Интеграл действия

Доказательство. Для того чтобы найти приращение интеграла действия, когда меняются не только краевые значения координат, но и моменты времени tQ и 1, разобьем дифференциалы (iqo и dq на два слагаемых следующим образом (рис. 9.4.1) [c.642]

Подобно тому как статические задачи теории упругости допускают вариационную формулировку, решение динамической задачи может быть сведено к отысканию стационарного значения интеграла действия [c.432]

При составлении интеграла действия мы считали, что к телу не приложены внешние силы, объемные или поверхностные, которые совершают работу на каком-либо из кинематически допустимых полей перемещений и. [c.432]

Часто термином импульс обозначают интеграл действующей силы по времени, а равную ему величину mv — mvo называют изменением количества движения. Прим. ред.) [c.30]

К пункту 1. Лейбниц рассматривал в качестве элементарного действия произведение 2Т dt. Мы также будем ниже терминами интеграл действия или функция действия обозначать величину [c.272]

Если бы мы были вправе рассматривать величины Sqk и Spk как независимые вариации, то непосредственно получили бы уравнения Гамильтона (41.4), приравняв нулю порознь множители при Sqk и Spk-Это, однако, недопустимо хотя qk и pk и входят в Н как независимые переменные, но при вычислении интеграла действия они связаны между собой временной зависимостью, точно так же, как и в равенстве (41.6), вследствие чего мы и должны были проделать интегрирование по частям. Однако если мы возьмем частную производную по р от выражения (41.1) (при фиксированных ), то убедимся, что выражение во вторых фигурных скобках формулы (41.7) тождественно обращается в нуль отсюда мы вполне строго заключаем, что и выражение в первых фигурных скобках формулы (41.7) должно быть равно нулю. [c.291]

Уравнение (43.5) показывает, что мы будем рассматривать интеграл действия S как функцию начального положения qo конечного положения q и энергии W, а следовательно, вместо времени t будем пользоваться в качестве переменной произвольно задаваемой энергией W [c.302]

Интеграл действия 272 Интегралы эллиптические 120, 121, 133, 265 [c.364]

Необходимые н достаточные условия стационарности интеграла действия (5.1.11) имеют вид (см. гл. II) [c.141]

Мы закончили таким образом исключение переменной t и получили интеграл действия для приведенной системы. Время t не входит в интеграл Л, и, кроме того, А не зависит также от параметра т. Однако ds не есть полный дифференциал, и было бы совершенно неверно считать, что 1/2(Е— V) — это подинтегральное выражение в Л, а соответствует дифференциалу независимой переменной. Чтобы избежать этого недоразумения, мы и поставили черту над ds. В качестве аргумента нужно выбрать какой-либо параметр т. В частности, в качестве такого параметра можно взять одно из qi, например <7 , считая все остальные qi функциями qn- Это сразу сведет вариационную задачу от п к п — 1 степеням свободы. [c.162]

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия , указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [c.163]

В качестве действия Эйлер и Лагранж использовали тот же самый интеграл, который является основой принципа Якоби — разница заключалась только в параметре т. Более того, Эйлер и Лагранж использовали соотношение (5.6.15) в качестве дополнительного условия, что эквивалентно исключению Г из этого выражения. Как известно, дополнительные условия можно учитывать либо путем исключения переменных, либо при помощи метода неопределенных множителей, Первый способ соответствует методу Якоби, а второй — методу Лагранжа. При этом второй способ приводит к появлению новой формы интеграла действия [c.164]

Поскольку новая вариационная задача является свободной, без каких бы то ни было дополнительных условий, нет причин, препятствующих использованию t в качестве аргумента. В результате получаем интеграл действия [c.165]

Посмотрим, как варьирование р,- влияет на вариацию интеграла действия. Варьирование выражения (6.4.1) по Pi дает [c.197]

А При условии, что pi не являются независимыми переменными, а суть некоторые заданные функции qi и <7,. Вариации pi, таким образом, определялись вариациями Однако, поскольку вариации pi не влияют на вариацию интеграла действия, можно расширить формулировку первоначального вариационного принципа и утверждать, что интеграл действия принимает стационарное значение даже и при произвольных вариациях pi, когда Pi рассматриваются как вторая система независимых переменных. [c.198]

Поэтому нет необходимости что-либо менять в форме записи функции Лагранжа (6.4.1). Можно образовать интеграл действия 2 [c.198]

Это замечательное упрощение получено за счет простоты формы нового интеграла действия (6.4.3), который мы будем [c.198]

Так как — постоянная величина, в функции Гамильтона ее можно заменить на С . Более того, кинетическая часть интеграла действия принимает вид [c.215]

Полученное выражение представляет собой граничный член, который не изменяется при варьировании и потому может быть опущен. Следовательно, интеграл действия сводится к [c.215]

Задача I. Пусть дан интеграл действия из принципа Якоби A=j /2 d.. [c.219]

