Точка существенно особая

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

С = fg Д имеются три особые точки одна — устойчивый узел, вторая — седло и третья (х = О, = 0) — существенно особая точка. [c.142]

С практической точки зрения особый интерес имеет достижение высокопрочных состояний в наноматериалах, которые удается получить, например, в метастабильных сплавах. Приведенные выше результаты показывают, что ИПД закаленных алюминиевых сплавов также приводит к формированию наноструктуры, но процессы старения в наноструктурных сплавах имеют ряд отличий от крупнокристаллических образцов [347]. В частности, в наноструктурном сплаве 1420 наблюдается формирование наиболее высокопрочного состояния, а также происходит ускорение процессов старения. Другой особенностью наноструктур в алюминиевых сплавах является образование новых метастабильных фаз. Например, в несмешиваемом сплаве А1-11 %Fe, подвергнутом ИПД, выявлено растворение 0,89 ат. % Fe в алюминиевой матрице, что приводит к существенному повышению прочностных свойств сплава в результате выделения дисперсных фаз при последующем старении. [c.202]

Теорема VI. Точка а тогда и только тогда является существенно особой для функции F (р), если разложение этой функции в ряд Лорана в окрестности точки с содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями [в (6.52) я— оо]. [c.178]

Изолированные особые точки однозначной функции делятся на полюсы и существенно особые точки. Точка а называется полюсом, если ряд Лорана имеет конечное число членов, отличных от нуля, с отрицательными показателями. Наибольший отрицательный показатель называется порядком полюса. Полюс первого порядка называется простым. [c.186]

Точка а называется существенно особой точкой, если Ига /(г) не суще- [c.199]

Функция /(z) имеет точку а существенно особой точкой одновременно [c.199]

Итак, изолированная особая точка будет устранимой, полюсом или существенно особой точкой, смотря по тому, будет ли в окрестности такой точки данная функция ограниченной, бесконечно большой или неопределенной. [c.199]

Часть ряда (4.24), содержащая отрицательные степени г—Zo, называется главной частью ряда Лорана. Если главная часть ряда Лорана содержит конечное число, а именно т слагаемых, то особая точка называется полюсом порядка т. В противном случае изолированная особая точка Zq называется существенно особой точкой. [c.108]

Однако решение проблемы выращивания монокристаллов больших диаметров за счет последовательного увеличения массы исходной загрузки и размеров используемых кварцевых тиглей на каждом новом этапе увеличения диаметра слитка становится все менее экономически эффективным, т. к. связано с существенным увеличением энергозатрат, удорожанием тиглей и повышением расходов на обеспечение безопасных условий труда. С этой точки зрения особого внимания заслуживает метод вытягивания расплава с непрерывной подпиткой гранулированным или измельченным поликристаллическим кремнием. Основным преимуществом этого метода является возможность выращивать кристаллы большой массы из относительно небольшой и постоянной по объему ванны расплава в тиглях меньшего размера. Есть и другие принципиальные преимущества обеспечение повышения однородности распределения примесей по длине и в поперечном сечении выращиваемого кристалла решается проблема поддерживания постоянной формы фронта кристаллизации и неизменных тепловых условий у границы раздела кристалл -расплав на протяжении практически всего процесса. В настоящее время этот метод доведен до уровня промышленного использования. [c.40]

Обратимся теперь к существенно особым точкам, т.е. тем точкам мно жества решений системы (В.2.1), где [c.21]

Для численной реализации продолжения решения в существенно особой точке анализ уравнений (2.2.30), (2.2.32) для высших производных представляется неудобным. Здесь можно пойти по пути численного установления количества и характера решений ветвей в окрестности особой точки [c.76]

Система (2) при у = кГ имеет существенно особую точку [106]. Если к близко к единице, особая точка оказывается вблизи крайней точки / = 1, что сказывается на поведении кривых на рис. 8.2, Особенно ясно это проявляется на рис. 8.2 в, г, ибо при дифференцировании амплитуда осцилляций возрастает. [c.180]

Ввиду наличия существенно особой точки 5 = —s , вычисление интеграла 8а в общем случае затруднительно. [c.114]

Сначала мы завершим доказательство теоремы 1 гл. III, показав, что функция W Т) не может иметь существенно особой точки. В этом доказательстве предполагается только 1) область течения R локально однолистна, 2) R локально односвязна и 3) комплексная скорость (г) ограничена и аналитична в R. Таким образом, здесь не требуется, чтобы течение было простым в целом (см. гл. III, п. 2 и примечание в конце п. 3 гл. IV). Простой точкой течения, удовлетворяющего условиям 1) —3), мы будем называть регулярную точку или изолированную особенность. Напомним (см. гл. III, п. 3), что любая точка простого течения является одновременно простой точкой. [c.84]

