Интеграл движения центра масс

Интеграл движения центра масс системы можно выразить и в другой форме. Именно, при условии (19.10) будем иметь из [c.343]

Подчеркнем отличие уравнений динамики сплошных сред от соответствующих уравнений для систем дискретных материальных точек. Векторы, стоящие слева и справа в уравнении динамики сплошной среды (31), не представляют соответственно произведений массы на ускорение и силы, как это имеет обычно место при непосредственном применении второго закона Ньютона, а выражают плотности распределения этих величин в области движения среды, т. е. величины, отнесенные к единице объема. Умножая обе части уравнения (31) на бт, получим общепринятое уравнение движения центра масс, заключенных в элементарном объеме, а интегрируя после этого по конечному объему т, составим уравнения движения центра масс в объеме т. Особо следует оговорить смысл произведенного при выводе уравнения динамики сплошной среды перехода от поверхностного интеграла к объемному. [c.61]

Определить закон движения центра масс этой системы. Найти интеграл энергии системы. [c.364]

Уравнения движения механических систем, в которые не входят внутренние силы роль этих уравнений в механике. Теорема о количестве движения и следствия из нее теорема импульсов и теорема о движении центра масс си- стемы. Закон сохранения импульса как первый интеграл уравнений движения системы. [c.59]

Здесь — угловая скорость движения центра масс спутника. К этому уравнению присоединим два интеграла (4.1.5) и (4.1.7) уравнений движения. Эти интегралы для ПЛОСКОГО случая запишутся в виде [c.171]

Простейшая вариационная задача для однородной атмосферы. Покажем, что определение оптимального режима для движения центра масс ракеты в однородном поле тяготения н в однородной атмосфере можно свести к простейшей задаче вариационного исчисления, В самом деле, путь Ь, проходимый центром масс ракеты по заданной прямолинейной траектории, будет записываться в виде следующего интеграла [c.160]

Замечание 2. Если рассматривать возмущения задачи Эйлера-Пуансо при условиях Гесса, то оказывается, что пара сепаратрис, исходящих из неустойчивых перманентных вращений, не расщепляется при возмущении [92] (см. рис. 70f, 71 h). При этом интеграл (3.4) и определяет особый тор, заполненный двоякоасимптотическими траекториями, приближающимися к некоторым неустойчивым периодическим решениям, которые при Д О переходят в перманентные вращения вокруг средней оси. Такое описание динамики приведенной системы не противоречит результату Жуковского о квазипериодическом движении центра масс тела (3.9), так как система, описывающая движение центра масс, получается редукцией не по углу прецессии, а по углу собственного вращения вокруг оси, перпендикулярной круговому сечению. [c.244]

Итак, при условии выполнимости третьей аксиомы Ньютона, уравнения поступательно-вращательного движения системы любого конечного числа неизменяемых твердых тел допускают такие же девять интегралов (шесть интегралов движения центра масс и три интеграла площадей), какие имеет и система материальных точек, находящихся под действием сил такого же характера. Мы увидим сейчас, что уравнения (9.8) — [c.413]

Уравнения (5.1.01) имеют 10 известных первых интегралов шесть интегралов движения центра масс системы, три интеграла площадей и интеграл энергии. Этн интегралы получаются из [c.525]

Найти другие интегралы никому не удалось, а Брунс и Пуанкаре доказали, что в задаче п тел кроме интеграла энергии, интегралов площадей и интегралов, определяющих движение центра масс системы, не существует других интегралов, которые выражались бы соотношениями, включающими только алгебраические и интегральные функции координат и скоростей тел, были справедливы для любых тел и удовлетворяли уравнениям движения. [c.134]

Второе уравнение представляет собой проекцию уравнения движения центра масс системы на ось Ох и допускает интеграл [c.215]

Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен /, расстояние от центра масс маятника до оси равно I. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). [c.376]

Интегр]фуя эти уравнения, можно определить хс, Ус и ф как функции времени. Для определения шести постоянных интегрирования используются начальные условия движения координаты центра масс хсо, Усо и угол поворота тела фо в начальный момент 0 = 0, а также проекции начальной скорости центра масс на оси координат Хсо- Усо и начальная угловая скорость тела ((о- [c.233]

