Интегралы Значения

Заменим, как н прежде, тройной интеграл в (79) произведением трех интегралов. Значения двух из них уже известны (см. (68а) я (68в)), а третий легко определяется по аналогии с (686) [c.158]

Для максвелловских молекул интегралы (4.13) можно выразить через интегралы, значения которых нам уже известны. Действительно, функции Q могут быть выражены через полиномы Эрмита. В обозначениях 3.3 имеем, например. [c.294]

Подстановка найденных для четырех интегралов значений в формулу (444) дает [c.243]

Воспользуемся теперь малостью передачи импульса я (точнее, малостью существенных в интегралах значений я по сравнению с р и р ). Разлагая написанную разность по степеням я. получим, с точностью до членов первого порядка, [c.209]

В самом деле, в этом рассуждении мы разбивали данную поверхность постоянной энергии на две части, причем принадлежность точки к той или другой из этих частей определялась тем значением, которое в этой точке получает некоторый интеграл р. Но теперь у нас речь идет только о таких разбиениях, которые мы выше назвали нормальными вместе с данной точкой к той или другой части должны принадлежать и все физически эквивалентные ей точки, т. е. все точки, изображающие то же самое механическое состояние системы. Если нормальный интеграл, т. е. принимает во всех таких точках одинаковое значение, то наше прежнее рассуждение остается в силе но если интеграл (р не обладает нормальностью, то при определении множеств М1 и М2, мы уже не можем начинать с произвольного разбиения совокупности всех принимаемых интегралом (/ значений на две части если мы хотим, чтобы разбиение (М1, М2) поверхности было нормальным, то мы, очевидно, должны, разбивая на две части совокупность значений интеграла р, озаботиться тем, чтобы значения, принимаемые этим интегралом в двух физически эквивалентных точках, всегда были относимы к одной и той же части. Это требование (дальше мы увидим это на примере), может оказаться несовместимым с требованием, чтобы Мг и М2 были инвариантными множествами положительной меры. Наше прежнее рассуждение в этом случае теряет силу, и возможность метрической неразложимости в расширенном смысле остается открытой. [c.41]

Аналогичные выражения получаются для ава и вязкости удлинения т)е. Очевидно, что интегралы в уравнении (6-3.13) суш,ествуют лишь в том случае, если аргументы экспоненциальных функций отрицательны. Это определяет предел возможных значений величины 7 по отношению к величине наибольшего времени релаксации 1. Например, для течения удлинения, определяемого уравнением (5-3.12), находим [c.219]

Следует заметить, что интегралы в уравнениях (6-3.41) и (6-3.42) всегда существуют, поскольку s — конечная величина. Этот результат можно сравнить с результатом, даваемым уравнением (6-3.13), из которого следует, что могут с ществовать неограниченные значения стационарного растягивающего напряжения. [c.226]

В тех случаях, когда данные по теплоемкости как функции температуры представлены в форме таблиц или графика и неизвестны эмпирические постоянные уравнений для теплоемкости, как в уравнении (1-58), интегралы уравнений (10-8) и (10-10) можно вычислить графически и полученные значения АНт и AS°T подставить непосредственно в уравнение (10-6) для AFt Этот метод проще и короче, чем определение постоянных уравнений для теплоемкостей и использование затем аналитических выражений. [c.296]

Подставляя найденные значения интегралов в уравнение (6-22), получаем уравнение (6-23). [c.78]

Заметим, что наличие соударений между дисперсными частицами может привести к нарушению Я.1.44) и к необходимости учета средних величин пли интегралов по объему dV Si несмотря на его относительную малость, за счет появления из-за ударов очень больших значений (например, за счет очень боль- [c.101]

Будем считать, что физические параметры фаз, такие как скорости v i, напряжения внутренние энергии U и т. д., хотя и меняются в пределах ячейки достаточно сильно, но их флуктуации не превышают многократно соответствующие средние значения, и для них не реализуются условия (3.1.10). Тогда для средних значений физических параметров вкладом соответствующих интегралов по объему dV s, который приходится на ячейки, пересекаемые граничной поверхностью dS, можно пренебречь, т. е. можно принять [c.103]

Поскольку главный вклад в эти интегралы дают значения переменной т вблизи нижнего предела интегрирования т,=0, можно найти приближенные аналитические выражения для К, Ь, М и в виде [c.331]

Определение вероятности процента деталей в партии, имеющих погрешности, значения которых лежат в каком-либо заданном интервале. Ветви теоретической кривой нормального распределения (см. рис. 4.3, б) уходят в бесконечность, асимптотически приближаясь к оси абсцисс. Площадь, ограниченная кривой нормального распределения и осью абсцисс, равна вероятности того, что случайная величина (например, погрешность размера) лежит в интервале от —оо до - -оо. Эта вероятность как вероятность достоверного события, равная 1 (или 100 %), определяется интегралом [c.91]

