Метод обратной итерации

Метод обратных итераций. Пусть нужно найти собственный вектор е, отвечающий собственному значению X, для которого известно достаточно хорошее приближение X. Одним из эффективных методов решения этой задачи является метод обратных итераций. В этом методе приближения к е определяют последовательным решением систем уравнений [c.132]

Одной из проблем применения метода обратных итераций является необходимость получения хорошего начального приближения к собственному значению. Когда матрица А симметричная, эта проблема может быть решена с помощью оценки собственного значения по формуле [c.132]

Хотя и можно получить полное решение отдельной задачи на собственные значения, для больших систем вычисления будут очень дорогостоящими, и поэтому в таких случаях часто выгоднее аппроксимировать решение уравнения (6.23) небольшим числом одних преобладающих компонент. Такие компоненты обычно очень слабо изменяются относительно изменений во времени и соответствуют наименьшим по модулю собственным значениям. Конкретные собственные значения вместе с соответствующими собственными векторами могут быть вычислены методом обратной итерации (Уилкинсон, 1965, стр. 534) значительно дешевле по сравнению с полным решением задачи на собственные значения, и поэтому такой подход обладает определенным преимуществом при условии, что аппроксимация немногими преобладающими компонентами адекватна решаемой задаче. Такая аппроксимация является особенно подходящей, если (I) Л О и необходимо сглаживать осцилляции или (II) А = О и требуется знать стационарное состояние, а не процесс его установления. [c.170]

Численное решение краевой задачи (3.2) получено методом обратных итераций со смещением [20] для первых трех вихревых мод и различных функций ио(п) и / o(/i) в пограничном слое. Аналитическое решение (3.3) использовалось для контроля точности расчетов. Относительная погрешность определения величины не превышала 3%. В расчетах для сжимаемого пограничного слоя величина удельной теплоемкости принималась равной у = 1,4. [c.78]

Теперь уже на первой итерации (по Зейделю) получаем требуемый результат. Если разорвать контур обратной связи в цепи переменной Р, то решение в данном примере будет получено после второй итерации, но это все равно заметно быстрее, чем при использовании метода простой итерации. [c.125]

Это вариант обычного метода Ньютона, в котором производная заменена разностным отношением множитель 2 принят для ускорения. Как только кк станет близким к истинному значению Я, вычислитель может прекратить дальнейшую матричную факторизацию и вернуться к обычной обратной итерации. Мы можем подтвердить, что алгоритм Петерса — Уилкинсона очень успешно применялся в численных экспериментах, изложенных в гл. 8. [c.276]

Эти идеи применимы также к задачам на собственные значения. Методы деления пополам и (блочной) обратной итерации [c.306]

Так как полученное неравенство справедливо для любого /, то La < LqL. Отсюда вытекает, что если взять матрицу С со столь малыми элементами, что L < 1/1а, то L станет меньше единицы, и метод итерации будет сходиться. Следует только отметить, что описанный выше способ приведения системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций, не может быть рекомендован для фактического выполнения этой процедуры, так как отыскание обратной матрицы есть задача более трудоемкая, чем решение системы линейных уравнений. Общих эффективных методов сведения системы уравнений к виду (2.45) с L < 1 не существует, и в этом недостаток метода итераций. [c.92]

Сделаем одно замечание, касающееся численной реализации метода упругих решений. Поскольку необходимо строить решение, соответствующее массовой силе, заданной с помощью значений в дискретных точках, то представляется целесообразным использовать аппарат обобщенных упругих потенциалов (см. 1 гл. III). При таком подходе на поверхности возникают некоторые напряжения, которые необходимо аннулировать (с тем чтобы фактически получить частное решение неоднородного уравнения с нулевыми краевыми условиями), что приводит при построении алгоритма еще к одному этапу — определению этих напряжений и включению их (с обратным знаком) в краевое условие для последующей итерации. [c.673]

