Неустойчивость перманентных вращений

Мы предполагаем здесь исследовать на основе критериев, установленных в 4 гл. IV, устойчивость или неустойчивость перманентных вращений, которые, как мы видели в предыдущем параграфе, возможны для всякого твердого тела, закрепленного в одной из своих точек О, относительно которой результирующий момент внешних активных сил постоянно равен нулю заметим также, что все, что мы скажем в этом случае, можно будет непосредственно повторить и в применении к перманентным вращениям относительно осей, проходящих через центр тяжести свободного твердого тела, находящегося под действием внешних сил, результирующий момент которых относительно центра тяжести постоянно равен нулю. [c.94]

Неустойчивость перманентных вращений около осей, не совпадающих с осью гироскопа, и регулярных прецессий тяжелого гироскопа. Мы уже отметили (п. 37), что регулярных прецессий, которые возможны для тяжелого гироскопа, содержат в виде частных случаев (при [А — С] os Ь > О и [а = 0) перманентные вращения <вокруг вертикали), которые получаются, если мы расположим вертикально в надлежащую сторону каждую из оо прямых тела, проходящих через точку О и не совпадающих с гироскопической осью (и не экваториальных). [c.144]

Используя теорему П. Г. Четаева, доказать неустойчивость перманентного вращения твердого тела в случае Эйлера около средней оси эллипсоида инерции [Л < В < С). [c.285]

Рис. 5. Фазовый портрет задачи Эйлера. Устойчивые неподвижные точки и прямые Ь = О соответствуют устойчивым перманентным вращениям относительно большой и малой осей, неустойчивые точки — вращениям вокруг средней оси инерции, сепаратрисы образуются двоякоасимптотическими траекториями, связывающими неустойчивые перманентные вращения.

Замечание 2. Если рассматривать возмущения задачи Эйлера-Пуансо при условиях Гесса, то оказывается, что пара сепаратрис, исходящих из неустойчивых перманентных вращений, не расщепляется при возмущении [92] (см. рис. 70f, 71 h). При этом интеграл (3.4) и определяет особый тор, заполненный двоякоасимптотическими траекториями, приближающимися к некоторым неустойчивым периодическим решениям, которые при Д О переходят в перманентные вращения вокруг средней оси. Такое описание динамики приведенной системы не противоречит результату Жуковского о квазипериодическом движении центра масс тела (3.9), так как система, описывающая движение центра масс, получается редукцией не по углу прецессии, а по углу собственного вращения вокруг оси, перпендикулярной круговому сечению. [c.244]

В гл. V было показано, что коэффициенты А, В и С представляют собой моменты инерции относительно осей т], соответственно. Отсюда сразу следует, что при движении тела с неподвижной точкой перманентное вращение вокруг тех главных осей, относительно которых момент инерции наименьший и наибольший, будет устойчивым. Применяя теорему Четаева о неустойчивости, можно показать, что перманентное вращение вокруг третьей оси (момент инерции относительно которой — средний по величине) неустойчиво. [c.235]

Можно было бы показать, что перманентное вращение относительно средней оси эллипсоида инерции неустойчиво, но для этого следовало бы воспользоваться критерием неустойчивости Четаева ). [c.211]

Покажем теперь, что вращения Oj, а , т. е. перманентные вращения вокруг наибольшей оси х и наименьшей оси z эллипсоида инерции, будут устойчивыми, а перманентные вращения вокруг средней оси у, т е. вращения Од, будут неустойчивыми. [c.94]

Неустойчивое перманентное ВРАЩЕНИЕ. Перейдем теперь к ис- [c.96]

Таким образом, мы заключаем, что перманентные вращения вокруг средней оси эллипсоида инерции, соответствующие решению Од, неустойчивы (фиг. 15). [c.97]

Остается, следовательно, гироскопический случай, характеризуемый равенством А = В (С может быть, безразлично, больше или меньше общего значения величин А и В). В этом предположении возможны, как мы видели, перманентные вращения (с постоянной произвольной угловой скоростью) вокруг бесконечного множества осей гироскопической оси г и всех экваториальных осей. Мы покажем здесь, что устойчивыми будут перманентные вращения вокруг гироскопической оси, и неустойчивыми — все остальные. [c.97]

Это вполне ясно показывает неустойчивость всякого перманентного вращения вокруг экваториальной оси [ ]. [c.98]

