Стационарной фазы метод

Метод стационарной фазы. Метод стационарной фазы отличен от метода наибыстрейшего спуска, хотя они и весьма сходны между собой. Метод стационарной фазы менее общий, и его труднее доказать аналитически, но он часто теснее связан с физической задачей. Подлежащий исследованию интеграл удобнее записать в виде [c.692]

Стационарной фазы метод 165 [c.341]

Спиральные волны 498, 578—580 Стационарной фазы метод 357, 365 Стокса волны 19, 453 [c.611]

Поле рассеяния объемных отражателей (сферы, цилиндра) можно рассчитать на основе формулы Кирхгофа (1.71), интегрируя по той части поверхности отражателя, которая одновременно видна из центров излучателя и приемника (освещенная область). Вычислив интеграл методом стационарной фазы, получим [c.109]

Интеграл (14) вычисляется методом, сходным с методом стационарной фазы [4], и выражение для корреляционной функции запишем так [c.92]

Приведенное кинематическое определение групповой скорости тесно связано с методом стационарной фазы Кельвина [102]. Это определение дает для групповой скорости соотношение (5.12) и интересно сточки зрения более глубокого понимания сути широко используемого метода вычисления интегралов. [c.41]

Есть два способа построения геометрической оптики. Первый, наиболее общий, связан с уравнением эйконала [1, 7, 8]. Второй — с вычислением интеграла Френеля — Кирхгофа методом стационарной фазы. Преимущество этого способа состоит в том, что он позволяет рассматривать геометрические и дифракционные эффекты с единой точки зрения (см. приложение 1). Именно таким образом строится дифракционная теория аберраций [7]. В нелинейной оптике первому способу соответствует [c.57]

Наиболее ощутимые результаты, которые могут быть непосредственно применены в лазерной локации, получаются при использовании векторных формул Кирхгофа в предположении, что размеры шероховатостей поверхности имеют радиус кривизны, не превышающий длину волны излучения. Это позволяет, во-первых, устанавливать связь между компонентами падающего и рассеянного поля у поверхности цели с помощью формул Френеля, а, во-вторых, воспользоваться методом стационарной фазы при упрощении интегралов, входящих в формулы Кирхгофа. [c.27]

Характерным признаком методов ППД, основанных на схемах качения и внедрения, является стабильность формы и размеры ОД, а следовательно, и сил обработки в стационарной фазе процесса. Поэтому они относятся к методам статического ППД. [c.481]

Если, напротив, "(у) 0 на интервале (а, р), то к (17) можно применить метод стационарной фазы, который является разновидностью метода перевала (см. Л. и Ш., стр. 472). Мы получим, что в этом случае волны затухают со скоростью порядка (см. [14]). [c.321]

В работе [41] приведены явные выражения для волн Рэлея, полученные с использованием метода стационарной фазы, их энергетические характеристики, а также определены особенности механических и электрических полей у краев электродов и приведено численное исследование указанных величин в зависимости от относительной ширины электродов. [c.598]

Из матрицы (2.8) следует, что при 2 —> О А —> 1 и В 0. Поэтому при 2 0 подынтегральная экспоненциальная функция будет очень быстро осциллировать и, согласно методу стационарной фазы [31] зна- [c.122]

Для трехмерной задачи расчет, требующий двукратного интегрирования методом стационарной фазы, дает для /"(Оо, фо) такую же формулу, только с другим численным множителем. [c.110]

Корни уравнения (16.37) называются точками стационарной фазы. Если таких точек на контуре несколько, то интеграл (16.35) приближенно равен сумме интегралов (16.40), взятых около всех таких точек. Вообще говоря, применение этого метода вычисления интегралов с большим параметром в фазе (так называемого метода стационарной фазы) требует предварительной деформации контура интегрирования, так чтобы он проходил через все точки hs, притом в направлении, в котором ( (/г) меняется быстрее, чем в соседних направлениях. В нашей задаче это имеет место уже для первоначального контура — точка h = hs лежит на вещественной оси, и именно вдоль вещественной оси ф(А) меняется быстрее всего. [c.167]

В волновой зоне kp I, kr z) применением метода стационарной фазы получаем асимптотическое представление поля в виде сферической волны [c.176]

Сначала, в 21, рассматривается лучевая структура полей в средах, свойства которых медленно изменяются в пространстве. Лучевое строение поля рассмотрено двумя способами. Волновые фронты и нормали к ним, т. е. лучи, можно построить, если решить дифференциальное уравнение эйконала. Показано, что лучи, имеющие разную амплитуду и идущие параллельно друг другу, обмениваются энергией. Мы можем также получить лучи, препарируя интегральное представление поля, определяя поле в точке наблюдения методом стационарной фазы. Этот подход позволяет сформулировать условие применимости геометрической оптики. [c.217]