Следовательно, мы построим тем самым главную функцию Гамильтона. Варьируя интеграл действия при произвольных граничных значениях, получаем соотношения [c.261]

Пока вернемся к обычной форме уравнений динамики, заменив в первой форме интеграла действия величину ds на ссИ У —/5 . [c.655]

Таким образом, этот вектор тождествен количеству движения, и интеграл действия Мопертюи представляется в простой форме, предложенной самим Мопертюи, с той только разницей, что масса изменяется теперь с изменением скорости по закону Лоренца. [c.656]

Теперь уже нет тождества между вектором р и количеством движения из этого следует, что выражение для интеграла действия становится более сложным. [c.656]

В одном из них функция действия 5 задается на всем интервале движения и вариации координат при I = и I = 12 должны обращаться в нуль, что эквивалентно заданию начальных и конечных условий. В другом методе, связанном с теорией Гамильтона—Якоби, функция 5 выражается неопределенным интегралом, т. е. как бы обрывается на некотором моменте времени в этом случае задаются только начальные условия, некоторым образом фиксирующие нижний предел интеграла действия. [c.867]

Решение. Составим интеграл действия по Гамильтону, используя те же координатные функции, что и Б предыдущих примерах, [c.247]

Во втором приближении Оц принимаем согласно (17.346), а производные от VI и V2 согласно (17.347)2 и (17.348). Интеграл действия по Гамильтону при этом приобретает вид ( I [c.248]

Действие (интеграл действия) по Гамильтону 36, 38, 245, 247, 248 Декремент колебаний логарифмический 100, 101, 133 [c.476]

Прежде всего мы определим интеграл действия уравнением [c.144]

Это не что иное, как канонические уравнения (6.3.5), пред-ставляюш,ие собой единую систему из 2п дифференциальных уравнений, полученных из интеграла действия (6.4.3). Мы больше не нуждаемся ни в первоначальной функции Лагранжа, ни в преобразовании Лежандра, при помощи которого была получена функция Н. У нас есть теперь новый вариационный принцип, эквивалентный первоначальному, но имеющий перед ним некоторое преимущество вследствие более простой структуры получающихся дифференциальных уравнений — они уже не второго, а первого порядка. В уравнениях все производные выделены, а не скрыты какими-либо алгебраическими операциями. [c.198]

Мы приходим, таким образом, к выводу, что для получения релятивистски инвариантного интеграла действия кинетическую часть интеграла [c.357]

Основываясь на этом результате, Серре ) в нескольких мемуарах, напечатанных в 1871—1879 гг., решил вопрос о минимуме интеграла действия в общем виде, доказав, что вариация второго порядка интеграла действия для действительного движения положительна и минимум этого интеграла имеет место при некоторых ограничениях, наложенных на пределы интегрирования. [c.833]

Ф. А. Слудский получил уравнение движения для системы материальных точек, рассматривая полную вариацию интеграла действия. Вычисление условного экстремума интеграла действия Слудский сводит к вычислению безусловного экстремума по способу неопределенных множителей Лагранжа, причем неопределенный множитель А определяет по способу Родригеса с помощью уравнений, относящихся к пределам интеграла. [c.834]

Вряд ли все эти аксиомы можно считать всеобщими аксиомами познания , но для классической механики они безусловно имеют смысл. Это значит, что вариационные принципы механики заключают в себе — в своем содержании и математической форме — указанные аксиомы . Изучение любой области или процессов мира, в которых пространство окажется анизотропным или в которых существует квантованная (элементарная) длина и т. п., потребует изменения — обобщения вариационных принципов. Обобщение принципа причинности также приводит к дальнейшему обобщению принципа действия. Таким образом, исключается какая-либо возможность телеологической точки зрения. Впрочем, телеология должна быть отброшена уже потому, что принципы действия являются не минимальными, а вариационными принципами. Они утверждают только, что вариация интеграла равна нулю в том случае, когда зависимые переменные получают малое изменение, подчиненное некоторым граничным условиям, или, более строго, эта вариация есть величина бесконечно малая второго порядка. Когда выполняются условия минимума, вариационное условие также выполняется, но обратное не имеет места. Действительный минимул интеграла действия получается в том случае, когда взят достаточно короткий участок пути. [c.872]

Хотя интеграл А вида (83.1), (83.3) или (83.4) принято называть одним словом действие (ср. Уиттекер [28], стр. 277 Г олдстейн [7], стр. 253, 254), кажется целесообразным иметь какое-то прилагательное, чтобы отличать этот интеграл от лагранжева или гамильтонова действия 64, 68. Обычно с интегралом А в частности в форме (83.4) или в форме гп v ds для одной частицы) связывают имя Мопертюи. Будем употреблять этот термин, хотя, может быть, исторически справедливо было бы назвать этот интеграл действием Эйлера ср. Dugas, цит. соч., 1, стр. 250-264. [c.275]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...