Асимптотическое поведение решения при — 0 и — оо

Если /3 < О, то при 00 = О (и вообще при 1то = 0) оба слагаемых в правой части (2.5) стремятся к нулю при (р со. Поэтому условие ограниченности решения не накладывает каких-либо ограничений на асимптотическое поведение решения, задаваемое равенством (2.5). При любых значениях С1 и С2 величина q стремится к нулю, а гг 1 при (р со. Этим обусловлена неединственность автомодельных решений, так как оставшееся одно граничное условие гг = о при (р = о не может выделить единственного решения. Однако поведение неавтомодельных решений при больших значениях (р и истолкование членов решения как волн с определенным направлением распространения позволяет провести анализ решений неавтомодельной задачи с начальными данными и выделить то автомодельное решение, к которому стремится неавтомодельное решение при сю. [c.625]

Как показано в разд. 1.14 и 1.16, линейные дифференциальные уравнения играют важную роль в анализе устойчивости решений нелинейных уравнений, поэтому и здесь, и далее мы будем рассматривать временную зависимость решений (2.1.5) при больших временах 1. Ясно, что при асимптотическое поведение решения (2.1.5) определяется знаком Не Я). Если Не Я)>0, то д возрастает экспоненциально. Если Не [Х] = О, то д (/) — постоянная. Наконец, если Ке Я <0, то д экспоненциально затухает. Число X называется характеристическим показателем. [c.92]

При Я>-0 асимптотическое поведение ( оо) решения (2.3.14) определяется в основном экспоненциальной функцией, и решение расходится, если только коэффициент р не равен нулю, в нуль же он может обратиться лишь при специально выбранном начальном условии. При Я<0 асимптотическое поведение решения (2.3.14) определяется первым членом, т. е. q ( стремится к постоянной [c.104]

Анализ уравнений (6-122) и (6-126) показывает, что интегралы, входящие в эти уравнения, являются несобственными, так как Р" = 0 при =1, что соответствует внешней границе слоя ( ->оо). Для выяснения поведения функций Р"[Р ) и 5 Р ) при Р следует рассмотреть асимптотическое поведение функций Р -а 3 при больших ь- Согласно второму граничному условию (6-115) искомые асимптотические решения могут быть представлены суммами [c.210]

Для построения точного решения выясним характер поведения функции ш(х,у) при г оо т (х, у) (а,0). При г - оо асимптотическое поведение и)(х,у) такое же, как и в задаче о сосредоточенной силе. Следовательно, учитывая (2.15), имеем [c.257]

Чтобы избежать неопределенности в решении задачи Римана, необходимо использовать асимптотическое поведение функции (р 1) при 1— 0 [х — Ь) и<—> —оо х — а). Нормальные напряжения ст ао + ) исчезают при = О и являются ограниченными при оо. Согласно (26) будем иметь [c.628]

Вопрос об устойчивости линейной системы (7) решается непосредственно на основе изучения характеристических чисел этой системы (а иногда еш,е и структуры элементарных делителей фундаментальной интегральной матрицы решений системы). Но, как видно, и для нелинейной системы вопрос об устойчивости получает полное решение, если все характеристические числа % отрицательные (а система первого приближения правильная или неправильная, но обладает дополнительными свойствами) или если есть хотя бы одно ки > 0. Мы видим, таким образом, что первый метод позволяет не только решать задачу об устойчивости нулевого решения (безусловной или условной), но и получать уравнения интегральных кривых. Вместе с тем, пользуясь этим представлением решений, можно получить различные дополнительные сведения о поведении решений рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Выделяя главную часть этих представлений, можно получить решение с необходимой точностью в виде элементарных функций. При этом мы увидим различное влияние на происходящий процесс параметров, входящих в правую часть рассматриваемых дифференциальных уравнений. Например, если имеет место асимптотическая устойчивость, то можно видеть, как эти параметры влияют на скорость приближения точки ( 1 ( ),. . Хп ( )) к началу координат при - оо. [c.71]

