Формулы Грина

Воспользуемся формулой Грина для перехода от интегралов по области Е в уравнениях (1.1) к интегралам по контуру L. Это дает, соответственно, [c.49]

Формула Остроградского дает преобразование поверхностного интеграла в объемный. В случае двумерной области формула Остроградского преобразуется в формулу Грина [c.16]

Меняя в (2.253) и и о местами и вычитая из получившегося равенства (2.253), придем ко второй формуле Грина (2.249). [c.87]

Для этого вводится в рассмотрение произвольная пока гармоническая (т. е. удовлетворяющая уравнению Лапласа Дгг = 0) функция без особенностей W, которая подставляется вместо и в формулу Грина (2.249) [c.88]

Для того чтобы построить определение функции Грина, необходимо иметь аналоги второй формулы Грина и формулы Стокса для оператора Ламе. [c.90]

Аналог второй формулы Грина получается из следующей формулы Гаусса —Остроградского [c.91]

Подставим теперь во вторую формулу Грина (2.279) фундаментальное решение К х,у) учитывая определение (2.274), найдем, что [c.92]

Необходимость условия (2.465) доказывается так же, как это было сделано в аналогичных ситуациях для одномерных задач [умножением уравнения (2.463) скалярно на единицу с последующим применением формулы Грина и условия (2.464)]. [c.117]

В дальнейшем неоднократно будет использована следующая формула Грина для оператора А, заданного формулой (2.495) [c.121]

Приведем одно следствие из формулы Грина (2.501), имеющее важное значение для механических приложений если к упругому телу, занимающему область Q, приложить систему внешних объемных сил с плотностью поверхностных а затем заменить эту систему другой, характеризуемой [c.126]

Применяя к написанному интегралу двухмерную формулу Грина, получаем поэтому [c.263]

Согласно формуле Грина второй интеграл равен, очевидно, нулю. Нормаль п, внешняя к объему У, является внутренней для сферы 5, rfw = —йг [c.251]

Окружим точку Р сферой s очень малого радиуса е (рис. 156). Формула Грина дает [c.257]

Задача Неймана. Пусть на поверхности S значения ди/дп суть нули, а внутри S функция U есть гармоническая. Из формулы Грина [c.270]

Определение гармонической функции и по заданным и dU/dn на поверхности. Пусть а, Ь, с — координаты некоторой точки А внутри V (рис. 159) окружим точку А сферой а очень малого радиуса. Формула Грина дает [c.271]

Если U ж V — потенциалы ограниченных масс, то на бесконечности R- оо) и -а V имеют порядок 1/i , их первые производные — порядок i/R . Формулу Грина тогда возможно применить к области Т между поверхностью S и сферой бесконечно боль- [c.273]

С другой стороны, на основании первой формулы Грина [c.176]

Любая поперечная сила, приложенная к сечению свободного конца, проходящая через центр изгиба, вызывает изгиб без участия кручения. Чтобы определить положение центра изгиба, совершенно не обязательно решать задачу об изгибе призматического тела, достаточно решить задачу о его кручении. Следуя Новожилову, покажем, что выражения, входящие в (7.104) и (7.103), могут быть вычислены с помощью функции Ф х, Х2). Для доказательства применим известную формулу Грина для функций Ф и F в качестве контура интегрирования возьмем контур поперечного сечения тела [c.204]

Равенство (3.23) называется формулой Грина. Оно однозначно определяет шесть независимых компонент тензора напряжений через компоненты ef тензора деформации и представляет собой общее выражение закона упругости. [c.54]

Однако при изотермическом деформировании упругий потенциал W (Bij) определяется свободной энергией F = U — TqS, а при адиабатическом деформировании упругий потенциал определяется внутренней энергией О. Поэтому соотношения между Oij и определяемые формулой Грина, при изотермическом и адиабатическом процессах деформирования не будут тождественными, т. е, упругие постоянные для данного материала тела, которые содержатся в этих соотношениях, будут различными. Но это различие несущественно, поскольку в случае твердых тел (в отличие от газообразных тел) величина T( s значительно меньше величины U. , [c.54]

