Метод Пуанкаре

Редукции к двумерным системам. Бифуркации особых точек с одним нулевым и парой чисто мнимых собственных значений, а также с двумя чисто мнимыми парами достаточно изучать в трехмерном и четырехмерном пространствах соответственно (по теореме сведения). Метод Пуанкаре приводит в этом случае к вспомогательной задаче. Семейство уравнений x—v x, е) превращается в систему [c.27]

Уравнение (F) обычно решается методом Пуанкаре [61], [214]. Рассмотрим решение [c.120]

В заключение отметим, что возможен еще один поддающийся аналитическому описанию вариант, когда j 1, 1, а остальные коэффициенты такие же, как в представленном примере. Изучение этого автоколебательного процесса также выполняется методом Пуанкаре. [c.127]

Основные идеи метода. Случай неавтономной системы, близкой к произвольной нелинейной. Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века [56]. Первостепенную роль при использовании метода Пуанкаре играет теория устойчивости движения и теория периодических решений дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же период А. М. Ляпуновым [35]. [c.51]

При практическом использовании метода Пуанкаре периодическое решение системы (40) разыскивают в виде рядов [c.52]

Об уровне строгости прикладных результатов, получаемых методами Пуанкаре. [c.62]

О работах по развитию метода Пуанкаре и обобщению изложенных результатов. [c.64]

Результаты перечисленных выше н других исследований обобщены И. Г. Малкиным а монографии [38], которая и в настоящее время остается основным руководством по методу Пуанкаре. [c.64]

Большинство методов малого параметра (например, метод Пуанкаре, метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли при решении конкретных задач механики и физики, а затем были развиты и обобщены. Впоследствии многие из этих методов получили математическое обоснование например асимптотические методы нелинейной механики, а также метод усреднения обоснованы в работах Н. М Крылова и И. И. Боголюбова [II, 32]. [c.65]

Нерезонансный случай теперь соответствует колебательным системам с немалыми характерными значениями сил трения —kx и нелинейно-упругих сил —f(x) по сравнению с характерными значениями сил инерции и линейно-упругих сил. Стационарные колебания в, нерезонансном случае обычно изучаются с помощью метода Пуанкаре в сочетании с методом гармонического баланса или гармонической линеаризации, которые применяются для определения порол<дающих решений. Получающиеся решения дают ту л<е картину развития колебании, что и в резонансном случае. Поэтому для изучения нелинейных эффектов практически достаточно проводить анализ резонансного случая. [c.200]

В уравнении (32) переменные разделяются, и его решение Q(0 находится в квадратурах. При периодических колебаниях (которые могут быть определены также методом Пуанкаре) частоту определяют из уравнения [c.205]

Так ii в (38) следует считать функцией Ф, г з, i, определяемой соотношением (37). Периодические решения системы (38) могут быть найдены методом Пуанкаре В первом приближении получаются выражения для законов изменения во времени искомых переменных [c.207]

Если X и V не зависят от t, решение строят по схеме метода Пуанкаре применительно к автономным системам. [c.209]

Как правило, правые части уравнений (2) таковы, что после подстановки вместо и Ир их выражений (1), соответствующих синхронным движениям, эти правые части становятся периодическими функциями безразмерного времени т = at с периодом 2я. В результате основная задача о синхронизации сводится к установлению условий существования и устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих (в наиболее важном случае слабо связанных объектов) малый параметр ц. Это обстоятельство позволяет использовать для решения задач о синхронизации эффективные методы малого параметра, изложенные в гл. II, в частности, методы Пуанкаре и Ляпунова. Дальнейшее изложение существенно опирается на материал п.3 гл. II. [c.218]

И требуется определить периодические электромеханические колебания, имеющие частоту сети. В этом случае может быть использован метод Пуанкаре. [c.342]

Обычно члены Ri, Щ в (6.5.56) малы по сравнению с U и максимальным значением Ф. Это позволяет применить метод Пуанкаре или другие асимптотические методы. Периодические режимы в первом приближении метода Пуанкаре определяются соотношениями [c.392]

Как известно, для случая малого ц периодические решения этого уравнения могут быть найдены по методу Пуанкаре [40]. Ван дер Поль разработал для этого случая метод приближенного исследования процесса установления и определения периодических решений [41]. [c.230]

Интересно сравнить выражение (ПП1.42) с полученными ранее результатами. Для малых х метод Пуанкаре дает для периода стационарных колебаний выражение [c.249]

Эта система автономна и к ней применяется метод Пуанкаре. По-прежнему удобно использование комплексных переменных z = = X -f гу, W = ив которых написанная система принимает вид [c.203]

