Интегралы движения центра масс системы

Интегралы движения центра масс системы 1=- . = 1= . [c.328]

Уравнения (5.1.01) имеют 10 известных первых интегралов шесть интегралов движения центра масс системы, три интеграла площадей и интеграл энергии. Этн интегралы получаются из [c.525]

Интегралы движения центра масс системы [c.68]

Итак, при условии выполнимости третьей аксиомы Ньютона, уравнения поступательно-вращательного движения системы любого конечного числа неизменяемых твердых тел допускают такие же девять интегралов (шесть интегралов движения центра масс и три интеграла площадей), какие имеет и система материальных точек, находящихся под действием сил такого же характера. Мы увидим сейчас, что уравнения (9.8) — [c.413]

Легко только понизить порядок системы (7.1) на шесть единиц при помощи интегралов движения центра масс. Действительно, левые части интегралов (7.8" ) линейны, как уже отмечалось, относительно координат и составляющих скоростей точек системы, а это обстоятельство и позволяет без всякого труда выполнить преобразования, связанные с использованием этих интегралов. При этом очевидно, что понижение порядка можно произвести бесчисленным множеством способов, из которых естественно выбрать наиболее простые и удобные. [c.342]

Пусть G — центр масс всей системы и т], — его абсолютные координаты, которые в силу интегралов движения центра масс суть линейные функции времени (см. формулы (7.9 )). [c.346]

Найти другие интегралы никому не удалось, а Брунс и Пуанкаре доказали, что в задаче п тел кроме интеграла энергии, интегралов площадей и интегралов, определяющих движение центра масс системы, не существует других интегралов, которые выражались бы соотношениями, включающими только алгебраические и интегральные функции координат и скоростей тел, были справедливы для любых тел и удовлетворяли уравнениям движения. [c.134]

Используя шесть интегралов, определяющих движение центра масс системы, перенесем начало отсчета, из которого проводятся радиусы-векторы К,, в центр масс. Тогда [c.140]

Два уравнения движения центра масс и уравнение вращения, взятые в одном из указанных выше видов, представляют полную систему дифференциальных уравнений плоского движения твердого тела. При действии потенциальных сил следует использовать соотношение, даваемое теоремой об изменении кинетической энергии и представляющее собой один из первых интегралов указанной системы дифференциальных уравнений. [c.262]

Координаты qk , которые нас интересуют, —это, конечно, три компоненты радиус-вектора центра масс системы, так что компоненты вектора полного импульса системы Р, определяемого согласно (5.328), оказываются интегралами движения. Это можно доказать следующим образом. С одной стороны, мы имеем [c.138]

Циклические интегралы являются некоторым обобщением основных теорем динамики системы (закона о сохранении движения центра масс и теоремы площадей). Рассматривая теорему с движении центра масс, заметим, что она имеет место, когда связи допускают поступательное перемещение всей системы. Пусть среди возможных перемещений системы имеется такое поступательное перемещение вдоль неподвижной оси х. Соответствующую этом> перемещению лагранжеву координату обозначим через Определяя возможные перемещения через независимые координаты Лагранжа, будем иметь [c.352]

Здесь г - ОхС - -(СОз + ОзО ) - - -(а + 1), Т — сила реакции струны, К — кинетический момент тела относительно его центра масс (точки С). Первое уравнение (1) описывает движение центра масс, второе — движение относительно центра масс. Общий анализ уравнений (1) содержится в работе В.В. Румянцева [18], где, в частности, показано, что в системе существуют интегралы энергии и площадей [c.282]

Однако сначала мы используем для понижения порядка системы (9.1) только шесть первых интегралов (9.3), определяющих движение центра масс двух точек Л1о и М] в абсолютных осях. [c.413]

Интегралы (4.1.04) указывают на то, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно относительно абсолютной системы координат. Из (4.1.05) следует, что момент количества движения системы постоянен и по величине и по направлению. Интеграл (4.1.06) выражает постоянство полной энергии системы, так как функция (—(У) —потенциальная энергия системы, а левая часть равенства представляет собой кинетическую энергию системы. Более подробно вопрос о существовании первых интегралов изложен в главе 2 части X. [c.290]

Шесть интегралов (Юг) —(Юз) выражают таким образом тот факт, что для любого решения (8) уравнений (5) движение центра масс в заданной инерциальной системе координат является равномерным и прямолинейным. [c.287]