Здесь f r hx)— матрица, обратная матрице производных, эле-менты которой. Метод Ньютона всегда сходится, если начальное приближение выбрано достаточно близко к решению. Основное время при вычислениях по формулам (1.84) расходуется на обращение матрицы (х< )). Для сокращения этого времени матрицу вычисленную на ( +1)-й итерации, используют для вычисления не только х< + ), но и нескольких следующих приближений. Можно один раз найти /J (х ) и вычисления по (1.84) проводить при постоянной матрице. При этом скорость сходимости итерационного процесса замедляется, однако общий выигрыш во времени может быть большим. [c.31]

Решение было получено методом итераций. На рису 3-30 приведены профили скорости и температуры для различных значений температурного напора. На рис. 3-31 приведена изменение относительного локального числа Нуссельта от параметра Kj.. Параметр Kj обратно пропорционален параметру вдува [c.220]

Рассмотрим использование метода подстановок в сочетании с электрическим моделированием. Такой подход к решению нелинейных задач теплопроводности дает возможность уменьшить трудоемкость решения, проводимого методом итераций на сетках переменной структуры, ввиду сокраш,ения числа перенастраивающихся в процессе решения элементов сетки и получать решение на моделях постоянной структуры. То обстоятельство, что применение подстановок требует обратного перехода от моделируемой функции к температуре, не является существенным, так как указанный переход легко осуществляется одним из способов, о которых речь будет идти ниже. [c.88]

При тех значениях при которых г < 0, обычные методы интегрирования уравнений параболического типа от слоя к слою в сторону возрастания в рассматриваемых задачах непригодны, так как в области, где г < 0, направление интегрирования должно быть обратным. Для нахождения решения можно использовать метод последовательных приближений, который состоит в следующем. Вначале задаем гг( , 0) на отрезке 0 < < и интегрируем уравнение (1.7) в области I при г >0 от = 0 в сторону роста а в области II — при г < о от = 0 в сторону уменьшения В результате найдем, в частности, Шад( , +0) и Ш ( , —0) на отрезке 0 < < о- После каждой итерации значение гг( , 0) исправляется по формуле [c.95]

Чтобы проиллюстрировать эту ситуацию, рассмотрим для примера систему линейных уравнений, число уравнений которой равно 1960, а полуширина ленты ленточной матрицы составляет 200 для этой системы преобразование вектора нагрузки и обратная подстановка занимают 5.6 % суммарного времени работы процессора (Т2 + з 0-0567). Поскольку при решении типичной задачи метод альтернирования требует выполнения трех итераций (и = 3), дополнительные затраты в этом случае составляют около 16.8%, что значительно меньше 300 %, которые характерны для решения (5.60) на каждой итерации. [c.224]

Поскольку 0(2 )w i 2i)w удовлетворяют дифференциальным уравнениям (7Г.15), ясно, что точное решение этих уравнений должно зависеть от производных функции распределения / всех порядков, т. е. в общем случае (7.4.67) не будет иметь вид уравнения Фоккера-Планка. Отметим, однако, что последние члены в уравнениях (7Г.15) относительно малы, так как они обратно пропорциональны числу активных атомов, которое является макроскопической величиной ). Поэтому, считая, что > 1, можно решать уравнения (7Г.15) методом итераций. В нулевом приближении пренебрегаем последними двумя членами в этих уравнениях. Это приводит к системе алгебраических уравнений, которые легко решаются. Затем полученное решение подставляется в правые части уравнений (7Г.15) и функции g(2)w i 2i)w находятся в первом приближении по параметру N . Ограничиваясь этим приближением, находим [c.153]

Для решения матричного уравнения (21) использовался метод итерации обратной матрицы [4]. Процесс итерации заканчивался, если выполнялось неравенство [c.218]

Определение значения аргумента, соответствующего данному значению функции, находящемуся между двумя табличными значениями, называется обратным интерполированием. Ниже указаны два основных метода для решения задачи обратного интерполирования метод итерации и метод обращения рядов. [c.251]