Уравнение переноса вместе с граничными условиями определяет поведение нейтронов в рассматриваемой системе. Таким образом, если при /= О задана плотность нейтронов N (г, Й, Е, 0), ожидаемая плотность для любого момента времени может быть, в принципе, найдена при решении уравнения переноса. Было показано [15], что такое решение существует и единственно, если сечение и источники удовлетворяют некоторым математическим условиям. На практике эти условия всегда выполняются. Критичность системы теперь будет рассмотрена на основании асимптотического 1 оо) поведения решения. [c.32]

Поскольку Р — р/с при р оо, это выражение равно нулю при X > следовательно, второй волновой фронт связан с волнами, распространяющимися со скоростью с . Как и ранее, легко показать, что эти волны экспоненциально затухают и становятся пренебрежимо малыми при /(СаТ]) 1. Метод перевала затем показывает, что вклад интеграла (10.32) мал всюду, за исключением окрестности прямой а = 0. Чтобы исследовать поведение решения вблизи а = О, можно использовать асимптотическое разложение, соответствующее предельному переходу [c.337]

Всякий раз, когда в исследуемом уравнении, описывающем состояние какой-либо динамической системы, присутствует малый числовой параметр > О, возникает задача об асимптотическом (при 0) поведении ее состояния. Наличие малого параметра в правых частях дифференциальных уравнений, в возмущающих воздействиях, при старших производных в левых частях уравнений стимулировало в разное время острый интерес и бурное развитие важных разделов теории теории возмущений и разложения решений в ряд по степеням малого параметра, принципа усреднения, теории сингулярных уравнений и т.д. Разумеется, присутствие малого параметра в уравнениях и необходимость рассмотрения асимптотических задач диктуются, прежде всего, обилием возникающих реальных ситуаций, множеством практических примеров, связанных с наличием малого параметра. [c.387]

Согласно законам возмущений (9) и (10) и учитывая, что при -г -> оо F (т]) — щ —0,648, достаточно было бы потребовать, чтобы Vi(ri) = O(-rj) при 7] со. Однако исследование асимптотического поведения решений (13) (см. следующую статью — Г. Хеммерлина) показывает, что Vi( со)=0 выполняется автоматически. [c.263]

Рассмотрим сначала асимптотическое поведение решения для области 22 при 522 +00. Статическое давление Р22 стремится к предельному значению за областью поворота, равному р5, а скорость на теле П22т 0. Обозначим пока Ар = Р22 = = О (а ), где а <С 1 — некоторый параметр малости. В основной части области 22 П22 0(1), где 1/22 0(1)] изменение скорости Ап22 0(а ) и толщины вытеснения О (а ). Это следует из уравнений Бернулли и неразрывности. Около поверхности [c.90]

Нерегулярные решения. Ввиду того что S-матрица и фазовые сдвиги определяютси поведением ф на больших расстояниях, удобно ввести в рассмотрение другие решения уравнения (12.1), удовлетворяюш,ие определенным граничным условиям на бесконечности. Вообще говоря, эти решения не регулярны в точке г -- 0. Точка г = оо является нерегулярной особой точкой дифференциального уравнения (12,1) и при определении асимптотического поведения решения в окрестности этой точки нужно сохранять член с k . Таким образом, граничное условие в точке г = оо неизбежно должно зависеть от k. Зная решения уравнения (12.1) при f = О, мы приходим к следующему выводу вообще говоря, самое большее, что можно сделать, это потребовать, чтобы ) [c.312]

В этой связи Кэйз (1960а, б) и Дикий (1960а, б) указали независимо друг от друга, что при исследовании устойчивости течений идеальной Жидкости целесообразно вообще отказаться от рассмотрения элементарных волновых решений вида (2.27). Вместо этого следует с самого начала решать задачу с начальным условием ф(д , г, 0) = фо(л , г) для дифференциального уравнения в частных производных (2.26) с нулевой правой частью (т. е. с V = 0 это и есть тот второй подход к задаче об устойчивости течений идеальной жидкости, о котором говорилось на стр. 120). Оказывается, что общее решение этой задачи с начальным условием может быть представлено в виде некоторого интеграла Лапласа, асимптотическое поведение которого при ->оо может быть изучено с помощью обычных методов теории функций комплексного переменного. При этом подынтегральное выражение в соответствующем интеграле Лапласа [c.121]