Соотношения между компонентами сг,- тензора напряжений и компо-1 ентами e,v тензора деформации для определенной модели упругой V плошкой Среды могут быть получены на основании формулы Грина ( 5.23), если для данной сплошной среды известен упругий потенциал 7 (zij) как функция компонент тензора деформации. [c.56]

Подставив выражение (3.30) для упругого потенциала W (е, ) в формулу Грина (3.23), найдем [c.57]

Подставив выражение (3.42) для упругого потенциала W в формулу Грина (3.23), получим [c.61]

Или с учетом формулы Грина (3.23) получим равенство [c.66]

Приняв во внимание дифференциальные уравнения равновесия (4, и формулу Грина (3.23), получим [c.90]

Ha основании формулы Грина (1 .113) для области F, ограниченной контуром L, имеем [c.114]

Воспользуемся формулой Грина [c.136]

Первый интеграл в правой части последнего равенства преобразуем по формуле Грина (7.16) в интеграл по контуру, ограничивающий многосвязное сечение. В данном случае Р = — ХгФ, Q = Xj и, учи- [c.136]

Второй интеграл в последнем равенстве преобразуем по формуле Грина [c.140]

Применив формулу Грина (1 ,113) к частному случаю ij) = 1, получим, что если ф — гармоническая функция, то [c.143]

Ф . Очевидно, что У ф = О и5ф/ пи=-0. Тогда, применяя формулу Грина (1 .113) для случая ф = ф и i 3 ф, найдем [c.143]

Применяя формулу Грина (7.16), получим [c.144]

Теперь на основании формулы Грина (1 .113), в которой в данном елучае надо принять ф = ф, о]) = ф и учесть уравнение (7.54), получим [c.145]

Преобразуем первый интеграл в последнем равенстве с помощью формулы Грина (7.16) [c.172]

Проинтегрируем это уравнение по области agfba и перейдем по формуле Грина к контурному интегралу. Используя равенство (5.19), условие гр = о на 5/ и соотношение (5.16) на характеристике первого семейства /Ь, получаем [c.145]

Воспользуемся формулой Грина ) дли замены интеграла по пло-1ца и интегралом но itoiiTypy получим [c.56]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Формулы такого типа иногда называют формулами Грина — Кубо для коэффициентов переноса. Они, как и приведенные ниже формулы для брауновского движения (см. также формулу Найквиста в 22), являются частными формами записи весьма общего соотношения между флуктуационными и диссипативными характеристиками систем — так называемой флуктуационно-диссипа-ционной теоремы. [c.47]

Фазовое пространство — 61 Флуктуационно-диссипациоиная теорема — 47, 80—84, 175 Формула Грина—Кубо — 47, 60,164, 166, 171 [c.240]

Итак, компоненты тензора напряжений согласно закону Гука есть линейные функции компонент e тензора деформации и вместе с тем в соответствии в формулой Грина являются частными производными первого порядка упругого потенциала W (в ) по соответствующим компонентам тензора деформации. Отсюда становится очевидным,"что упругий потениил W ( и) представляет собой функцию второго поряд-к а компонент тензора деформации. Общее выражение этой функции можно представить в следующем виде [c.57]

Подчеркнем, что если формула Грина (3.23) и формула (3.28) применимы для любого упругого тела, то формула Кастильяцо справедлива лишь для упругого тела, следующего обобщенному закону Гука. [c.66]

Ha основании формулы Грина (1 .113), учитывая, что функции Mft и Urn гармонические, последнее равенство можно привести к следующей системе уравнений, из которых определяютея коэффициенты flft приближенного решения и/. [c.112]

Механика сплошной среды. Т.2 (1970) -- [ c.164 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 (1978) -- [ c.464 , c.466 , c.479 , c.488 , c.526 , c.529 , c.530 ]

Теплотехнический справочник (0) -- [ c.33 ]

Теплотехнический справочник Том 1 (1957) -- [ c.33 ]

Курс теории упругости Изд2 (1947) -- [ c.66 , c.72 , c.76 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...