Обратное интерполирование. Это название дано процессу нахождения численного значения независимой переменной по данному значению функции. Эта проблема является часто весьма трудной, если применяются аналитические методы, но при помощи численных методов она оказывается лишь немного более трудной, чем прямое интерполирование. Формулу можно легко вывести, разрешая любую интерполяционную формулу относительно п и выражая этим п через / , /о и разности. Но если эта формула оборвана на разностях какого-либо порядка, например / го, то легко видеть, что п необходимо определить решением уравнения /-й степени, которое может оказаться очень трудным. Поэтому лучше прибегнуть к помощи метода итерации, частного случая метода последовательных приближений. При использовании этого мощного численного метода формулу преобразуют таким образом, что подстановка в нее приближенного значения результата дает более точное значение, и этот процесс можно повторить сколько угодно раз. [c.131]

Равенства (11.1) и (11.2) суть точные нелинейные интегральные уравнения относительно функций и Мы будем решать их, вычисляя Л1 р) и (к) методом итераций. Этот метод мы будем называть теорией возмущений. Следует, однако, иметь в виду, что фактически это — более тонкая методика, чем стандартная теория возмущений, используемая, например, при вычислении 5-матрицы (см. приложение I). Разложению по степеням константы связи подвергаются при этом отнюдь не сами функции Грина и а знаменатели их, т. е. обратные функции и Это обстоятельство весьма существенно. Из результатов 5 явствует, что возможные изменения энергетического спектра системы, связанные с наличием взаимодействия, отражаются на структуре полюсов 0 и D . Следовательно, разлагая в ряд функции Ос и Ос , мы допускаем лишь известную ошибку в определении спектра в то же время разложение самих функций Грина привело бы к полной потере влияния [c.95]

Параболическое уравнение переноса вихря и эллиптическое уравнение Пуассона естественно рассматривать по отдельности, так как методы их решения, очевидно, различны. Однако сразу следует заметить, что при численном решении задачи гидродинамики фактически существует обратная связь между этими уравнениями. Например, в силу того что эти уравнения решаются циклически, увеличение допустимых временных шагов для уравнения переноса вихря должно быть компенсировано увеличением числа итераций при итерационном решении уравнения Пуассона. Неправильное обращение с граничными условиями в одном уравнении может привести к нарушению сходимости в другом. [c.38]

Для вычисления отдельных собственных векторов трехдиагональной матрицы эффективен метод обратной итерации [106]. Если требуется вычислить все собственные векторы, то наиболее эффективным окажется применение методов LR- и QR-алто-ритмов к трехдиагональной матрице. [c.83]

Авторитетная библиография по алгоритмам решения задач на собственные значения в период до 1970 г. содержится в [21]. Прежде чем описать новый метод, мы хотим рассмотреть очень -широко используемый метод из этого класса — метод обратной итерации, или обратной степени. В своей простейшей форме для задачи на собственные значения вида Лх = %х обратная итера- [c.273]

ЦИЯ заключается в решении линейной системы на каждом шаге Ауп+1—Хп. Тогда приближением к % будет %п+1 — 1 уп+А, а новым приближением к х — нормализованный вектор Хп+1 = == Яп-нУп+г. Они были бы точными, если бы Хп был собственным вектором. Если представить себе, что начальный вектор Хо разлагается по истинным собственным векторам Vj, т. е. Хо = Ъ jV , то в результате п обратных итераций каждая компонента увеличится в (Я ) " раз вектор пропорционален Если Я] значительно меньше других собственных значений, то первая компонента станет преобладающей и Хп будет приближать единичный собственный вектор Уь Сходимость подобна сходимости геометрической прогрессии со знаменателем Я1Д2 ощибка — X имеет порядок (Я1/Я2)". Очевидно, что метод эффективнее, когда это отношение мало. [c.274]

Очень полезный вариант обратной итерации — блочно-степенной метод, предложенный Бауэром и улучшенный Рутисхаузе-ром, Петерсом и Уилкинсоном ). Его идея — одновременно искать несколько собственных значений, рассматривая в итерациях I приближенных собственных векторов. (Очевидно, что они должны спариваться по мере продолжения процесса, иначе получатся I различных приближений к одному и тому же основному колебанию.) Скорость сходимости приближений к Яг равна ЯгАг+1, и можно без труда вычислять кратные собственные значения. [c.275]