Так как подынтегральная функция четная и кривая симметрична относительно максимальной ординаты, интеграл (4.9) заменяем интегралом с нижним пределом, равным нулю, и верхним пределом, принимающим ряд последовательных значений. Выразим случайную величину х в долях ее 0, т. е. примем х/а = z, х = гв, dx = = adz. Тогда получим интеграл [c.91]

Для рассматриваемого примера х = 5,5 мкм, г = х оо — = 5,5/6 0,91. Пользуясь таблицей значений интегралов функций Ф (г) (см. приложение), находим Ф (г) == 0,3186. Вероятность получения натягов в соединении 0,5 + 0,3186 = 0,8186, или 81,86 %. Вероятность получения зазоров (незаштрихованная площадь под кривой распределения) 1 —0,8186 = 0,1814, или 18,14 %. Вероятные натяг —5,5 — За = —23,5 мкм и зазор —5,5 + Зст = +12,5 мкм практически являются предельными. Этот расчет приближенный, так как в нем не учтены возможности смещения центра группирования относительно середины поля допуска вследствие систематических погрешностей. При высоких требованиях к точности центрирования, а также при больших (особенно ударных) нагрузках и вибрациях назначают посадки с большим средним натягом, т. е. Н/п, Н/т. Чем чаще требуется разборка (сборка) узла и чем она сложнее и опаснее в смысле повреждения других деталей соединения (особенно подшипников качения), тем меньше должен быть натяг в соединении, т. е. следует назначать переходные посадки Н/к, H/j . [c.221]

Произвольная функция от гамильтоновых переменных — времени, координат и обобщенных импульсов — называется первым интегралом уравнений движения, если во время любого движения значение этой функции не меняется, [c.266]

Если бы мы располагали полной системой первых интегралов, то задача интегрирования дифференциальных уравнений полностью была бы заменена задачей обращения этих интегралов. Поэтому в тех случаях, когда заданная система этих интегралов не является полной, т. е. когда т< 2п, центральной является задача об увеличении числа первых интегралов. На первый взгляд эта задача кажется несложной. Действительно, если взять произвольную функцию т переменных и подставить вместо этих переменных известные нам т первых интегралов, то в результате получится новая функция гамильтоновых переменных, которая также будет сохранять неизменное значение во время движения [c.267]

Соотношение (2) является первым интегралом дифференциального уравнения движения (1). Для определения постоянной интегрирования С] подставим в уравнение (2) начальное условие движения (при О x — vf), откуда следует, что i = t o- Полученное значение i подставляем в уравнение (2) [c.32]

При интегрировании дифференциальных уравнений иногда целесообразно определять значения произвольных постоянных по мере их появления. В некоторых случаях удобно при интегрировании дис()фе-ренциальных уравнений пользоваться определенными интегралами. [c.297]

Гармонический осциллятор, рассмотренный выше, представляет собою пример автономной консервативной системы второго порядка. Как мы видели, такая система обладает интегралом движения (обычно интегралом сохранения энергии). Фиксируя значение произвольной постоянной в интеграле движения, мы получаем динамическую систему с одномерным фазовым пространством, которое может представлять замкнутую или незамкнутую кривую, состоящую из одной или нескольких фазовых траекторий. Придавая произвольной постоянной различные значения, получим множество одномерных фазовых пространств, которые в совокупности образуют фазовое пространство консервативной системы второго порядка. В конечном итоге двумерное фазовое пространство этой системы оказывается разбитым на фазовые траектории. Замкнутая фазовая траектория соответствует, как известно, периодическому движению в системе. [c.29]

Наоборот, определив каким-либо путем шесть независимых между собой первых интегралов, мы можем получить из них общее решение уравнений движения в виде (8). Отыскание первых интегралов имеет еще то важное значение, что для решения ряда конкретных задач механики оказывается достаточным найти только некоторые из этих интегралов (иногда даже один), что существенно упрощает процесс решения. [c.324]

Уравнение траектории маятника можно найти, исключив t из уравнений ф = ф( ) и 0 = 0( ), даваемых интегралами (77), (79). Можно также, заменив в (79) dt его значением из равенства (76), получить непосредственно уравнение [c.429]

Эти коэффициенты в общем виде не вычисляются. Весьма просто их можно вычислить при подстановке в интегралы значений Lra, I (х) (т, / = 1, 2,.. ., и). Значения коэффициентов а уО и Л 1т/, . ., jVim/i вычисленных для m = 1, 2, 3 и /=1,2, 3, приведены в табл. И. [c.195]