Полагая число групп равным п, мы получим, написав уравнения движения п центров тяжести, Зл дифференциальных уравнений второго порядка, — по три для каждого центра тяжести. Эти уравнения, интегрирование которых составляет задачу п тел, допускают семь известных первых интегралов, которые мы укажем как приложения общих теорем о движении системы. Современные средства анализа не допускают выполнения интегрирования этих уравнений. Тем не менее в небесной механике оказалось возможным при помощи этих уравнений вычислить с достаточной степенью точности движение центров тяжести небесных тел благодаря тому, что массы всех тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца. Так, масса Юпитера, наибольшая во всей системе, не составляет тысячной доли массы Солнца, Приведя число тел к трем, получим знаменитую задачу трех тел. [c.349]

Первые интегралы уравнений движения тя-ж №о го гироскопа. Пусть неподвижная точка О осн гироскопа совпадает с началом неподвижной системы осей и началом подвижной Охуг, Оси подвижной системы направлены по главным осям эллипсоида инерции, построенного для точ ки О. Центр масс гироскопа пусть лежит на оси Ог в точке С [c.462]

Однородный диск массы М и радиуса К (см. рисунок) может катиться без проскальзывания по горизонтальной прямой. В диске имеется гладкий круговой желоб радиуса г, центр которого совпадает с центром диска и по которому может двигаться шарик массы т. Пренебрегая размерами шарика, составить уравнения Лагранжа системы и найти интегралы движения. [c.121]

Вернемся к уравнениям (1). Прежде всего проинтегрируем приближенные уравнения (1 ), которые определяют кеплеровское движение планеты относительно точки G и Солнца относительно точки Z) затем получим интегралы точных уравнений (1) методом вариации произвольных постоянных. Это есть не что иное, как изучение взаимных возмущений планеты и системы Земля — Луна (в предположении, что обе массы сосредоточены в центре масс D)-, это исследование было выполнено раньше. [c.558]

При помощи известных 10 первых интегралов проблемы трех тел (интеграла живых сил, шести интегралов центра масс и трех интегралов площадей) можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения с 18 до 8. Итак, подходящим выбором координат дифференциальные уравнения движения можно свести к системе с четырьмя степенями свободы позже это понижение порядка мы фактически выполним ). [c.184]

В этом виде интегралы (66), (67) и (68) выражают постоянство моментов количества движения относительно трех координатных осей. С другой стороны, можно подчеркнуть, что эти интегралы имеют место в произвольной системе координат, в которой справедливы ньютоновы законы движения. Читателю предоставляется рассмотреть постоянные с, Со, Сз в системе координат с началом в центре масс, а также сравнить интегралы, относящиеся к этому случаю, с интегралами площадей (19), полученными в проблеме относительного движения. [c.34]

Интегралы центра масс. Пусть три материальные точки тп], (/ = 0, 1, 2) имеют координаты J С в некоторой инерциальной системе координат. Уравнения движения имеют вид [c.219]

Распространение общих теорем на случай непрерывных сплошных тел. — Мы рассматривали до сих пор систему, состоящую из определенного числа п материальных точек. Полученные теоремы можно распространить на сплошные тела, разделяя их на бесконечно малые элементы и рассматривая эти элементы как материальные точки. При этом посредством перехода к пределу мы заменяем суммы, входящие в предыдущие уравнения, определенными интегралами (как это делалось в теории центров тяжести). Таким образом, масса М системы, три проекции количества движения системы и результирующая внешних сил будут выражены определенными интегралами. [c.8]

Формула (19.11) называется интегралом движения центра маса системы если система может перемещаться иостуиательио каи твердое тело по KaKoii-нибудь оси и сумма проекций внешних активных сил на эту ось тождественно равна нулю, то проекция центра масс системы па эту ось движется равномерно. [c.343]

Уравнения (7.18 ) и (7.18") имеют такой же вид, как и уравнения (7.1) и (7.Г) соответственно. Поэтому уравнения относительного движения в барицентрической системе имеют такие же первые интегралы, как и уравнения абсолютного движения. При этом, к тому же, интегралы движения центра масс тождественно удовлетворяются, так как в новой системе координат центр масс совпадает с началом координат О и остается неподг вижным. [c.347]

Кроме семи первых интегралов движения для замкнутой системы существуют еще три вторых интеграла. Это интегралы движения центра масс если =0, то из (41.4) после интегрирования следует f[.=at + b — центр масс замкнутой механической сг4стемы движется равномерно и прямолинейно. [c.147]

Предварительные замечания, В обшем курсе динамики системы изложены так называемые законы динамики, т. е. некоторые об-и1ие теоремы, указывающие, как изменяются скорости частиц системы в зависимости от данных активных сил и от реакций связей. Это были закон изменения количества движения, закон изменения кинетического момента и закон изменения кинетической энеогии. Каждая такая теорема в частном предположении об активных силах и реакциях системы может непосредственно привести к интегралам уравнений движения к закону сохранения количества движения (или сохранения движения центра масс), к закону сохранения кинетического момента, к закону сохранения энергии. Но зато, вообще говоря, ни один из названных законов не в состоянии заменить собой всей совокупности уравнений движения системы. Другими словчми, движение системы в общем случае не может быть, вполне охарактеризовано одним каким-либо из упомянутых законов. [c.347]