Метод РФС является итерационным методом раздельного интегрирования дифференциальных уравнений. Условие однонаправленности моделей снимается благодаря введению фрагментации схем с перекрытием, поясняемой рис. 5.3. Заштрихованный участок соответствует подсхеме, включаемой при раздельном интегрировании и в фрагмент А, и в фрагмент В. Чем шире зона перекрытия, тем точнее учитывается нагрузка для фрагмента А и точнее рассчитываются входные сигналы для фрагмента В. Если в схеме нет меж-фрагментных обратных связей, то достаточно ранжирования фрагментов и выполнения одной итерации пофрагментного [c.246]

Повышение эффективности моделирования логических и функциональных схем. Для повышения эффективности решения уравнений методом Зейделя целесообразно использовать диакоптический подход, в рамках которого итерации выполняются отдельно по фрагментам логической схемы. Введем следующие понятия составной элемент — множество контуров обратной связи, имеющих попарно общие связи фрагмент логической схемы — составной элемент или комбинационная схема, состоящая из взаимосвязанных логических элементов, не вошедших в составные элементы. [c.252]

На каждом шаге нагружения применяется метод итераций. В каждой точке тела определяется величина пластической части деформации, и ее значение является начальным для очередного шага, который состоит в решении задачи линейной упругости, когда исходя из указанного выше начального условия определяется поле приращений упругой части деформации. Приращение полной деформации (сумма начального приращения пластической части и вычисленного прирашения упругой части деформации) подставляется в зависимость, обратную к (22), после чего определяется полное приращение напряжений оц. Новое значение поля приращений пластической части деформации получается из последнего слагаемого уравнения (22) при подстановке в это уравнение вычисленного значения dij. Найденные таким образом приращения пластической части деформации ё. Р.> являются начальными для очередного шага итеративного цикла, который повторяется до достижения заданной, точности. [c.217]

После того как с требуемой точностью будет составлена таблица значений характеристического критерия Z (ф)] в точках (3.59), отыскание положений ф=угловая скорость (й=ш (звена приведения принимает наименьшее и наибольшее значения, может быть осуществлено с помощью обратного интерполирования в сочетании с методом итераций [38]. [c.135]

Итеращюнный параметр Р подбирают экспериментально в процессе расчетов на ЭВМ. При Р = 1 приходим к методу упругих решений. Важно, что в данном варианте метода линеаризации нелинейных алгебраических уравнений (2.76) на каждом этапе итерационного процесса матрица жесткости [А ] остается в исходном виде изменяется лишь столбец узловых сил. Указанная особенность этого метода позволяет при решении системы линейных алгебраических уравнений (2.67) на каждом шаге итерации использовать лишь обратный ход, что позволяет существенно уменьшить объем вычислительных операций на ЭВМ. [c.71]

Метод последовательных приближений, примененный для решения системы интегральных уравнений (3.20), (3.21), есть альтернирующий итерационный процесс, в котором на каждом шаге решается корректная смешанная краевая задача для уравнения Лапласа. В этом процессе, аналогичном альтернирующему итерационному процессу для уравнения Ламэ, рассмотренному выше, в четных итерациях удовлетворяются граничные условия по тепловому потоку на S, но не удовлетворяются температурные условия в нечетных итерациях ситуация обратная. Процесс может быть начат сиедующим образом. Определим на L значение теплового потока из решения смешанной краевой задачи с граничными условиями [c.82]

Обратную матрицу (dF/dX) а-то порядка можно вычислять не на каждой итерации, а делать это только при фиксациях на некоторых границах Д/р О (р S 1, а) либо откреплениях от них, т. е когда меняется структура матрицы. Иногда рассматривают видоизменение метода Ньютона, где матрицу dFldX подсчитывают только в начальной точке Х , тем самым значительно упрощая вычисления. Однако сходимость этого процесса значительно хуже, чем в методе Ньютона. [c.29]