Напомним, впрочем, что согласно результатам п. 15.3 асимптотическое поведение решения (Л О уравнения (15.35) при i-> o определяется лишь поведением F(k, /о) при й->0, но ие зависит от деталей конкретного вида начальных значений (г, или F (й. f j). Аналогично будет обстоять дело и в случае системы уравнений (14.14), (19.23), (19.10)- и (19.13) поэтому, если интересоваться лишь поведением моментов при i -> со (и рассматривать только идеальную изотропную турбулентность в безграничном пространстве), то достаточно лишь правильно задать характер изменения функции Fiji k, к ) в окрестности точки ft = 0, к = 0. [c.246]

При а = 0 (максвелловские молекулы) уравнение (8.9) решается через вырожденные гипергеометрические функции и находится единственное решение, удовлетворяющее условиям 0(5)->5 при 5 >оо, 0 = О(5 /з) при 5- 0 (выход на изэнтро-пическое решение). В других случаях уравнение (8.9) интегрируется численно [168, 169]. Некоторые результаты для а —О (максвелловские молекулы) и а = (твердые сферы) приведены на рис. 50 и 51. Асимптотическое поведение 0 можно найти, положив [c.425]

Перейдем к преобразованию Лапласа (1 ) на луче х с1 (см. 18). Для определения асимптотики решения при / —> оо достаточно проанализировать поведение -изображений в окрестностях особых точек на мнимой оси 5. (Естественно предположить, что экспоненциально растущие решения отсутствуют и, следовательно, особых точек с положительной вещественной частью нет.) Ниже строится монотонная асимптотика решения, соответствующая особой точке 5 = 0. Вклад особых точек з ф О, которым соответствуют осциллирующие решения, асимптотически несущественен. [c.254]

Асимптотическое решение вблизи плоскости, оси и центра симметрии. Условия симметрии (4.37) (а(0) = О, со(0) = 0) выполняются для задачи о сильном взрыве. В предыдуп й главе было показано, что при = О комбинация параметров п = По п1(у — I) так же, как и в задаче о поршне, определяет различный характер поведения гидродинамических и тепловых величин в окрестности плоскости, оси или центра симметрии s = 0. [c.155]

В дальнейшем Дж. Пирсон (1959) выполнил некоторые расчеты, которые в принципе могли бы послужить для более аккуратного обоснования рассуждений Таунсенда, но неожиданно привели к результатам, поставившим под сомнение весь подход, опирающийся на уравнения (22.59). А именно, Пирсон рассмотрел общее решение задачи с начальными значениями для уравнений (22.59) и исследовал асимптотическое поведение этого решения при ->оо. При этом оказалось, что = 0,0 -> оо при ->оо. т. е. что в рассматриваемом приближении средняя завихренность, несмотря на действие вязкости, неограниченно возрастает со временем (упрощенный вывод последнего результата можно найти у Сафмена (1963)). Отсюда вытекает, что при наличии постоянного линейного поля скорости слабые возмущения. вообще говоря, будут неустойчивыми (т. е. в линейном приближении будут экспоненциально возрастать) и не будут стремиться ни к какому стационарному режиму, определяемому линеаризованными уравнениями. [c.393]

Для частного случая с двумя модами ш = W у.) полное решение дается формулой (11.16). Предположим, далее, что производная IV (х) монотонна и положительна при и > О (это обычно выполняется), и рассмотрим асимптотическое поведение выражения (11.16) для ж>0. Если (х) — нечетная функция, то производная IV (к) — четная функция и уравнение (11.21) имеет два корня . Соответствующие два вклада в (11.22) можно объеди- [c.358]

Известно, что эллиптическая модулярная функция монотонно убывает по х в пределах от О (X = °°) до 1 (X = 0), причем в точке т = О ее производная обращается в нуль [14]. Отсюда следует, что найденная в главном члене асимптотического разложения зависимость 2о(Ре, х) от X при фиксированном Ре также монотонна (см. соотношение (4.7) и фиг. 4, а). Поэтому в главном члене асимптотического разложения второго решения задачи в прямой постановке нет, что согласуется с поведением равновесных конфигураций ледопородного тела (фиг. 3). Однако обращение производной модулярной функции, а следовательно и производной функции нуль именно при значении х = О, от- [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...