Проскуряков A.n. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. — М. Наука, [c.417]

Метод Пуанкаре основан на анализе возмущающей функции Hl J, 1р>, Ь) на резонансных решениях (2.4) невозмущенной системы [c.237]

Полностью поляризованный свет (линейно, циркулярно или эллиптически) удобно изображать с помощь.ю сферы, предложенной в конце XIX в. Пуанкаре. Кроме сферы Пуанкаре существует еще несколько методов описания поляризованного света (параметры Стокса, вектор Джонсона, квантовомеханпческое представление), однако мы остановимся на методе Пуанкаре, поскольку он прост, нагляден и позволяет кратчайшим путем решать проблемы, возникающие при использовании различных оптических поляризационных устройств >. [c.35]

Квазилинейные уравнения движения механизмов. Метод малого параметра или метод Пуанкаре применяется для исследования тех уравнений движения механизма, которые содержат малый параметр ц и имеют периодическое решение, когда этот параметр равен нулю. Из этих уравнений наибольшее зна-чение имеют квазилинейные уравнения, в которых нелинейные члены входят умноженными на малый параметр i. Происхождение термина связано с тем, что при (х = О уравнение движения обращается в линейное, решение которого при соблюдении определенных условий близко к решению нелинейного уравнения и может быть уточнено путем введения малых поправок. Линейное уравнение, получаемое при ц — О, называется пороЖ дающим. [c.195]

Здесь в правые части уравнений перенесены те члены, существование которых приводит к отклонению движения системы от режима q = onst нетрудно видеть, что это — члены, явно содержащие q. Учитывая малость динамических ошибок, можно предположить, что на искомом режиме правые части уравнений (4.46) и (4.47) будут оставаться малыми по величине. Это обстоятельство можно было бы подчеркнуть введением в правые части в качестве множителя малого параметра, что позволило бы использовать для определения стационарного решения классический аппарат метода Пуанкаре, или асимптотические методы [11, 47]. [c.78]

Начала широкому использованию метода Пуанкаре было положено в тридцатых годах текущего столетия работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова и А. А. Витта. Несмотря на то, что эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс п-го рода, затягивание и захватывание) носят универсальный характер. Суш,ественное значение, имела также работа Б. В. Булгакова (1942 г.) о колебаниях квазилинейных систем. Значительное развитие метод Пуанкаре получил в исследованиях И. Г Малкина (1944— 1956 гг.), который впервые систематически рассмотрел важный для приложений случай зависимости порождающего решения от произвольного числа параметров ау, обобщив результаты Пуанкаре, изучившего случай зависимости лишь от одного параметра. И. Г. Малкиным получены уравнения типа (50) и (59) для периодических и почтн-периоднческих решеннй квазилинейных и сильно нелинейных систем уравнений как с аналитическими, так и с неаналитическими правыми частями. Кроме того, изучен важный класс нелинейных систем, близких к так называемым системам А. М. Ляпунова решение уравнений (41) в этом случае может представляться рядами по дробным степеням параметра х. В работе Г. А. Мермана (1952 г.) изучен особый случай, когда уравнения типа (50) или (59) удовлетворяются тождественно, так что определитель вида (51) обращается в нуль показано, что в этом случае параметры порождающего решения следует пытаться найти из условий периодичности следующих приближений. [c.64]

Обобщение метода на случай разрывных периодических решений дано М. 3, Ко-ловским [26], а также Ю. И. Неймарком и Л. П. Шильниковым, результаты которых, а также контакты и сочетания метода Пуанкаре с методом точечных отображений (см. п. 5 настоящей главы) рассмотрены в монографии [45]. В цигсле работ Ю. А. Рябова систематически научены вопросы оценок областей сходимости рядов по малому параметру, полученных при использовании метода Пуанкаре [60. [c.64]

Использование метода Пуанкаре и представление решения через коэффициеты влияния возможно во всех тех задачах о взаимодействии, когда уравнения при каком-либо выборе искомых переменных записывают в виде [c.208]

Для исследования неизолированных периодических решений методом Пуанкаре следует знать 2 я/со — периодические решениялинейной системы уравнений вида [c.208]

Теоретическое объяснение эффекта Зоммерфельда на основе решения задачи о взаимодействии методом Пуанкаре было дано И. И. Блехманом [7] (1953). Затем в книге Р. Маэетта [42] (1955) ыли исправлены н дополнены результаты И Рокара. Близкая к обсуждаемым задача о динамике регулятора Буасса —Сарда изучена И. И. Блехманом и Г. Ю. Джанелидзе [8] (1955). [c.211]