Подставим под интегралы значение скоростей из (94), получии [c.49]

XXIII, получаем для искомых интегралов значения, помещенные в пятом и шестом столбцах таблицы. Соответствующие приближенные значения распора приведены в седьмом столбце таблицы. Полученные результаты отличаются от данных таблицы XIII четвертыми десятичными знаками. Для того чтобы получить более точную величину распора, примем во внимание влияние нормальной и поперечной сил. При помощи формулы Симпсона, введя в нее числа восьмого столбца, вычислим второй член числителя формулы (122). Эти величины, помноженные на EF, приведены в десятом столбце. Десятый столбец содержит значения Н , вычисленные для /i=0,lp. Они отличаются от точных величин, помещенных в таблице XIII, менее чем на 0,001. Таким образом, метод, предложенный для построения линий влияния распора, дает совершенно удовлетворительные результаты. [c.537]

Эти коэффициенты в общем виде не вычисляются. Весьма просто их можно вычислить при подстановке в интегралы значений Lm,j x) m, /=1, 2,...,п). Значения коэффициентов OmiO и iVi, j,..., Nirnj, вычисленных для m=l, 2, 3 и /=1, 2, 3, при-ведены в табл. 4.1. [c.180]

Идея метода заключается в том, что фотоны, излученные в одном объеме среды, из-за смещения линии вследствие градиента скоро-сти перестают взаимодействовать с атомами, расположенными в других объемах, удаляюыщхся или приближающихся к объему излучения. Процесс переноса излучения становится локальным. На основании такого соображения в равенстве (61) можно вынести из-под интегралов значение функции источников в точке т (от частоты при ППЧ она не зависит). Тогда выражение для средней интенсивности можно представить в вщ1е [c.248]

ГТодспвляя значения двух последних интегралов в формулу (15.28в), получаем [c.149]

Уравнение (4-3.24) применимо, если предыстория G находится на очень малом расстоянии от предыстории покоя. Это справедливо на практике, если по крайней мере в не очень отдаленном прошлом модуль величины G был мал для любого значения s. Действительно, правая часть уравнения (4-3.24) является просто первым членом разложения в ряд интегралов, причем первый отброшенный член имеет второй порядок по модулю G (см. уравнение (4-3.25)). Следовательно, оценку О для периодических течений, используемых в реометрии, необходимо производить лишь с точностью до членов первого порядка по ее модулю, поскольку вклад в напряжение членов более высокого порядка не превышает вклада членов, обусловленных отброшенным интегралом. [c.173]

Интегрирование нельзя выполнить в явном виде, поскольку а, Р и с — неизвестные функции s. Однако считаем, что второй член в интеграле представляет собой убывающую функцию параметра к, в то время как первый — возрастающую функцию, которая доминирует при достаточно больших значениях к. Если ограничиться только полимерными расплавами или растворами, которые, вообще говоря, ведут себя как псевдопластики, то придем к выводу, что [c.248]

Подставляя эти значения носгоятчых в выражения для первых интегралов, имеем [c.507]

Большинство выходных параметров V проектируемых объектов являются функционалами зависимостей У( ), например, определенными интегралами, экстремальными значениями, моментами пересечения заданных уровней фазовых переменных. Решение системы (2.4) и расчет ыяходпы.к Ш1раме -ров-фупк1итоиалов составляют содержание процедуры анализа переходных процеееов. [c.51]

Проинтегрируем это уравнение, беря от обеих его частей после разделения переменных соответствукяцие определенные интегралы. При этом нижним пределом каждого из интегралов будет значение переменного интегрирования в начальный момент, а верхним — значение того же переменного в произвольный момент времени. [c.195]

Полученные интс ралы в элементарных функциях не берутся. Они носят название эллиптических интегралов первого рода. Для них "существуют таблицы, Е которых задаются значения интегралов в функции верхнего предела ф и модуля инте1 рала т ). [c.419]

Примечания 1. Определенные интегралы с переменными верхними и ннжиими пределами, соответствующими начальным значениям переменных [нгтегрнровапня, могли быть использованы и при решенни предыдущих примеров. Применение нх освобождает от определения постоянных интегрирования по начальным условиям. Наоборот, при решении последнего примера можно было бы применять неопределенные интегралы, определяя постоянные интегрирования по начальным условиям. [c.26]

Таким образом, при аппроксимации элемента x(t) и трапецией (4.59) и прямоугольником (4.60) значение интеграла (4.61) получается одинаковым. Однако выражения полных интегралов для случая постоянства аргументов всех элементов = onst) получаются разными [68] [c.108]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...