Хотя уравнения (4.81) выглядят гораздо проще, чем исходное уравнение (4.74), они не имеют аналитического решения. Фокс и Ли решили эти уравнения с помощью компьютера для нескольких значений числа Френеля N. Эти авторы использовали метод итераций, основываясь на следующем физическом соображении. Рассмотрим волну, распространяющуюся в прямом и обратном направлениях в резонаторе, и предположим, что в некоторый момент времени распределение поля t/i( i) на зеркале 1 известно. Распределение поля U2H2) на зеркале 2 можно при этом вычислить с помощью (4.81а) по известному распределению поля Ui. Действительно, если в правой части [c.193]

За исходную функцию распре-деления принималось распределение, соответствующее свободномолекулярному течению. Если учитывать неизбел<ные флуктуации, свойственные методу статистических испытаний и убывающие обратно пропорционально корню из числа испытаний, то можно считать, что итерации xt)длт я. Для получения более убедительных результатов необходимо уменьшить статистический разброс. Но для уменьшения флуктуаций на порядок нужно унеличить число розыгрышей на два порядка. Однако для этого нужно увеличить на два порядка время счета. Для сравнения на [c.279]

В этой главе рассматриваются итеративные методы решения обратных задач скалярной теории дифракции примешетельно к синтезу ДОЭ. Результаты, которые получаются с помощью итеративных методов, являются квазиоптимальными, так как они приводят к достижению локального минимума функционала-критерия или целевой функции. И сами итеративные методы получаются в результате решения вариационной задачи на экстремум целевой функции. В качестве такой фзшкции, как правило, используется среднеквадратичное отклонение заданной амплитуды светового поля в некоторой плоскости пространства от рассчитанной. Иногда вместо амплитуд сравниваются интенсивности, а вместо среднеквадратичного критерия выбираются критерии более высокого порядка. Итеративные методы, используемые в этой главе, можно разделить на две группы параметрические и градиентные. В параметрических алгоритмах один или два параметра, от которых зависит скорость сходимости алгоритма, остаются постоянными в течение нескольких итераций. В градиентных алгоритмах (сопряженного градиента или наискорейшего спуска) оптимальное значение шага вычисляется на каж/д,ой итерации. Кроме известных однопараметрических методов расчета ДОЭ, рассматриваются также двухпараметрические алгоритмы, полученные на основе минимизации функционала-критерия с регулярпзующим слагаемым. [c.49]

В дополнение к результатам интерферометрического исследования фазовой структуры применялся численный метод восстановления фазы 48] пучка в фокальной плоскости первой Фурье-лиизы распределение фазы восстанавливалось по результатам измерения распределения интенсивности во входной м выходной плоскостях, соответственно, фурье-линзы Ь2, в ходе 30 итераций процедуры [48]. Схема экспериментальной установки для получения двух распределений приведена на рис. 6.35. После 30 итераций, среднеквадратичное отклонение экспериментально полученного амплитудного распределения от его оценки на последней итерации составляло менее 17%. Восстановленное фазовое распределение во входной плоскости фурье-линзы представлено на рис. 6.42. Фазовый сдвиг между половинками моды составляет около 0,85 Я, что согласуется с результатами интерферометрии и теоретической оценкой тт. Таким образом, устойчивость амплитудно-фазовой структуры гауссовых мод к фурье-нреобразованию позволяет использовать итеративную процедуру 48], основанную на вычислении прямого и обратного преобразований Фурье, для верификации результатов интерферометрического исследования фазовой структуры сформированного модового пучка (см. рис. 6.39, 6.41, 6.42). [c.448]

Улучшение метода Ньютона было предложено Теме-шем и Калаханом [33] применительно к анализу схем, в которых нелинейными компонентами являются транзисторы и диоды. Это улучшение заключается в переходе от экспоненциальных к обратным им логарифмическим нелинейностям в ММС, что повышает вероятность сходимости и устраняет появление в процессе итераций больших чисел, выходящих за пределы разрядной сетки машины. Задача анализа частотных характеристик малосигнальных схем машинными методами подробно рассмотрена в работе [5]. В малосигнальных схемах система дифференциальных уравнений (1.8а) линейна и принимает вид У=АУ-)-Вивх, где V — вектор приращений переменных состояния по отношению к значениям переменных состояния в статическом режиме Ывх — вектор переменных составляющих входных напряжений и токов, А и В — постоянные матрицы. Кроме того, можно выделить вектор ивых приращений тех напряжений и токов, которые рассматриваются как выходные. Очевидно, что Цвых связано с V и Ывх также линейным соотношением [c.104]