Поскольку функция ф входнг в выражение для W под знаком интеграла, то можно ограничиться ее приближенным определением из уравнения (5), например и виде суммы небольшого числа гармоник илн небольшого числа членов ряда по степеням малого параметра. Поэтому изложенный подход естественно сочетается с асимптотическими методами н методами Пуанкаре —Ляпунова (см, п, 3 гл. И), Часто можно считать, что ip мало по сравнению с X (X мало по сравнению с вследствие исходного предположения). Наконец, во многих случаях допустимо учитывать лишь лннеПные члены в разло/Г<енин функции по степеням ф и ф, положив согласно (6) [c.242]

Неуравновешенный ротор на вибрирующем основании. Задача о захватывании вращения неуравновешенного ротора, приводимого от двигателя асинхронного типа, с помощью методов Пуанкаре — Ляпунова была рассмотрена для частного случая в п. 3 гл. И, а для более общего — в п. 5 гл. VHI краткие библиографические сведения приведены в п. 8 гл. VHI. Схема системы и уравнение движения даны в п. 2 таблицы. При решении задачи методом прямого разделения движений к медленным следует отнести движущий момент L (ф). момент сил сопротивления R (ф) и момент силы тяжести mg е os ф, а к быстрым момент сил инерции отесо [Я sin Ш sin ф + + G os b)t+ 0) os ф . Выражение для вибрационного момента, совпадающее с полученным в п. 5 гл. VIII методом Пуанкаре, может быть найдено с помощью вычислений, подобных проведенным выше для маятника в данном случае эти вычисления даже проще вследствие того, что в исходном приближении можно принять ijj (со/) = 0. Соответствующее выражение для W и уравнение медленного движения приведены в п. 2 таблицы. Все результаты анализа, подробно изложенные в п. 5 гл. VHI, получаются из приведенного уравнения, однако оно позволяет изучать также и медленные процессы установления режимов захватывания и вибрационного поддержания вращения неуравновешенного ротора, [c.250]

В технических устройствах отношение гП /т-1 - малая величина малы также перемещения X по сравнению с эксцентриситетом е. Это позволяет применить метод Пуанкаре или другие асимптотические методы теории нелинейных колебаний [2, 15, 17]. Наиболее прост так называемый нерезонансный случай, когда члены ТП2Х и Ьх одного порядка. Практически часто оказывается, что члены (ф), /Г(ф), sin. ф тоже одного порядка. При этом для стационарных движений метод Пуанкаре в первом приближении дает [c.390]

Метод Пуанкаре-Цейпеля [c.304]

МЕТОД ПУАНКАРЕ-ЦЕЙПЕЛЯ 305 [c.305]

В первых трех главах содержится решение проблемы Пуанкаре о несуществовании дополнительного аналитического первого интеграла уравнений вращения тяжелого несимметричного волчка, поставленной в знаменитых Новых методах небесной механики . В четвертой главе рассмотрены динамические эффекты, препятствующие интегрируемости несимметричного волчка рождение бесконечного числа невырожденных долгопериодических решений и расщепление сепаратрис. Впоследствии автор этой книги связал два указанных явления, оба из которых восходят к Пуанкаре. Мы приводим в приложении доклад В. В. Козлова на семинаре в Институте машиноведения РАН, в котором демонстрируется превосходство методов Пуанкаре над стандартными методами теории колебаний при изучении периодических колебаний в системах Дуффинга. В пятой главе приведено решение старой проблемы Пенлеве-Голубева о связи между ветвлением решений уравнений динамики в комплексной плоскости времени и существованием новых однозначных первых интегралов. Эти результаты дали сильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемости уравнений движения. Современное состояние этой теории изложено в недавней книге В. В. Козлова Симметрии, топология и резонансы в гамильто- [c.9]

Эти выводы полезно сравнить с результатами работы [14], в которой при выполнении неравенств (2.9) или (2.10) доказано существование одного периодического решения с частотой (2.8). Метод Пуанкаре позволяет удвоить количество периодических решений и, что даже более важно, сделать заключение об их устойчивости. Любопытно отметить, что в книге Лефшеца [3] (в которой изложена работа [14] в несколько более общем виде) имеется ссылка па классическое сочинение Пуанкаре [9]. Специалистам по теории колебаний следовало бы более внимательно изучать работы Пуанкаре. Это замечание относится и к работам по синхронизации динамических систем (см., например, [15]) сформулированные в этой теории экстремальные свойства синхронных (резонансных) движений часто оказываются следствием результатов Пуанкаре [c.241]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...