Интеграл центра масс

Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен /, расстояние от центра масс маятника до оси равно I. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). [c.376]

Интегр]фуя эти уравнения, можно определить хс, Ус и ф как функции времени. Для определения шести постоянных интегрирования используются начальные условия движения координаты центра масс хсо, Усо и угол поворота тела фо в начальный момент 0 = 0, а также проекции начальной скорости центра масс на оси координат Хсо- Усо и начальная угловая скорость тела ((о- [c.233]

Следствие 5.1.2. (Интеграл количества движения). Если сумма проекций всех внешних активных сил на направление е в условии теоремы 5.1.2 тождественно равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на это направ-ление постоянна, а проекция центра масс на это направление либо не движется, либо смещается равномерно. [c.382]

Из этого интеграла видно, что центр масс, или любая материальная точка, находящаяся под действием центральной силы, движутся в илоскости, перпендикулярной к постоянному вектору С. [c.74]

Представляя момент инерции шара относительно его центра масс в виде интеграла, получим [c.557]

Интеграл движения центра масс системы можно выразить и в другой форме. Именно, при условии (19.10) будем иметь из [c.343]

В качестве примера подсчитаем момент инерции однородного тонкого стержня длиной I относительно оси 00, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (рис. 44, а). Для этого разделим стержень на элементы масс Ат и затем просуммируем все массы Ат, умноженные на квадрат их расстояния до оси. Очевидно, в данном случае ось проходит через центр масс стержня. Совместим с центром масс начало прямоугольной системы координат так, чтобы ось абсцисс была направлена вдоль стержня. Тогда нахождение момента инерции стержня по (17.6) сводится к вычислению интеграла [c.63]

Последний вывод допускает обобщение. Именно, справедливо следующее утверждение. Пусть равен нулю во все время движения. Тогда для существования первого интеграла (13) необходимо и достаточно чтобы проекции скорости центра масс системы и скорости какой-нибудь точки А оси и на плоскость, перпендикулярную этой оси, были во все время движения параллельны. Действительно, пусть е — единичный вектор, направленный вдоль оси и. Умножая обе части равенства (7) скалярно на вектор е и учитывая его постоянство по величине и направлению, получаем [c.162]

Отметим, что в случае абсолютно гладкой плоскости помимо интеграла энергии (38) и указанных выше интегралов, связанных с движением проекции центра масс на опорную плоскость, есть еще интеграл, выражающий постоянство проекции кинетического момента тела на вертикаль [c.233]

Этот интеграл следует из теоремы об изменении кинетического момента, так как внешние силы, действующие на тело (сила тяжести и реакция плоскости), направлены вертикально и не создают момента относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела. [c.233]

Интеграл (31) следует из теоремы об изменении кинетической энергии см. п. 88 левая часть (31) есть кинетическая энергия шара она постоянна, так как работа внешних сил, приложенных к шару, равна нулю). Существование интегралов (32) и (33) следует из теоремы об изменении кинетического момента в ее общей форме (см. формулу (7) п. 87). Действительно, момент внешних сил (силы тяжести и реакции плоскости) относительно точки касания шара и плоскости равен нулю. А так как скорость геометрической точки , которая вычерчивает след шара на плоскости, очевидно, равна скорости центра масс шара, то из теоремы об изменении кинетического момента следует, что кинетический момент Ко шара относительно точки касания остается во все время движения неизменным. Но, воспользовавшись формулой (4) п. 81, легко получить, что [c.323]

Подчеркнем отличие уравнений динамики сплошных сред от соответствующих уравнений для систем дискретных материальных точек. Векторы, стоящие слева и справа в уравнении динамики сплошной среды (31), не представляют соответственно произведений массы на ускорение и силы, как это имеет обычно место при непосредственном применении второго закона Ньютона, а выражают плотности распределения этих величин в области движения среды, т. е. величины, отнесенные к единице объема. Умножая обе части уравнения (31) на бт, получим общепринятое уравнение движения центра масс, заключенных в элементарном объеме, а интегрируя после этого по конечному объему т, составим уравнения движения центра масс в объеме т. Особо следует оговорить смысл произведенного при выводе уравнения динамики сплошной среды перехода от поверхностного интеграла к объемному. [c.61]