Указанные только что перманентные вращения обладают одним замечательным свойством в то время как для угловых скоростей, недостаточно больших (т. е. для значений X, меньших некоторого критического значения X ), эти движения неустойчивы, они становятся устойчивыми по отношению к р, q, г, S-, как только угловая скорость достигнет критического значения X, и в особенности, когда она превзойдет это значение (т. е. при Х >Х ). В этом и заключается явление, известное под названием гироскопической стабилизации. Заметим теперь же, что особенно отчетливо оно осуществляется в движении волчка. Волчок, опирающийся на пол концом оси, направленной вертикально вверх, неустойчив в состоянии покоя и остается неустойчивым, если ему сообщить небольшую угловую скорость около оси симметрии. Достаточно, однако, сообщить волчку значительную угловую скорость, для того чтобы он, несмотря на неизбежные возмущения, происходящие, например, от колебаний воздуха и пола, держался долгое время прямо при этом всякому, кто смотрит на него издали, он будет казаться неподвижным (спящий волчок). [c.141]

Таким образом неустойчивость регулярных прецессий гироскопа по отношению к параметрам р, q и, следовательно, перманентных вращений, составляющих их частный случай, доказана для осей, не совпадающих с осью гироскопа. [c.146]

Для определения характера экстремума W при = нужно вычислить вторую производную Wi анализ которой показывает, что функция W не имеет минимума лишь при o i = 0, u = v, и <4АР и, следовательно, лишь это стационарное движение неустойчиво. Все остальные стационарные движения, и прецессии и перманентные вращения, устойчивы. [c.67]

Если 7з = +1, то центр масс шара занимает наинизшее положение. Соответствующие перманентные вращения будут устойчивы (неустойчивы) при выполнении условия [c.439]

Устойчивость перманентного вращения около оси Ог дока-зывается аналогичным приемом. Полученные теоретически результаты об устойчивости перманентных вращений около главных осей Ох и Ог и неустойчивости около оси Оу легко проверить экспериментально . [c.456]

Рис. 14. Полодии (аз < аг < ах). В общем случае представляют собой пространственные алгебраические кривые четвертого порядка. В двух особых случаях они представляют собой пересекающиеся эллипсы — сепаратрисы, которые заполнены двоякоасимптотическими движениями к неустойчивым перманентным движениям вокруг средней оси эллипсоида инерции, соответствующих точкам пересечения эллипсов. Полодии вырождаются в точки для перманентных вращений вокруг малой и большой оси эллипсоида инерции, которые являются устойчивыми.

Случай Эйлера. В 2 гл. 2 было показано, что неустойчивыми периодическими решениями являются перманентные вращения тела вокруг средней оси эллипсоида инерции. Приведем здесь двоякоасимптотические решения для полной системы (переменные М, а, /3,7). Для упрощения выражений и исключения лишних параметров выберем специальную систему координат в неподвижном пространстве, для которой ось 0Z направлена вдоль вектора кинетического момента (который сохраняется в абсолютном пространстве, см. рис. 81). В этом случае в системе главных осей тела имеем [c.321]

Условия существования алгебраических интегралов уравнений Кирхгофа изучал Р. Лиувилль, который опубликовал в докладах Парижской Академии наук некоторые необходимые условия [245] (кстати, как и в гамильтониане (12.3) при Ъij 7 О, г 7 ), пообещав в последующих работах привести соответствующие интегралы степени более второй. Однако этих публикаций не последовало. В недавних исследованиях алгебраической интегрируемости заранее предполагалось, что все матрицы А, В, С являются диагональными [155]. В работах [98, 27] относительно аналогичной интегрируемости уравнений Кирхгофа предполагается, что матрица А определяется матрицей инерции I реального твердого тела А = 1 , а все моменты инерции являются различными. Только в этом случае существуют неустойчивые периодические решения (перманентные вращения) и сепаратрисы к ним, играющие ключевую роль в соответствующих доказательствах. [c.347]

Приведенные рисунки иллюстрируют аналогию между движением трех вихрей и динамикой твердого тела. Сравнивая рис. 3 а (в случае равных интенсивностей) с фазовым портретом задачи Эйлера—Пуансо (см., например, [12]), можно связать коллинеарные конфигурации (лежащие на прямой L = 0) с неустойчивыми перманентными движениями твердого тела вокруг средней оси эллипсоида инерции, томсоновские решения (при которых L/G = 1) — с вращениями вокруг большой (малой) оси эллипсоида инерции. Особые точки системы, которые соответствуют периодическим решениям задачи двух вихрей (два из трех вихрей всегда слиты в одной точке, а их интенсивности складываются), лежащие на прямой L = О, можно связать с устойчивыми перманентными вращениями вокруг малой (большой) оси эллипсоида инерции. При прохождении системой коллинеарного положения (три [c.51]

