с криволинейными границами) разбиение не представляет алгоритмической сложности, а именно для таких областей чаще всего используются конечные элементы четырехугольной формы. Во-вторых, невырожденный треугольник легко разбивается отрезками медиан на 3 четырехугольника, как на рис. 2.14. Поэтому разбиение на четырехугольники всегда можно получить, имея разбиения на треугольники. Обратная операция разбиения четырехугольника на два треугольника еще очевиднее. Позтому можно считать, что разбиения на треугольники или четырехугольники в некоторой степени зк-вивалентны. [c.67]

Обозначим множество полиномов от п переменных степени k по совокупности переменных через Р , множество полиномов от н переменных степени k по каждой переменной в отдепьности — через Q / . Как было выяснено, для треугольных и тетраэдральных элементов в обычной постановке задач теории упругости подходят полиномиальные аппроксимации перемещений полиномами из P k, для четырехугольных и параллелепипедов — аппроксимации полиномами из Ql- В рассматриваемом случае ни один из этих типов полиномов не может быть использован, тем не менее попытаемся аппроксимировать прогиб w полиномом, вид которого будем выбирать из тех соображений, чтобы обеспечить непрерывность w при переходе через границы конечных элементов. Так как величины прогибов и поворотов в узлах (вершинах) являются общими для соседних элементов, то в случае непрерывности прогибов форма прогиба на границах рассматриваемого элемента будет определяться четырьмя параметрами (по два в каждом узле) —ш и 6 на границе л-2 = onst, 02р—на границе Xi = onst. [c.147]

Для расчета на изгиб плоских плит используются треугольный (I) и четырехугольный (II) конечные элементы, показанные на рис. 5, е. Конфигурация их схожа с геометрией плосконапряженных элементов, однако вместо линейных смещений в узлах иг и К,- введены три степени свободы — поперечное смещение Wi и два угла поворота в срединной поверхности <рж и фу. Комбинацией плосконапряженного и изгибного плоского конечных элементов получают оболочечные конечные элементы за счет объедипеиня нзгибной н мембранной жесткости (рис. 5, ж). В настоящее время оболочечные конечные элементы используются при расчетах на прочность и жесткость конструкций авиакосмической, судостроительной, автомобильной и многих других отраслей промьшлен-ности. [c.40]

С другой стороны, использование сложных изопара-метрических конечных элементов приводит к значительным затратам машинного времени, связанным с тем, что матрицы жесткости таких элементов, как упоминалось ранее, могут быть получены чаще всего путем численного интегрирования. В то же время матрицы жесткости элементов с линейными функциями формы вычисляются очень быстро с помощью аналитических расчетов. Использование плоских треугольных и четырехугольных конечных элементов, а также в форме тетраэдров и парал- [c.51]

Выбор типа, формы элемента и числа его узловых точек зависит от характера рассматриваемой задачи и от той точности решения, которую требуется обеспечить. Например, при решении одномерных задач распространения тепла и в задачах строительной механики при расчете стержневых конструкций область разбивают на одномерные конечные элементы, взаимосвязанные между собой по концам. При решении плоских задач (плоское напряженное состояние, задача теплопроводности в пластине и т. д.) области аппроксимируются треугольными или четырехугольными плоскими конечными элементами (рис. 1.5.1). Если рассматривается трехмерная область, то обычно она идеализируется с помощью элементарных тетраэдров, прямоугольных параллелепипедов либо неправильных шестигранников (рис. 1.5.2). [c.55]

Возвращаясь к конечным элементам, заметим, что они в процессе исследования трещин предлагают специальные возможности. Наиболее явная заключается в наличии так называемых специальных элементов, размещаемых в вершине трещины или надреза, с помощью которых ожидаемое сингулярное поведение в вершине трещины встраивается в функции формы [Л ] элемента (см., например, Бысков [57] и Уилсон [58], где рассматриваются ранние этапы этого подхода, и Сведлоу [44], где описан усовершенствованный вариант). Альтернативный подход заключается в использовании четырехугольных элементов [59,60], в которых для моделирования сингулярности узлы, расположенные в центре грани, смещаются на четверть стороны или же имеет место вырождение некоторых угловых узлов, благодаря чему устраняется необходимость в специальных элементах. [c.347]

Вычисление жесткости при кручении нетонкостенных стержней произвольного сечения. Используя МКЭ, разобьем сечение на треугольные и четырехугольные конечные элементы (рис. 4.12). Матрица реакций для произвольного треугольного элемента [c.68]

MR004T вычисления матриц теплопроводности, теплоемкости и вектора тепловых сил четырехугольного конечного элемента — Текст 465 [c.516]

Проиллюстрируем сказанное на простейшем примере образования плоского четырехугольного конечного элемента произвольной формы из четырех треугольных (рис. 5.6). Суммируя коэффициенты жесткости отдетьных треугольников, образуем сначала матрицу жесткости к, которая будет иметь размер 10 X 10 (так как в каждом из пяти узлов имеется по две степени свободы). В блочной форме матрица к имеет вид [c.154]

Пример 3 [18]. Консольная пластинка (рис. 10.4) постоянной толщины h, имеющая стреловидную форму в плане с углом стреловидности х, совершает поперечные колебания. Для расчета использованы несовместные четырехугольные конечные элементы с 16 степенями свободы (см. 7.5) применялась согласованная матрица масс (9.36). В табл. 10.1 для первых пяти тонов даны в случае tg х = 0,5 значения частот oj, отне [c.368]

Задача решалась при помощи ПМГЭ. Общее число граничных узлов—114, число неизвестных — 256. Результаты сравнивались с решением, полученным методом конечных элементов с использованием 855 четырехугольных элементов, в пределах которых деформации считались постоянными. [c.140]

Суть метода механических квадратур заключается в следующем. Представим некоторую двумерную область V в виде М плоских сегментов, а границу S разобъем на N отрезков. Для вектора смещения заранее выбранной характерной точки границы Р можно записать интегральное уравнение (П1.9). Элементы, на которые дискретизируется граница, будем называть граничными элементами (ГЭ). Геометрия элемента в общем случае произвольна, но, как правило, используются ГЭ в виде отрезков прямых, дуг окружностей либо отрезки квадратичных функций. Сегменты, на которые разделена область V, называют ячейками. Обычно ячейки выбирают в виде треугольных или четырехугольных конечных элементов. [c.56]

Программа GRID вырабатывает исходные данные элементов для представленных в этой главе программ, основанных на методе конечных элементов. Для конструирования дискретной модели рассматриваемого тела в GRID используется семейство четырехугольных зон с восемью узлами (квадратичные четырехугольники). Эта программа может моделировать двумерные области, которые составляются из прямоугольников и треугольников, границы которых могут быть описаны кривыми второго порядка. В программе осуществляется нумерация узлов элементов и вычисляется величина (/ -fl), используемая для определения щирины полосы ленточной матрицы. Не пытайтесь минимизировать R за счет перенумерации узлов. [c.343]

Часто встречается использование этого варианта метода конечных элементов, реализованного в пакете FLUX 2D для электрических, магнитных и термодинамических применений. Хотя примененное в нем разбиение на криволинейные треугольные или четырехугольные элементы является более трудоемким, чем автоматическое построение прямолинейных треугольников, его эффективность часто значительно превосходит простые способы разбиения. [c.92]

Опишем теперь некоторые примеры четырехугольных конечных эле.ментов в том смысле, что они изопараметрически эквивалентны некоторому конечному элементу, для которого мно- [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...