Гесса интеграл

Отсюда мы заключаем, что при подходящем выборе начальных условий будет справедлив частный интеграл, указанный Гессом [c.494]

Используя частный интеграл Гесса, получаем [c.205]

Из интеграла Гесса и (6.9) следует, что [c.206]

УРАВНЕНИЯ даИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 207 Используя интеграл Гесса и (6.9), получим, что [c.207]

К случаю Гесса мы придем, если будем отыскивать, при каких условиях может получиться, что момент количеств движения К остается в течение всего движения перпендикулярным к центральной оси 0Q или, другими словами, что при подходящих структурных предположениях уравнения движения могут допустить частный интеграл [c.169]

Второй случай Сретенского, обобщающий интеграл Гесса, может быть проинтегрирован по общей схеме, разобранной нами далее в 3 гл. 3. Отметим также результат Л. Гаврилова [216], утверждающий, что общие случаи интегрируемости, приведенные в таблице (2.2), исчерпывают все возможности существования у системы (7.1) дополнительного алгебраического интеграла движения. [c.158]

Замечание 4. Случаи интегрируемости уравнений на алгебре е(3), дополнительный интеграл которых зависит лишь от переменных М, типа случаев Лагранжа и Гесса для уравнений Эйлера-Пуассона или типа случаев Кирхгофа, Чаплыгина (II) для уравнений Кирхгофа, очевидным образом переносятся на системы на пучке скобок (2.4), включающих при х = 1 алгебру во(4). Это связано с тем, что уравнения для М для всех скобок пучка совпадают (см. ниже). [c.186]

Интеграл Гесса соответственно имеет вид [c.241]

Случай Гесса во многом аналогичен случаю Лагранжа и связан с наличием у системы (3.1) циклической переменной (явная симметрия гамильтониана относительно вращений) на одном из уровней некоторого циклического интеграла. Для того чтобы показать это явно, запишем гамильтониан (3.1) в системе координат, для которой одна из осей Охз совпадет с осью, перпендикулярной круговому сечению эллипсоида (3.2) (см. рис. 57, гл. 2) [c.241]

Интеграл Гесса (3.4) при этом принимает вид [c.241]

Замечание 2. Если рассматривать возмущения задачи Эйлера-Пуансо при условиях Гесса, то оказывается, что пара сепаратрис, исходящих из неустойчивых перманентных вращений, не расщепляется при возмущении [92] (см. рис. 70f, 71 h). При этом интеграл (3.4) и определяет особый тор, заполненный двоякоасимптотическими траекториями, приближающимися к некоторым неустойчивым периодическим решениям, которые при Д О переходят в перманентные вращения вокруг средней оси. Такое описание динамики приведенной системы не противоречит результату Жуковского о квазипериодическом движении центра масс тела (3.9), так как система, описывающая движение центра масс, получается редукцией не по углу прецессии, а по углу собственного вращения вокруг оси, перпендикулярной круговому сечению. [c.244]

Исторический комментарий. Свой интеграл Гесс получил при поиске различных форм уравнений движения тяжелого твердого тела, имеющих раз- [c.244]

Линейные и квадратичные потенциалы. Укажем в явном виде условия существования интеграла Гесса (4.1) для частного вида векторного и скалярного потенциалов Ц ,11 в (4.2), предполагая [c.248]

Условия существования интеграла Гесса для некоторых (еще более частных) случаев системы (4.4) приведены в работах [98, 45] (см. далее). Используя соотношения (4.1) и (4.3), находим [c.248]

Система (4.6) в общем случае не является интегрируемой, т. е. существование инвариантного соотношения Гесса для системы (4.2) не означает еще полной интегрируемости. Как мы уже видели в 1, аналогичное замечание справедливо относительно наличия общего интеграла Лагранжа, который только обеспечивает возможность понижения порядка на одну степень свободы. [c.249]

Известные интегрируемые случаи. В случае осесимметричного в пространстве одного силового поля, т.е. при U = U j),W = W -f) различными авторами были отмечены следующие аналоги интеграла Гесса, которого в этом случае достаточно для полной интегрируемости [c.250]

Гамильтониан в случае Гесса отличается от гамильтониана случая Лагранжа на гладкой плоскости (2.12) ( 1 гл. 3) наличием дополнительного слагаемого вида (М3 — )f M, 7). Оно обращается в нуль на уровне интеграла Гесса, где также возможен переход к редуцированной системе, определяемой переменными (2.6) ( 1 гл. 3). [c.252]

Интеграл Гесса в уравнениях Чаплыгина. Укажем еще один случай существования инвариантного соотношения Гесса для неавтономной системы, описывающей падение твердого тела в жидкости без начального толчка 7 гл. 1. При этом поверхность, ограничивающая тело, осесимметрична, а ось симметрии перпендикулярна круговому сечению гирационного эллипсоида. Гамильтониан можно представить в форме [c.254]