Следствие 5.1.2. (Интеграл количества движения). Если сумма проекций всех внешних активных сил на направление е в условии теоремы 5.1.2 тождественно равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на это направ-ление постоянна, а проекция центра масс на это направление либо не движется, либо смещается равномерно. [c.382]

Последний вывод допускает обобщение. Именно, справедливо следующее утверждение. Пусть равен нулю во все время движения. Тогда для существования первого интеграла (13) необходимо и достаточно чтобы проекции скорости центра масс системы и скорости какой-нибудь точки А оси и на плоскость, перпендикулярную этой оси, были во все время движения параллельны. Действительно, пусть е — единичный вектор, направленный вдоль оси и. Умножая обе части равенства (7) скалярно на вектор е и учитывая его постоянство по величине и направлению, получаем [c.162]

Отметим, что в случае абсолютно гладкой плоскости помимо интеграла энергии (38) и указанных выше интегралов, связанных с движением проекции центра масс на опорную плоскость, есть еще интеграл, выражающий постоянство проекции кинетического момента тела на вертикаль [c.233]

Интеграл (31) следует из теоремы об изменении кинетической энергии см. п. 88 левая часть (31) есть кинетическая энергия шара она постоянна, так как работа внешних сил, приложенных к шару, равна нулю). Существование интегралов (32) и (33) следует из теоремы об изменении кинетического момента в ее общей форме (см. формулу (7) п. 87). Действительно, момент внешних сил (силы тяжести и реакции плоскости) относительно точки касания шара и плоскости равен нулю. А так как скорость геометрической точки , которая вычерчивает след шара на плоскости, очевидно, равна скорости центра масс шара, то из теоремы об изменении кинетического момента следует, что кинетический момент Ко шара относительно точки касания остается во все время движения неизменным. Но, воспользовавшись формулой (4) п. 81, легко получить, что [c.323]

Найдём формулу для интеграла действия как функцию начальных условий движения тела при входе в атмосферу. При отделении от орбитального модуля спускаемый аппарат на внеатмосферном участке траектории получает некоторый начальный кинетический момент, определяющий дальнейшее его движение относительно центра масс. Внешними аэродинамическими моментами будем пренебрегать. Вследствие этого движение тела подчиняется законам движения твёрдого тела в случае Эйлера [c.88]

Теорема о моменте импульса относительно неподвижной точки и относительно центра масс системы. Закон сохранения кинетического момента механических систем как первый интеграл их уравнений движения. Принцип затвердевания. [c.68]

Это первый векторный интеграл уравнений движения. Теоремы (2.2.7) и (2.3.2) позволяют исследовать движение свободных механических систем как сложное вместе с центром масс и вокруг него. [c.69]

Обращение интеграла (П 1.3.3) дает решение задачи. Пусть тело закреплено в центре масс, то есть а = 0, В этом случае движение совершенно тождественно плоскому движению спутника на круговой орбите под действием гравитационного момента и, следовательно, описывается формулами, приведенными в 2 главы 2. [c.391]

Для этого зафиксируем значения I] = I2, и заменим /з, rj соответственно на fil , цг (О < /i 1). В силу динамической симметрии координату Г2 центра масс тела можно считать равной нулю. Устремляя /i к нулю, получим в пределе ограниченную задачу о вращении твердого тела (см. п. 5 4 гл. I). Зафиксируем значение интеграла площадей с = (/0 ,7) и сведем уравнения движения к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. [c.271]

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек с массами (/ 1, 2,..., N). Пусть система допускает виртуальное вращение вокруг некоторой оси L — неизменной прямой или прямой неизменного направления, проходящей через центр масс системы. Поскольку центр масс в общем случае находится в движении, связанная с ним прямая неизменного направления также будет перемещаться в пространстве. Если момент внешних сил относительно этой оси равен нулю, то, как известно, имеет место закон сохранения момента количества движения системы относительно этой оси. С. А. Чаплыгин обратил внимание на то, что интеграл движения можно получить и в более общем случае, когда ось движется так, что координаты центра масс г с и координаты Га какой-нибудь точки А этой оси связаны все время соотношениями [c.49]

Рассмотрим движение материальной точки массы т под действием центральной силы, произвольно зависящей только от расстояния между точкой и центром силы. Такая сила потенциальна и стационарна (см. с. 69). Помещая начало системы отсчета в центр силы и используя законы сохранения момента импульса и энергии, получим четыре первых интеграла движения [c.77]