В более общем случае неоднородной среды и двух радиусов кривизны волнового фронта в выбранной на луче точке Гу также существует область вокруг луча, влияющая на формирование поля в точке л. Форма этой области, которая находится двумерным методом стационарной фазы, может быть довольно сложной. [c.228]

С ПОМОЩЬЮ рядов Фурье, причем скорость распространения, соответствующая каждому члену ряда, может быть найдена из кривых фазовых скоростей. Во второй постановке использован метод стационарной фазы Кельвина. В этом методе рассматривается распространение бесконечно короткого импульса бесконечно большой амплитуды. Такой импульс можно выразить через интеграл Фурье и рассматривать как результат суперпозиции синусоидальных волн напряжения, охватывающих спектр длин волн. Все пакеты волн берутся одинаковой амплитуды и считаются находящимися в фазе в начале координат и погашающими друг друга в любом другом месте в момент = 0. Распределение напряжений в любой последующий момент можно тогда исследовать по кривым групповой скорости. [c.74]

Следует отметить, что при расчете интеграла (2.210) при помощи метода стационарной фазы, аппроксимация (2.278) приводит к известным формулам для фазовой функции фокусатора [30, 66, 67 [c.114]

Метод перевала, который в общем случае более точен, чем метод стационарной фазы, состоит в деформации контура интегрирования в комплексной плоскости и последующего вычисления интеграла с помощью асимптотического ряда. Можно показать, что этот ряд в це- [c.251]

Видно, что эта формула получена методом стационарной фазы. [c.341]

МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ [c.342]

Спекловая структура 611, 612 Сравнительные интегралы 342 Средняя кривизна 97, 98 Стабилизация частоты внешним сигналом 559 Стационарной фазы метод 340 [c.655]

Дополнительные замечания о методе стационарной фазы. Метод стационарной фазы позволяет находить простые решения задач об излучении и дифракции звука поверхностями, размеры которых велики по сравнению с длиной звуковой волны. Однако далеко не все задачи подобного типа могут быть решены указанным методом. Для того чтобы этот метод был применим, необходимо, чтобы в области интегрирования фазовая функция изменялась на большое количество, длин волн. Поэтому методом стационарной фазы нельзя, например, вычислить диаграмму направленности излучателя, помещенного в фокусе (или вблизи фокуса) параболического рефлектора. В этом случае сумма расстояний г, + в пределах рефлектора будет постоянной (или слабо меняющейся) величиной. Кроме того, метод нельзя использовать для определения диаграммы остронаправленного излучателя, поскольку в направлении главного максимума диаграммы волны, приходящие в точку наблюдения из различных участков поверхности, будут складываться практически синфазно. Для направлений, далеких от оси главного максимума, волны, приходящие в точку наблюдения, имеют большие фазовые сдвиги. Однако точка стационарной фазы будет находиться вне излучающей поверхности и в приближении, определяемом методом стационарной фазьи в указанном диапазоне углов поле будет равно нулю. Таким образом метод не позволяет находить дифракционную картину добавочных максимумов диаграмм направленности. [c.57]

Рис. 6. Касательное напряжение на поверхности раздела фаз в слоистой среде при воздействии поперечной нагрузки (по Вёлькеру и Ахенбаху [76]). Штрих-пунктирная кривая соответствует теории эффективных модулей сплошная — численному интегрированию штриховая — методу стационарной фазы.

Для Фтах 1 (на рзсстояниях Lф) ширина спектра импульса определяется главным образом ФСМ, амплитуду при этом можно считать медленно меняющейся. Указанное обстоятельство позволяет для расчета (8) воспользоваться методом стационарной фазы. В точке [c.78]

Когда аберрации становятся значительными, опыт и вычисления показывают, что дифракционное пятно постепенно изменяется, приближаясь к пятну, предсказываемому геометрической оптикой (за исключением того, что освещенность никогда не может быть бесконечно большой, даже на каустике). По всей видимости, геометрическое пятно является пределом, к которому дифракционное пятно все более и более приближается по мере роста аберрации. Мы покажем прежде всего, почему теория дифракции приводит к заключениям, весьма близким к выводам геометрической оптики, и используем для доказательства этого метод стационарной фазы, идея которого исходит, по-видимому, от Релея. Этот метод выявляет роль световых лучей, а затем и роль краев диафрагмы, которые з этом приближении могут рассматриваться как причина появления далеких полос. При этом мы будем пользоваться геометрическими представлениями Френеля (т. е. построением амплитуды в комплексной плоскости), исходя из кри-вмх А = onst на зрачке, что позволит намного сократить вычисления. [c.185]