Устойчивость здесь понимается в самом сильном возможном смысле, как устойчивость по Раусу вместе с G-устойчивостью. Это означает, что после достаточно малого возмущения начальных данных вихревой многоугольник остается почти правильным, с почти тем же центром симметрии и почти того же размера вечно. Такое возможно, несмотря на то, что перманентное вращение неустойчиво по Ляпунову относительно угловой переменной. [c.271]

В 4, излагая исследование Пуансо, мы установили, что перманентные вращения тела вокруг большой и малой осей эллипсоида инерции устойчивы в том смысле, что при малой погрешности в начальных условиях —при малом отклонении оси вращения от оси эллипсоида —мы получим движение, мало отличающееся от перманентного вращения. Перманентное вращение вокруг средней оси неустойчиво. Здесь невозмущенным движением является перманентное вращение, а возмущенным — то движение, которое возникнет в результате малой ошибки в начальный момент времени. [c.428]

Если движение тела началось так, что вертикальная линия проходит через слившиеся точки Н3 и Н , то она в течение всего времени движения будет сохранять в теле неизменное место и, следовательно, явится перманентной осью вращения. Это вращение будет устойчивым по отношению к весьма малому изменению постоянных i я к, так как всякое изменение обращает рассматриваемую нами отдельную точку сферической кривой в некоторый весьма малый замкнутый контур. Что касается случая, в котором вертикальная линия проходит в начальный момент через слившиеся точки Н2 VI Нз, то он соответствует тоже вращению около перманентной оси (что будет выяснено ниже) только это вращение неустойчиво, так как малое изменение г и Л заставляет сферическую кривую разложиться на две конечные ветви, и вертикальная линия начинает свое движение в теле по той или другой полости конуса, соответствующего этим ветвям. [c.109]

Покажем, что перманентное враш,ение вокруг средней оси эллипсоида инерции неустойчиво. Для определенности предположим, что вращение происходит с угловой скоростью > 0. В е-окрестности (е = с ) в качестве используемой в теоремах 5.2 — 5.4 области М рассмотрим [c.27]

Второйкласспростейшихдвижений. Этот класс, как и первый, содержит только особо замечательные движения, iaK как тут 65 — 61 и (65 > Si >61) всегда, следовательно, s. = e = e, = 2P <при. условии 3 ,- - = 2Р). Функция Sa выражается и здесь через эллиптические функции времени, и все движения устойчивы в том же смысле, как и движения класса Делонэ, с полной устойчивостью только для одного из перманентных вращений (и с полной неустойчивостью для другого). Так как тут в силу равенства (17 ) будем иметь [c.91]

Должно заметить, что во всех движениях различных гругш центр тяжести будет соответственно находиться вне некоторого конуса с вертикальной осью. Также будет наблюдаться известная изохронность движений в смысле зависимости периода только от Переходный случай ( 2- - =1) соответствует асшштотизму к перманентному вращению (р=—X, у=—1, дг = г=у ==у"=( около вертикали с центром тяжести над горизонтом. Подобное перманентное вращение (неустойчивое) служит, таким образом, пределом для движений нескольких форм. Для движений переходных к 1-му классу ( = 0) число вертикальных положений оси г уменьшится вдвое, так как они попарно сливаются. Для прецессии тут тоже можно установить ее равномерность во всех случаях. [c.98]

Линия пересечения конуса вертикальной линии со сферой будет иметь кратную точку в Н1 и точку возврата в точке, представляющей слияние точек Н2, Н . Движение твердого тела, при котором конус вертикальной линии имеет указанный вид, было исследовано Б. К. Млодзеевским, который показал, что в рассматриваемом случае все элементы, характеризующие движение тела, выражаются алгебраическими рациональными функциями времени. Положение вертикали, проходящей через точку возврата, соответствует перманентной оси вращения. Вращение это относительно изменения постоянных 1 и Н будет, вообще говоря, неустойчиво. Анализ Млодзеевского показывает, что при движении по рассматриваемому конусу вертикальной линии вертикаль ОН приближается к положению перманентной оси, но достигает этого положения только по прошествии бесконечно большого времени. Такое же обстоятельство имеет место для случая слияния точек Н2 и Н4. [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...