Метод инвариантного погружения

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

МЕТОДЫ ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ СТАТИКИ, УСТОЙЧИВОСТИ И ДИНАМИКИ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ [c.195]

Численное интегрирование линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом инвариантного погружения [c.198]

Накопленный опыт [17—19, 21, 23, 24, 30] использования метода инвариантного погружения в задачах статики, устойчивости, свободных колебаний слоистых оболочек вращения с применением разработанных в настоящей монографии неклассических дифференциальных уравнений позволяет заключить, что соответствующие им уравнения (7.2.21), (7.2.28) можно отнести к классу умеренно" жестких. Так, в рассмотренной ниже тестовой задаче прочности длинной круговой цилиндрической панели (требующей введения достаточно густой координатной сетки), дифференциальные уравнения метода инвариантного погружения (7.2.21), [c.204]

В этом параграфе разработан метод численного решения линейных краевых задач устойчивости и свободных колебаний слоистых оболочек вращения, объединяющий в себе метод Бубнова — Галеркина для линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода с обобщенной формой метода инвариантного погружения. Изложение метода строится на примере задачи устойчивости и сопровождается указаниями на модификации, необходимые для перехода к задаче [c.205]

Задача (7.3.12) — краевая задача неклассической теории оболочек, и ее интегрирование требует применения экономичных и эффективных численных методов, учитывающих существенные особенности таких задач — матричную структуру решения и сильную численную неустойчивость неклассических дифференциальных уравнений слоистых оболочек. Этим требованиям в полной мере отвечает разработанный в предыдущем разделе метод инвариантного погружения в его обобщенной форме. Накопленный вычислительный опыт [17—19, 21, 23, 24, 30] позволяет рекомендовать эту модификацию метода к широкому использованию в задачах прочности, устойчивости, динамики оболочек. [c.208]

В качестве примера рассмотрим задачу устойчивости слоистой длинной цилиндрической круговой изотропной жестко защемленной панели радиуса R и толщины Л, нагруженной равномерно распределенным давлением интенсивности Р. В параграфе 4,5 получено аналитическое решение этой задачи сравнение установленных там результатов с результатами, полученными по методу инвариантного погружения позволит оценить практическую пригодность и эффективность последнего. Как показано в параграфе 4.5, исследование устойчивости длинной цилиндрической жестко защемленной панели сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (4.5.5) при краевых условиях (4.5.6). Эти уравнения и условия представим в матричной форме [c.208]

Такой выбор координатных векторов достаточен для корректного определения критической интенсивности давления при несимметричной форме потери устойчивости. Учет влияния докритических деформаций осуществляется последними L векторами системы (7.3.14). При решении задачи устойчивости без учета таких деформаций эти векторы следует отбросить, сохраняя в системе (7.3.14) лишь первые L векторов. Следовательно, в рассматриваемом примере под матрицей Z x) и матрицей коэффициентов системы (7.3.8) следует понимать 8 X 2L и 2L X 2L матрицы соответственно, если докритические деформации учитываются, и8 х L ш L х L матрицы — в противном случае. Соответствующие краевые задачи (7.3.12) решены методом инвариантного погружения, причем при интегрировании возникающих в этом методе задач Коши использовался метод Рунге — Кутта второго порядка [41 ]. Внешние интегралы в системе (7.3.8) вычислялись с использованием квадратурной формулы Симпсона [41 ], а собственные значения матрицы коэффициентов этой системы определялись обобщенным методом вращений [83]. [c.209]

Численное определение матрицы Грина линеаризованных краевых задач теории слоистых оболочек вращения методом инвариантного погружения [c.210]

Численное определение значений матрицы Грина краевой задачи (7.4.1) в точках (л ., Xj) квадрата [О, 1 ] х [О, 1 ] методом инвариантного погружения осуществляется в несколько шагов. [c.218]

Такие условия сформулированы в [143]. Отметим лишь, что выполнение этих условий предполагает наличие начального приближения достаточно близкого к точному решению. В задачах механики оболочек таким приближением служит решение линеаризованной задачи (7.5.3), а численное решение линейных краевых задач (7.5.11), как будет показано в гл. 8, эффективно осуш,ествляется методом инвариантного погружения. [c.224]