Применяя законы сохранения момента и энергии относительно системы центра масс молекулы, получим.два интеграла движения в полярных координатах в плоскости движения молекулы (см. (3.12)) [c.298]

Материальная точка притягивается к неподвижному центру массы М по закону Ньютона. Показать, что при движении точки имеет место векторный закон сохранения (интеграл Ла-К задаче 8.11 пласа) (г X v) X v+уМг/г = а, где а — постоянный [c.68]

Задача о движении спутника около центра масс обычно рассматривается в ограниченной постановке считается, что движение около центра масс не влияет на орбиту спутника. В ограниченной задаче уравнения движения спутника в гравитационном поле допускают первый интеграл — интеграл типа Якоби, который существует только на круговой орбите и может быть записан в следуюш ем виде (В. В Белецкий, 1959) [c.289]

Полученное равенство можно рассматривать как первый интеграл уравнений Эйлера, справедливый в случае стационарного движения при наличии функции давлений, представляющей потенциал объемного действия поверхностных сил, и потенциала объемных сил. Этот интеграл, выведенный путем скалярного умножения обеих частей уравнений (10) на вектор скорости V, может трактоваться как интеграл живых сил, или интеграл кинетической энергии уравнений движения центра инерции элементарного объема жидкости (интеграл Бернулли). Его не следует отождествлять с законом сохранения полной механической энергии движущейся жидкости, а функцию В трехчлен Бернулли —с отнесенной к единице массы полной механической энергией. [c.116]

Интегралы (4.1.04) указывают на то, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно относительно абсолютной системы координат. Из (4.1.05) следует, что момент количества движения системы постоянен и по величине и по направлению. Интеграл (4.1.06) выражает постоянство полной энергии системы, так как функция (—(У) —потенциальная энергия системы, а левая часть равенства представляет собой кинетическую энергию системы. Более подробно вопрос о существовании первых интегралов изложен в главе 2 части X. [c.290]

Построим для какого-нибудь полюса, например начала О координат, годограф переменного с течением времени вектора К. Если сумма / ( ) внешних активных сил и реакций перпендикулярна оси Ох и, следовательно, справедлив первый из интегралов (31.12), то рассматриваемый годограф будет плоской кривой, и плоскость её будет перпендикулярна оси Ох. Когда сумма векторов R параллельна оси Oz и, следовательно, выполняются два первые равенства (31.12), годограф вектора К будет отрезком прямой, параллельной оси Oz. Наконец, когда и, следовательно, ймеют место все три интеграла (31.12), или, иначе говоря, соблюдается закон сохранения движения центра масс, рассматриваемый годограф вырождается в точку. [c.306]

Кинетические энергии движения центра масс и движения около центра масс неразрывно связаны одним интегралом энергии, так что имеет место перекачка кинетической энергии поступательного движения в энергию вращательного движения и обратно (учитывая, конечно, взаимосвязность и с потенциальной энергией и). Интеграл энергии имеет вид [c.148]

При этом левые части интегралов движения центра масс (7.8 ") суть линейные фуикции указанных неременных, а левые части ннтегралов площадей (7.10)—билинейные функции тех же величин ), или целые однородные функции второй степени. Интеграл живых сил (7.11) является однородно й ф у н к ц и е 11 второй стене н и относительно составляющих скоростей, но относительно координат является функцией иррациональной, так как содержит координаты под знаками квадратных корней. [c.340]

Кроме семи первых интегралов движения для замкнутой системы существуют еще три вторых интеграла. Это интегралы движения центра масс если =0, то из (41.4) после интегрирования следует f[.=at + b — центр масс замкнутой механической сг4стемы движется равномерно и прямолинейно. [c.147]

Шар проскальзывает в точке контакта с опорной плоскостью. Это означает, что в точке контакта с поверхностью скорость шара не равна нулю. Тогда возникает сила трения, которая будет влиять на движение шара. Примем, что в точке контакта приложена сила сухого кулоновского трения скольжения Г,.р = — m5Vш/ vш , где к — коэффициент трения (см. пример 3.4.3). Относительно точки контакта шара с плоскостью будет справедлив, как и в предыдущем случае, векторный интеграл кинетического момента К = а. Умножив обе части этого равенства справа векторно на Гп и приняв во внимание выражение вектора К через угловую скорость и скорость центра масс шара, найдем [c.516]