Асимптотическое поведение (4.64) при больших к можно исследовать методом стационарных фаз, распространенным в геометрической оптике. Интеграл 6 (4.64) оценивается на основе разложения функции F в ряд Тейлора с учетом неэкспоненциальной части подьштегрального выражения на множестве [c.116]

Спецкурс Избранные вопросы теории колебаний и волн в распределенных системах знакомит студентов с современными достижениями теории волн применительно к динамике распредепенных упругих систем. В курсе изучаются колебания периодических структур, составленных из различных комбинаций реологических элементов Гука и Юма. Осуществляется предельный переход к распределенным системам. С помощью вариационного метода строятся модели упругих колебаний стерж1 сй и пластин. Рассматриваются кинематические и динамические характеристики волнового процесса, выводятся уравнения переноса энергии и импульса. Методом стационарной фазы из)Д1а-ется асимптотическое поведение волн в линейных средах. Вводится понятие дисперсии фазовой и групповой скоростей. Рассматривается нелинейная эволюция волн Римана, ударных волн и солитонов. Изучаются также волновые процессы в системах с нестационарными и движущими границами. [c.12]

Примёним метод стационарной фазы к нашей задаче, в которой T j(A) дано в (16.36). Точка стационарной фазы согласно (16.37) [c.167]

Положение существенного участка интегрирования на плоскости h определяется координатой ф той точки пространства, для которой производится вычисление поля. С аналогичной ситуацией мы встретились в п. 16.4. Для области (16.22) существенной была, окрестность точки h k. Заметим, что хотя метод этого пункта, согласно (16.336), не применйм при ф = О, но формально (16.41) при ф = О дает ту же точку h = к. Это совпадение не случайно. Если перейти к плоскости комплексной переменной х (вместо А), то поле и в области (16.22) вычислялось бы методом стационарной фазы. Это преобразование мы делать не будем. [c.168]

Формула (16.386) справедлива, если во всей этой области первый отброшенный член hs) h — As) /6 мал по сравнению с сохраненным квадратичным членом. Это приводит к требованию sinфV 1 ( ), эквивалентному (16.336). Условие er l, на котором основан весь метод стационарной фазы, совпадает с (16.33а). [c.168]

Формула получается из (11.156), если граничное условие на поверхности и 5 = 0 О — функццд Грина свободного пространства диР/дМ—нормальная производная падающего поля, взятая на освещенной поверхности тела в отсутствие тела источников в окрестности тела нет (/ 0). Произведенная в (22.1) замена под интегралом истинного тока на поверхности током, полученным в приближении геометрической оптики, называется приближением Кирхгофа. Под интегралом — сравнительно грубое приближение, однако интегралы типа (22.1) дают хорошую точность для полей как в геометрооптической области, где лучевые поля могут быть выделены, если вычислить интеграл с помощью метода стационарной фазы, так и в переходных [c.240]

Подставляя формулу (9.28) в зфавненже (9.27) и вычисляя все интегралы методом стационарной фазы 11, пол чаем выражение для комплексной амшштуды свето- [c.584]

Следует заметить, что в общем случае вектор Пойнтинга (Кг) Е X Н составляет некоторый угол с волновым вектором нормальной моды. Если рассматривать распространение пучка лучей, например гауссова лазерного пучка, то его направление не совпадает с вектором распространения центральной компоненты плоских волн, составляющих пучок. С.М. Рытов показал, что пучок лучей распространяется вдоль направления вектора Пойнтинга, вычисленного для центральной компоненты волнового пакета плоских волн. Этот результат довольно легко получить, если представить поле в виде дифракционного интеграла (см. гл. 4), который можно вычислить с помощью метода стационарной фазы, рассматриваемого в гл. 5. [c.41]

Все асимптотические методы, которые мы обсудим, можно считать модификащ131ми методов Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ) и стационарной фазы (СФ). Первый из них (ВКБ) более применим к дифференциальным уравнениям, а во втором (СФ) рассматриваются интегралы, содержащие быстро осциллирующие функции. В некоторых случаях метод стационарной фазы удобнее заменить методом наибыстрейшего спуска (НС), который позволяет точно учесть локализацию на комплексной плоскости стационарных точек фазового множителя. [c.340]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...