Критерий окончания итераций Хт+1—Х У <е Хш+111, где е — машинная точность. Для плохо обусловленных матриц сходимость может быть медленной, в этом случае необходимо оценить число обусловленности g по упрощенным алгоритмам. Если g имеет порядок, обратный машинной точности, то нужно перейти на вычисления с повышенной разрядностью. Во многих случаях эффективно сочетание метода Гаусса и итерационного уточнения. При этом вводится ограничение Опор на абсолютную величину элементов ац, йц,и, 1гк,к- Если значение элемента меньше абсолютного значения Опор, то он заменяется нулем (естественный порог апор —е] ,/], обычно апор=0.01). По методу Гаусса получается приближенное решение, которое затем уточняется по (2.18). [c.39]

Метод Зейделя характеризуется использованием итерационной формулы, отличающейся от (5.6) тем, что вычисляемые на ( 4-1) итерации значения элементов вектора У +1 подставляются в правую часть на той же (й-1-1) итерации для расчета последующих элементов вектора У +1. В большинстве случаев метод Зейделя дает более быструю сходимость, но уравнения в (5.5) должны быть предварительно упорядочены. Упорядочение выполняется с помощью операции ранжирования, его цель — согласовать последовательность вычислений в модели с последовательностью прохождения сигналов в схеме. Эта цель непосредственно достигается в комбинационных схемах. Последовательностные схемы преобразуются в комбинационные после разрыва обратных связей. Ранх<ирование заключается в присвоении рангов всем цепям схемы по следующему правилу (/+1) ранг присваивается выходам элементов, все входы которых проранжированы и наибольший ранг входа равен г, причем ранжирование начинается с присвоения ранга 1 всем входам и псевдовходам, образовавшимся в местах разрыва обратных связей. Вычисления организуются так, чтобы переменные на выходах мень-щих рангов определялись раньше переменных на выходах больших рангов. [c.120]

Плоские и осесимметричные течения. Исследование плоских И осесимметричных течений в соплах представляет собой значительно более сложную задачу, нежели исследование течений в одномерном приближении, поскольку теперь нужно решать систему (6.28) — (6.33) вдоль липии тока несколько раз для обеспечения сходимости итераций. Наиболее полное исследование неравновесного течения многокомпонентной смеси проведено в работе [94], в которой численно решалась обратная задача теории сопла. Исследование пространственных неравновесных течений в рамках обратной задачи теории сопла предпочтительней, так как при этом рассчитывается течение в сопле в целом, и, что особенно важно, в трансзвуковой области, в которой наиболее сильно проявляются неравновесные эффекты. Пример расчета неравновесного течения в сопле послойным методом характеристик приведен в [91]. [c.272]

Такой метод в приложениях, очевидно, эффективнее прямого метода исключения Гаусса. Здесь исходная задача решения системы из (/ — 2)Х(/—2) уравнений с блочно-трехдиагональной матрицей сводится к решению 1 — 2 уравнений ) для определения обратной матрицы С- и при этом дополнительно проделывается работа, эквивалентная I итерациям по методу Ричардсона два обхода расчетных точек для определения г] и г з из уравнения (3.404) и / — 2 обхода для определения е из уравнения (3.405). Поскольку уравнение (3.405), описывающее распространение ошибки, не зависит от неоднородного члена Zi,i и поскольку граничные условия (3.406) для этого уравнения не зависят от граничных значений ф, а только от типа граничных условий, являющихся в данном случае условиями Дирихле, расчет е при помощи уравнений (3.405) и (3.406) и обращение матрицы С необходимо проводить только один раз для целого семейства решений, определяемых на одной и той же сетке и при одном и том же типе граничных условий, но с различными граничными значениями ф и различными Именно так обстоит дело в гидродинамических задачах. [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...