Практическое применение изложенного метода определения разрушающих интенсивностей давления для всех компонентов композита и всех слоев оболочки требует организации вычислительного процесса, включающего в себя 1) решение линейной задачи прочности и формирование на ее основе начального приближения 2) выполнение цикла длины 2т (т — общее число слоев оболочки), на (2к — 1)-м и 2 -м шагах которого (к = 1, 2,. .., т) определяются нагрузки начального разрушения связующего и армирующих волокон -го слоя по итерационным формулам (8.3.11), (8.3.12). Всякое применение последних требует решения нелинейной краевой задачи (8.3.5), (8.2.7а) при соответствующем значении параметра А. Это решение строилось итерационным методом, изложенным в гл. 7, причем в качестве начального приближения принималось решение линеаризованной задачи, а возникающие на каждой итерации линейные краевые задачи (7.5.11) эффективно интегрировались методом инвариантного погружения. Принятые начальные приближения оказались (см. ниже) весьма близкими к истинным и обеспечили [21] быструю сходимость всех итерационных процессов. Нагрузка начального разрушения Р композитной оболочки определялась по формулам (2.2.8). [c.242]

Андреев А.Н. Численное определение матрицы Грина линеаризованных краевых задач изгиба и устойчивости слоистых оболочек вращения методом инвариантного погружения // Динамика сплошной среды Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. — П., 1990. — Вып. 98. — С. 3—22. [c.275]

В работах [6, 44, 47, 48] исходная трехмерная краевая задача распространения сводится либо методом инвариантного погружения [6, 36], либо путем построения решения волнового уравнения в виде ряда по кратности обратного рассеяния [44, 47, 48] к решению уравнений, уже удовлетворяющих условиям динамической причинности. Такая формулировка задачи, с одной стороны, позволяет получить [48, 55] уточненные решения уравнений для низших статистических моментов поля прямой волны, свободные от ограничений френелевского (2.27) и малоуглового (2.48), [c.39]

Другие численные методы использовались для решения некоторых определенных задач переноса нейтронов. Среди них можно отметить метод моментов [33]. который применялся для расчета прохождения нейтронов через гомогенную среду, например, в расчетах защиты, а также метод инвариантного погружения [34], в котором линейная задача переноса нейтронов с граничными условиями на двух концах интервала заменяется нелинейной задачей с условиями на единственной границе. До сих пор, однако, неясно, окажется ли этот метод полезным при решении практических реакторных задач. [c.131]

Действенными методами определения вероятностных характеристик краевых задач, которые обходят процедуру нахождения решения для каждой реализации, являются приемы, сводящие краевую задачу к эволюционной, для которой уже имеются стандартные способы усреднения, в том числе с помощью формул дифференцирования. Здесь имеется ряд специальных приемов, пригодных лишь для ограниченного класса моделей и их характеристик, и более универсальный прием перевода краевых задач в эволюционные — метод инвариантного погружения. [c.133]

МЕТОД ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ [c.143]

Метод инвариантного погружения применительно к детерминированным задачам с краевыми условиями был развит в работах [65, 66]. Его идея состоит в том, что путем определенного расширения пространства динамических переменных и класса динамических систем исходную динамическую систему сводят к другой динамической системе более общего вида, но эволюционного типа. Так, краевая задача (9.1), (9.2), описываемая уравнениями в обыкновенных производных, методом инвариантного погружения сводится к динамической системе [c.143]

Изложим суть метода инвариантного погружения, как оп нам представляется после ознакомления с работами [65, 66], где, на наш взгляд, рассмотрение излишне усложнено. Итак, обратимся к краевой задаче (9.1), (9.2) для переменных х = . . ., х ). Ее решение х 1) зависит от величины Т и вектора V как от параметров и может быть записано так х = =- х 1, V, Т). [c.144]

Ранее мы говорили о двухточечной краевой задаче, однако метод инвариантного погружения переносится [67] и на более общие краевые задачи, например многоточечные [c.147]

В монографии представлены результаты теоретических и численных исследований, выполненных авторами в области механики и вычислительной математики слоистых тонкостенных анизотропных оболочек, а также неклассическая математическая модель нелинейного деформирования тонкостенных слоистых упругих композитных пластин и оболочек, отражающая специфику их механического поведения в широкой области изменения нагрузок, геометрических и механических параметров, структур армирования. Предложен и реализован эффективный метод численного решения краевых задач неклассической теории многослойных оболочек, основанный на идеях инвариантного погружения. Получены решения задач начального разрушения, устойчивости, свободных колебаний слоистых конструкций распространенных форм — прямоугольных и круговых пластин, цилиндрических панелей, цилиндрических и конических оболочек. Дана оценка влияния на характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости таких факторов, как поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали, моментность основного равновесного состояния, докритические деформации. Проведены систематические сравнения полученных решений с решениями, найденными при использовании некоторых других известных в литературе неклассических моделей, в том числе и в трехмерной постановке. [c.2]

Уже из краткого рассмотрения ясно, что вопросы численного анализа краевых задач уточненной теории оболочек разработаны недостаточно полно. Создание и развитие численных методов их решения остаются важной и актуальной задачей, требующей внимания ученых и специалистов. Этой проблеме посвящена гл. 7, в которой развит эффективный метод численного интегрирования линейных осесимметричных краевых задач статики и задач устойчивости слоистых оболочек вращения, основанный на идее инвариантного погружения. [c.110]