Пусть в случае движе1 ия твердого тела в двух измерениях скорость центра масс G непосредственно перед приложением импульса будет (и, V), а непосредственно после окончания действия импульса будет и v ). Точно так же, пусть будут <о и ш соответствукпцие угловые скорости тела. Если мы обозначим соответственно через , Г интегралы по времени составляющих по осям х, у внешних сил, а через v интеграл по времени момента этих сил относительно О, то на основании законов количес1ва движения и момента количеств движения мы непосредственно получим уравнения [c.181]

Эти общие соображения С. А. Довбыш применил к известной задаче о вращении несимметричного твердого тела с неподвижной точкой в слабом однородном поле силы тяжести. Малым параметром здесь служит произведение массы тела на расстояние от центра масс до точки подвеса. Факторизацией по группе вращений вокруг вертикали задача сводится к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Фиксируя еще положительное значение постоянной интеграла энергии и применяя метод Уиттекера изоэнергетической редукции, уравнения движения можно привести к гамильтоновым уравнениям с 3/2 степенями свободы и периодическим по новой переменной времени гамильтонианом рассмотренного выше типа (все детали можно найти в книге [83]). В этой задаче диаграмма сепаратрис невозмущенной задачи Эйлера (в несимметричном случае) имеет вид, изображенный на рис. 29 (точки и 2з совпадают, так как фазовым пространством системы является цилиндр, а не плоскость). Особенностью этой задачи является совпадение характеристических чисел для гиперболических положений равновесия и 2. Выделим сепатрисы Г1, Гг и Гз, как показано на рис. 29. [c.290]

В главе 4 качественно исследованы и проинтегрированы два модельных в зианта плоскопараллельного движения тела в сопротивляющейся среде, которые описываются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним. Такие случаи движения предполагают наличие некоторой связи в системе (а именно, в одном случае величина у = V постоянна со временем, в другом — скорость центра масс как вектор постоянна) [186, 187]. Такие системы являются относительно структурно устойчивыми (относительно фубыми) и топологически эквивалентными системе, описывающей закрепленный маятник, помещенный в поток набегающей среды. Указан дополнительный первый интеграл в системе, являющийся трансцендентной (в смысле теории функций комплексного переменного, имеющей существенно особые точки после ее продолжения в комплексную область) функцией фазовых переменных и выражающейся через элементарные функции. Более того, фазовый цилиндр 7 а,О (или К а,оз ) квазискоростей имеет интересную топологическую структуру разбиения на траектории. На цилиндре имеются две области (замыкание которых и есть фазовый цилиндр) с совершенно различным характером траекторий (см. ил. 2). [c.34]

Замечание 3. Интеграл Гесса, как и интеграл Лагранжа, имеются в более сложной системе с пятью степенями свободы [41] — тело, подвешенное на невесомом жестком стержне струне), движется в поле тяжести [153]. Для интегрируемости этой системы даже при наличии указанных интегралов не хватает еще трех инволютивных интегралов. Они неизвестны, а единственный случай интегрируемости связан с полным разделением движений, когда точка закрепления тела на струне совпадает с центром масс. [c.250]

В случае круговой орбиты центра масс (м = onst) уравнения движения допускают интеграл Якоби [c.765]

Задача попадания в Луну. Оценим минимальную скорость, которую следует сообщить КА на круговой орбите ИСЗ высотой 200 км, чтобы он достигнул Луны. Рассмотрим сначала возможность использования в этих целях точки либрации Ь, расположенной на расстоянии 58 ООО км от центра масс Луны по отрезку прямой, который соединяет центры масс Луны и Земли. Для достижения точки Ь КА должен иметь во вращающейся барицентрической системе координат начальную скорость = 10,849 км/с, величина которой определяется с помощью интеграла Якоби, Возникает вопрос можно ли сообщить КА скорость чуть больше У чтобы он достиг на восходящей ветви траектории точки либрации Ь, пролетел с малой скоростью окрестность этой точки, а затем долетел до Луны Численное интегрирование траекторий движения в рамках задачи трех тел показало, что в случае, когда вектор скорости направлен по касательной к круговой орбите ИСЗ (т, е, геоцентрическая скорость максимальна), КА на первом витке возвращается к Земле, не долетев до точки либрации около [c.257]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...