Определить закон движения центра масс этой системы. Найти интеграл энергии системы. [c.364]

Интеграл / и ( йи равен нулю, так как если бы первая трубка рассматривалась отдельно от остальных, то ее центр масс был бы неподвижным. [c.65]

Найдём формулу для интеграла действия как функцию начальных условий движения тела при входе в атмосферу. При отделении от орбитального модуля спускаемый аппарат на внеатмосферном участке траектории получает некоторый начальный кинетический момент, определяющий дальнейшее его движение относительно центра масс. Внешними аэродинамическими моментами будем пренебрегать. Вследствие этого движение тела подчиняется законам движения твёрдого тела в случае Эйлера [c.88]

Уравнения движения механических систем, в которые не входят внутренние силы роль этих уравнений в механике. Теорема о количестве движения и следствия из нее теорема импульсов и теорема о движении центра масс си- стемы. Закон сохранения импульса как первый интеграл уравнений движения системы. [c.59]

Теорема о моменте импульса относительно неподвижной точки и относительно центра масс системы. Закон сохранения кинетического момента механических систем как первый интеграл их уравнений движения. Принцип затвердевания. [c.68]

Это первый векторный интеграл уравнений движения. Теоремы (2.2.7) и (2.3.2) позволяют исследовать движение свободных механических систем как сложное вместе с центром масс и вокруг него. [c.69]

При вычислении интеграла (1.2.8) воспользуемся малостью отношения характерного линейного размера I спутника к расстоянию Н между центрами масс спутника и Земли. Разлагая в (1.2.8) подынтегральную [c.34]

Здесь — угловая скорость движения центра масс спутника. К этому уравнению присоединим два интеграла (4.1.5) и (4.1.7) уравнений движения. Эти интегралы для ПЛОСКОГО случая запишутся в виде [c.171]

Обращение интеграла (П 1.3.3) дает решение задачи. Пусть тело закреплено в центре масс, то есть а = 0, В этом случае движение совершенно тождественно плоскому движению спутника на круговой орбите под действием гравитационного момента и, следовательно, описывается формулами, приведенными в 2 главы 2. [c.391]

Первый интеграл равен /с, второй —массе тела М, а третий— нулю (согласно формуле (7.3) с1т = Мус = 0, так как начало координат совпадает с центром масс). Следовательно, 1= 1с + Мс1 (12.14) [c.278]

Очевидно, что данное неравенство выполнено при любом значении i константы интеграла (26). Таким образом, перманентные вращения шара с наинизшим расположением центра масс всегда устойчивы. [c.439]

Здесь и = Рг/С, Р — вес тела, г — расстояние от центра масс до точки подвеса, С — момент инерции относительно оси динамической симметрии. Эти уравнения имеют четыре независимых интеграла [c.152]

Один интеграл всегда существует — это интеграл энергии. Таким образом, для полной интегрируемости уравнений на h достаточно знать еще один независимый интеграл. Перечислим известные случаи интегрируемости. Как уже отмечалось, задача о тяжелом волчке содержит шесть параметров три собственных значения оператора инерции I, l2,h и три координаты центра масс b 2i 3 относительно его собственных осей. [c.89]

А. В. Борисов численно построил возмущенные сепаратрисы неустойчивых периодических траекторий при тех же значениях моментов инерции и постоянной интеграла энергии. Они изображены на рис. 22 (верхний рисунок соответствует координатам центра масс твердого тела Г], гг, [c.271]

Для этого зафиксируем значения I] = I2, и заменим /з, rj соответственно на fil , цг (О < /i 1). В силу динамической симметрии координату Г2 центра масс тела можно считать равной нулю. Устремляя /i к нулю, получим в пределе ограниченную задачу о вращении твердого тела (см. п. 5 4 гл. I). Зафиксируем значение интеграла площадей с = (/0 ,7) и сведем уравнения движения к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. [c.271]