Получим также, что точка х = ос не является существенно особой для [c.199]

Кроме перечисленных классов однозначных функций, имеющих изолированные особые точки — полюсы и существенно особые, в приложениях столь же часто встречаются многозначные функции, которые имеют специфические неизолированные особенности, так называемые точки ветвления. При обходе по некоторому контуру вокруг такой точки функция приобретает значение, отличное от исходного. [c.536]

В этом разложении особую роль играет коэффициент при (2 —й) т. е. а 1- Этот коэффициент называется вычетом функции [ (2) в рассматриваемой особой точке Ь (в полюсе или в существенно особой точке). Покажем, что интеграл по некоторому контуру, окружающему точку Ь, может быть выражен через вычет функции в этой точке. Для этого проинтегрируем формулу (1) по какому-либо небольшому замкнутому [c.538]

Аналогично рассматривается и более общий случай, когда функция /(г) является аналитической в некоторой области В с контуром С, за исключением конечного числа точек, являющихся полюсами или существенно особыми точками функции. Окружим каждую особую точку 1, > контуром, представляющим собой, например, небольшую окружность (рис. 15.8). Тогда, согласно теореме Коши [см. (6 ) 2], имеем [c.539]

Как известно, п должно быть обязательно целочисленным, в противном случае зависимость от углов не будет однозначной. Нам нужны лищь реще-ния (7), которые остаются конечными для всех положительных, действительных значений г. Уравнение (7) имеет на комплексной г-плоскости две особенности при г = 0 и при г=оо, причем лишь во второй из них, г=°о, все интегралы уравнения будут иметь существенно особую точку ). Эти две осо- [c.669]

Точка а называется существенно особой, если разложение Лорана содержит бесконечное множество членов с отрицательными показателями. В окрестности существенно особой точки можно указать последовательность точек 2л, стремящихся к а, в которых значения функции f (z ) стремятся к любому наперёд заданному комплексному числу (теорема Вейер-штрасса). Имеет место более точная теорема Пикара в любой окрестности существенно особой точки функция f z) принимает все значения, за исключением, быть может, двух (причём 00 считается также значением функции). [c.186]

Если при компоновке конструктора интересовало (с точки зрения надежности) расположение органов управления (рукояток, тумблеров, кнопок) и элементов контроля (шкал, индексов), то сейчас особую важность приобретают весьма существенные тонкости их конструктивного исполнения. Примером вопроса, важного с точки зрения надежности и подлежащего рассмотрению именно сейчас, может служить вопрос о необходимости постановки защитных приспособлений для тумблеров ответственного или аварийного назначения. Такое приспособление с одной стороны предохраняет тумблер от случайного или ошибочного включения, с другой — препят-<.Тствует возможности мгновенного включения тумблера в нужный момент. Поэтому при решении вопроса следует тщательно проанализировать возможные последствия несвоевременного включения тумблера. [c.103]

Точка а тогда и только тогда является существенно особой для функции /(z), когда главная часть лорановского разложения /(г) в окрестности точки а содержит бесконечно много членов. В любой окрестности существенно особой точки функция /(г) принимает все значения, за исключением, быть может, двух (причем оо считается также значением функции). [c.199]

Примеры . 1) Функция е имеет при существенно особую точку. Разложение Лорава в окрестности втои точки [c.199]

Ра.зличают три тпна изолиров, особых точис устранимую особую точку, но.1[юс и существенно особую точку. Точка 0 наа. у с т р а и и, i о ослы / (z) ограничена в нек-рой её окрестности. Полагая / (z ) — 1пп / (г) [c.79]

Точки, в которых выполняется это уоювие, принято называть предель-1ШМИ. Особые точки, в которых rang (У) < т, будем называть существенно особым. [c.18]

Если ряд содержит бесконечное число членов с отрицательными степеня.чи г — а, то точка а является существенно особой точкой. [c.56]

Рассмотрим теперь переменную со = Пп как аналитическую функцию комплексного переменного 1 ). Производная й(х)1<И = 1сИ 11 сИ, очевидно, действительна на всей границе Кт (за исключением изолированных особенностей), поскольку функция 0) = Пп — Ф имеет кусочно постоянную действительную часть на полигональных границах. Отсюда следует, что, исключая существенно особые точки, функция йы1с1Т должна быть действительной рациональной функцией от Т, т. е. [c.130]

Если же ряд отрицательных степеней в лорановском разложении бесконечен, то точка Ь называется существенно особой точкой функции. [c.534]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...