Интеграл Гесса ). Третий интеграл известен ), когда тело таково, что координаты (/г, к, I) центра тяжести удовлетворяют двум соотношениям [c.182]

Выведем второе соотношение. Используя интеграл Гесса н формулы (4), имеем [c.184]

Этот случай совершенно несимметричного гироскопа как раз совпадает с тем, который был указан Гессом и для которого последний обнаружил существование 4-го, правда, частного, но зато весьма простого линейного интеграла [c.126]

Эти перемещения далее аппроксимируются с помощью и. В результате получим интеграл, который квадратичен по узловым перемещениям А и который содержит в качестве матрицы Гессе корректировочную матрицу жесткости [к ]. Следовательно, полная матрица жесткости имеет вид [c.186]

Алгебраические первые интегралы. Случай Гесса. В случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской последний из первых интегралов, приводящий к интегрированию посредством квадратур уравнений движения тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой (п. 24), является, как и интегралы живых сил и моментов, алгебраическим относительно неизвестных функций. Поэтому естественно, что предпринимались общие исследования вопроса о том, допускают ли и в каких случаях динамические уравнения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, помимо двух классических интегралов, какой-нибудь новый алгебраический интеграл, относительно переменных р, 1 f, Yu Тэ> Ifs Однако глубокое исследование Гюссона ), выполненное в более изящной форме Бургаттив), привело к заключению, что, помимо рассмотренных ранее случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, не существует других алгебраических интегралов, кроме интегралов живых сил и моментов. [c.168]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Тогда при всех значениях е уравнения Кирхгофа имеют частный интеграл Гесса—Аппельрота Г = т 02 — 01 тзу/аз - 02. При малых значениях параметра е сепаратрисы задачи Эйлера Гк = = Д (А = 1,2,3), F = 0 останутся сепаратрисами возмущенных периодических решений (4.4). [c.282]

Применим теорему 2 к гамильтоновым уравнениям Янга — Миллса для однородного двухкомпонентного поля (см, 8 гл, I), Функция Гамильтона имеет вид (5,19), где V = х х2. Уравнения (5,21) допускают решение с = (1/ /2,1/ /2) -, собственные значения матрицы Гессе Г равны —1 и 3, Следовательно, Др1 = —7 и Др2 = 5, Эти числа рационально несоизмеримы, поэтому по теореме 2 уравнения Янга— Миллса не допускают нового голоморфного интеграла. Этот результат получил впервые С, Л, Зиглин в [64], Аналогичный результат имеет место и для трехкомпонентной модели Янга — Миллса, где V = х х -Ь х х -Ь х х. Здесь с = = (l/V ,l/V ,0)T, а числа Др равны соответственно /17, 5, В силу их рациональной несоизмеримости гамильтонова система неинтегрируема. [c.369]

Замечание 2. До сих пор мы использовали специальную систему координат, оси которой не совпадают с главными осями тела и А не диагональна. В системе координат, для которой тензор инерции диагонален А = diag(ai, аг, аз), интеграл типа Гесса (4.1) имеет вид [c.250]

Замечание 3. Интеграл Гесса, как и интеграл Лагранжа, имеются в более сложной системе с пятью степенями свободы [41] — тело, подвешенное на невесомом жестком стержне струне), движется в поле тяжести [153]. Для интегрируемости этой системы даже при наличии указанных интегралов не хватает еще трех инволютивных интегралов. Они неизвестны, а единственный случай интегрируемости связан с полным разделением движений, когда точка закрепления тела на струне совпадает с центром масс. [c.250]

В случае двух силовых полей система (4.4) рассматривалась в работе [45] (А. А. Буров, Г. И. Субханкулов), хотя в ней потенциалы (4.4) имеют гидродинамическую интерпретацию. В работе [45] указаны два частных случая существования у системы интеграла Гесса Мз = О, вопрос, однако, [c.251]

Но как сначала обнаружил П. Некрасов [3] для случая частного интеграла Гесса, а потом я [2) и Ляпунов [12] для общего случая движения гироскопа Гесса, решение тут будет даваться в многозначных функциях, так что мероморфность будет только местной. [c.126]

Хотя, таким образом, все-таки намечается некоторая связь с задачей, Ковалевской, но полного решения, как в ее случае, здесь до сих. пор не достигнуто задача даже в случае гессова частного интеграла приводится вообще не к двум квадратурам, но только к одной и еще к интеграция одного дифференциального уравнения 1-го порядка, которое Некрасов [4, 3] весьма удачно предложил заменить-уравнением хотя и 2-го порядка, но линейным с периодическими (в эллиптических функциях) мероморфными коэффициентами. Зато, особенно благодаря предложенной Жуковским [5] интерпретации, оказалось возможным внести достаточную наглядность как в толкование условий для формы гироскопа, так и в законы его движения при существовании интеграла Гесса. [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...