Шар проскальзывает в точке контакта с опорной плоскостью. Это означает, что в точке контакта с поверхностью скорость шара не равна нулю. Тогда возникает сила трения, которая будет влиять на движение шара. Примем, что в точке контакта приложена сила сухого кулоновского трения скольжения Г,.р = — m5Vш/ vш , где к — коэффициент трения (см. пример 3.4.3). Относительно точки контакта шара с плоскостью будет справедлив, как и в предыдущем случае, векторный интеграл кинетического момента К = а. Умножив обе части этого равенства справа векторно на Гп и приняв во внимание выражение вектора К через угловую скорость и скорость центра масс шара, найдем [c.516]

Otaj thm, что в случае абсолютно гладкой плоскости помимо интеграла энергии (30) и указанных выше интегралов, связанных с движеннел проекции центра масс па опорную плоскость, есть отце интеграл, выражающий постоянство проекции кипетпчоского момента тела па вертикаль [c.195]

П урпЕнст1ия,ч (10) гт (11) п — среднее двпя онпе центра масс тела по орбите, а величины atj выряжаются черед углы ")1)лера 0, ср по формулам (3) п. И1. Из третьего урапиения системы (1(1) следует, что имеет место интеграл [c.390]

Равномерная прецессия заряженного тела, находящегося в магнитном поле, постоянно встречается в атомной физике. Обычно она известна как прецессия Лармора. Следует заметить, что мы не требовали, чтобы рассматриваемое тело было твердым, так как уравнение (1.24) справедливо для тела любой природы, а интеграл (5.75) является кинетическим моментом относительно какой-либо точки произвольной системы, центр масс которой находится в покое. Поэтому вектор кинетического момента любой системы заряженных частиц, находящихся в однородном магнитном поле, будет прецессиррвать согласно формуле (5.78). Единственным существенным требованием здесь является то, что все эти частицы должны иметь одинаковое отнощение заряда к массе ). [c.201]

Пусть в случае движе1 ия твердого тела в двух измерениях скорость центра масс G непосредственно перед приложением импульса будет (и, V), а непосредственно после окончания действия импульса будет и v ). Точно так же, пусть будут <о и ш соответствукпцие угловые скорости тела. Если мы обозначим соответственно через , Г интегралы по времени составляющих по осям х, у внешних сил, а через v интеграл по времени момента этих сил относительно О, то на основании законов количес1ва движения и момента количеств движения мы непосредственно получим уравнения [c.181]

Иной раз приходится рассматривать моменты инерции масс, раслоло-женных по поверхностям или по линиям (ср. 147). Конечно, как и в главе о центре масс, такое расположение масс следует рассматривать как вспомогательное геометрическое построение или принимать, что одно или два измерения объёма, заполненного массами, настолько малы, что мы считаем себя в праве не принимать их в расчёт. Для масс, распределённых по поверхности, тройной интеграл (26.3) заменится двойным [c.254]

Построим для какого-нибудь полюса, например начала О координат, годограф переменного с течением времени вектора К. Если сумма / ( ) внешних активных сил и реакций перпендикулярна оси Ох и, следовательно, справедлив первый из интегралов (31.12), то рассматриваемый годограф будет плоской кривой, и плоскость её будет перпендикулярна оси Ох. Когда сумма векторов R параллельна оси Oz и, следовательно, выполняются два первые равенства (31.12), годограф вектора К будет отрезком прямой, параллельной оси Oz. Наконец, когда и, следовательно, ймеют место все три интеграла (31.12), или, иначе говоря, соблюдается закон сохранения движения центра масс, рассматриваемый годограф вырождается в точку. [c.306]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Кинетические энергии движения центра масс и движения около центра масс неразрывно связаны одним интегралом энергии, так что имеет место перекачка кинетической энергии поступательного движения в энергию вращательного движения и обратно (учитывая, конечно, взаимосвязность и с потенциальной энергией и). Интеграл энергии имеет вид [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...