Кинетическая энергия Т при движении системы остается постоянной, так как сила трения в точке опоры шара о плоскость работы не совершает и высота центра масс системы не изменяется. Отсюда, так как со = onst, приходим к интегралу [c.69]

Порядок системы уравнений. Порядок системы уравнений (23) есть 6п —6 вместо 6л, как это было в случае абсолютного движения. В абсолютном движении было найдено десять интегралов, при помощи которых порядок системы может быть понижен до 6я—10. Шесть из этих интегралов относились к движению центра массы, три —к секто-риальным скоростям и один —к энергии системы. [c.244]

Первые общие теоремы касаются движения центра массы н были даны Ньютоном в Началах . Десять интегралов н теоремы, к которым онн приводят, были известны Эйлеру. Следующим общим резуль ятом было доказательство существования и рассмотрение свойств неизменной плоскости Лапласом в 1784 г. В зимнем семестре 1842 4i г. Якоби прочел курс лекций по дишмнке в Кенигсбергском университете. В этом курсе он привел результаты некоторых очень важных исследований интегрирования диференциальных уравнений механики. Во всех случаях, когда силы завися г от одних координат и когда существует потенциальная функция (условия, выполненные в задаче я тел), он доказал, что если все интегралы, кроме двух, найдены, то последние два могут быть всегда найдены. Он также показал, развивая некоторые исследования В. Гамильтона, что задача может быть приведена к решению диференциального уравнения с частными производными, порядок которого в два ряза меньше порядка первоначальной системы. Лекции Якоби опубликованы в дополнительном томе к собранию его сочинени.1. Они очень важны сами по себе, а также абсолютно необходимы как вступление к чтению составивших эпоху мемуаров Пуанкаре и должны быть доступны для каждого изучающего небесную механику. [c.246]

Рис. 25. Классическая задача двух тел. Рассматривается система из двух материальных точек, притягивающихся по закону обратных квадратов силы притяжения равны (по модулю) и направлены от точки к точке выполняется третий закон Ньютона. Система замкнута и, более того, галилеево инвариантна. Использование интегралов движения позволяет описать орбиты точек относительно центра масс или относительно друг друга (в системах координат с невра-щающимися осями) точки движутся по коническим сечениям

В 2.4 мы убедились в том, что для систем, потенциал которых зависит только от относительного расстояния между частицами, импульс, соответствующий /.оорди-цатам центра масс, является интегралом движения. Соот-Еетствующими обобщенными импульсами Рг будут, таким образом, три компоненты полного импульса системы. Чтобы показать это, мы замечаем, что для систем такого рода лагранжиан н[1вариантен относительно любого поступательного перемещения (трансляции), т. е. инвариантен относительно всех преобразований вида [c.63]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Замечание 3. Интеграл Гесса, как и интеграл Лагранжа, имеются в более сложной системе с пятью степенями свободы [41] — тело, подвешенное на невесомом жестком стержне струне), движется в поле тяжести [153]. Для интегрируемости этой системы даже при наличии указанных интегралов не хватает еще трех инволютивных интегралов. Они неизвестны, а единственный случай интегрируемости связан с полным разделением движений, когда точка закрепления тела на струне совпадает с центром масс. [c.250]

Данная работа не претендует на то, чтобы полностью исчерпать этот обширный предмет, так как это представляет собой задачу, которая может потребовать многих лет трудов многих ученых, но имеет своей задачей только развить самую мысль и наметить путь для других. Поэтому, хотя этот метод может быть использован в самых разнообразных динамических исследованиях, в настоящей работе он применяется только к орбитам и возмущениям системы с любыми законами притяжения или отталкивания и с одной преобладающей массой или центром преобладающей энергии и притом в данном исследовании лищь настолько, насколько это представляется нужным, чтобы сделать понятным самый принцип. Следует отметить, что этот динамический принцип представляет собой лишь другую форму той же идеи, которая уже была применена в оптике в Теории систем лучей , и что намерение приложить ее к движениям системы тел было выражено при опубликовании этой теории ). При этом не только сама идея, но также и способ вычисления, примененный к наукам оптики и динамики, по-видимому, не ограничивается этими двумя науками, но может найти и другие применения при этом характерное для него специфическое сочетание принципов вариаций с принципом частных производных для определения и использования важного класса интегралов может при дальнейшем развитии этого метода будущими трудами математиков вырасти в отдельную отрасль анализа. [c.177]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...