В данной главе мы опишем метод, основанный на квадратурной формуле Гаусса ([31], гл. И и III), который позволяет легко получить численные решения на ЭВМ. При этом решение дается в виде ряда, точность которого возрастает с ростом числа его членов. Другое решение в виде ряда, использующее полиномы Лежандра, обсуждается кратко в разд. 11.6. Рассматриваемую задачу можно также сформулировать в виде интегрального уравнения, основываясь на принципе инвариантности и инвариантном погружении . Эти вопросы изложены в превосходных учебниках [2, 12] и здесь не рассматриваются. [c.225]

Описанный Б данной главе метод основан на квадратурной формуле Гаусса. Имеются и другие методы, которые оказались также эффективны при решении рассматриваемой задачи. Так, например, лучевую интенсивность можно разложить в ряд по полиномам Лежандра с неизвестными коэффициентами ([И], гл. 3). Можно также рассмотреть общие соотношения между отражением и прохождением, для конечного слоя и составить соответствующие интегральные уравнения. Такой метод оказался достаточно эффективным ([31], гл. 7, а также [2, 12]). Основную идею этого метода называют принципом инвариантности и инвариантным погружением. В следующем разделе мы опишем аналогичную методику, применимую к случаю слоистой плоскопараллельной среды. [c.239]

X 4L матриц и решения алгебраической проблемы собственных значений для 4L X 4L матриц. Во втором случае размерности этих матриц составили 12 х 2L и 2L X 2L соответственно. Краевые задачи для матричных дифференциальных уравнений решены методом инвариантного погружения (см. гл. 7), а при решении алгебраической проблемы собственных значений использовался QR-алгоритм в сочетании с приведением матрицы к форме Хессенберга (см. [353]). Значение параметра L, достаточное для обеспечения высокой точности результата, опреде- [c.260]

X 6L матриц и решения алгебраической проблемы собственных значений для 2L-E(ju) X 2Ь-Е /л) матрицы. В рассмотренном далее примере краевые задачи для матричных дифференциальных уравнений решены методом инвариантного погружения, а при численном решении алгебраической проблемы собственных значений использовался QR-алгоритм в сочетании с предварительным приведением матрицы коэффициентов системы (8.6.26) к форме Хессснберга [353 ]. При вычислениях принималось L = 6, что согласно оценкам, полученным в предыдущих разделах, достаточно для обеспечения высокой точности результата. Данные о скорости сходимости метода относительно параметра /г приведены ниже. Расчеты выполнены с использованием МВК Эльбрус-2. [c.272]

Андреев А.Н. О численном интегрировании уравнений осесимметричного изгиба слоистых оболочек вран1ения методом инвариантного погружения // Динамика сплошной среды Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. — Новосибирск, 1985. — Вып. 73. — С. 137 —148. [c.275]

В частном случае, когда функция А линейна по х и а, как, например, в задачах о волнах малой амплитуды в случайнонеоднородных средах (см. 2, 3), метод инвариантного погружения сводит краевую задачу (9.1), (9.2) к эволюционной, описываемой матричным уравнением Риккати. [c.146]

Уравнения Риккати встречаются во многих задачах, особенно широко они стали использоваться в последние 25 лет в системном анализе и теории управления. Характерные, но ни в коем случае не исчерпывающие примеры применения уравнения Риккати можно найти в обычных классических учебниках по оптимальному управлению (см. работы II—51 и ссылки в них) и фильтрации (см. работы [3, 5—8] и ссылки в них). Одним из лучших учебников по математическим аспектам этой проблемы является работа Рейда [91, в которой наряду с вопросами управления и оценки рассматриваются приложения к дифференциальным уравнениям с частными производными, однородным и неоднородным линиям передачи, диффузионной проблеме Мицельского—Паш-ковского и теории переноса нейтронов. Последняя задача является иллюстрацией той роли, которую играют уравцёния Риккати в методе инвариантного погружения (см. работы [10,111 и ссылки в них). Детали использования этих уравнений в решении двухточечных краевых задач рассматриваются, в частности, в работах Денмана, Бремли и К асти. [c.248]

Книга известных американских математиков Р. Беллмана и Э. Энджела посвящена одной из важнейших задач современной вычислительной математики — созданию устойчивых численных методов решения уравнений в частных производных. Авторы убедительно показывают, что известные методы динамического программирования и инвариантного погружения приводят к эффектным и эффективным методам решения уравнений эллиптического и параболического типов. Удачно подобранные примеры и упражнения увеличивают педагогическую ценность книги. [c.310]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...