Решение вырожденных задач

Решение этой сингулярно возмущенной начальной задачи (И. Б. Вайнштейн, 1980) методом составных разложений показывает, что после быстрого изменения (чем меньше ео, тем быстрее) в пограничном слое по Н зависимость Vyj Xw) выходит на решение вырожденной задачи (ео = 0), которое совпадает с (5.2.15) для V = 1. [c.425]

Рассмотрим решение задачи прошивки с граничными условиями, заданными по закону Прандтля. На рис. 1 показано поле линий скольжения при закрытой прошивке с обжатием Я=0,71. Матрица и пуансон шероховаты коэффициент трения по Прандтлю равен ц=0,1. Вследствие симметрии процесса показана только правая половина поля линий скольжения. Построение начинается со стороны выхода материала. Точка А является особой точкой на физической плоскости. Решением вырожденной задачи Гурса строим поле характеристик в области А—72—42. Заданное значение коэффициента трения позволяет определить угол у, под которым характеристика [c.107]

Под внешней областью будем понимать интервал, на котором в качестве решения уравнений i5S) с малой ошибкой может быть принято решение вырожденной задачи [c.366]

Исследуем теперь уравнение (3.3) при Ж 1 методом сращиваемых асимптотических разложений [8]. Для краткости ограничимся случаем fir) = О (плоский штамп). Как и в 5 гл. V, под внешней областью будем подразумевать область, в которой в главном влиянием усиливающего покрытия можно пренебречь. Очевидно, это — внутренняя часть области контакта Q. При этом решение вырожденной задачи (Л = 0) во внешней области в соответствии с (3.3) имеет вид [c.406]

Решение вырожденных задач [c.163]

В дальнейшем для описания пограничных точек переключения мы введем в рассмотрение еще одну невозмущенную задачу оптимального управления, меньшей размерности, чем исходная. Ее решение вместе с решением вырожденной задачи полностью определяет структуру оптимального управления в задаче (ИЛ). Знание этой структуры дает возможность с помощью изложенной в п. 7.2. методики разложить точки переключения оптимального управления и момент оптимального быстродействия по целым степеням ц и тем самым построить для заданного натурального числа ЛГ асимптотически субоптимальное управление Л/-го порядка в рассмотренной задаче (см. определение 7.2). [c.86]

Вычисления начинаются с решения вырожденной задачи у = АаУ + b ,u, у(0) = у., [н(/)1 < 1, i е Г, [c.104]

Вычисления начинаются с решения вырожденной задачи [c.121]

Первый этап алгоритма состоит в решении вырожденной задачи [c.136]

Во вспомогательном проецировании при решении позиционных задач наибольшее значение имеет косоугольное проецирование. Здесь центр проецирования в заданном направлении удален в бесконечность. Направление проецирования выбирают в зависимости от преобразования чертежа в большинстве случаев, когда на дополнительную плоскость проекций прямые проецируются в точки, плоскости — в прямые линии, т. е. прямые линии и плоские фигуры представляются вырожденными проекциями. [c.96]

В большинстве случаев вариационные задачи механики оказываются вырожденными. Это приводит к тому, что их решение частично или полностью совпадает с границами области допустимых функций. Метод решения таких задач был разработан и опубликован в ряде статей Охоцимским. Первой из них была работа [2]. [c.45]

Таким образом, определение вырожденности критерия в конечном счете связано с вопросом о требуемой степени точности решения поставленной задачи. [c.199]

Отметим, что применение общего подхода, связанного с методом потенциала, к решению задач для тел с трещинами невозможно из-за вырожденности задачи. Для того чтобы получить решение этой задачи, трещина заменяется полостью конечной ширины (соответствующим образом преобразуются и краевые условия на берегах трещины). Если имеется совокупность полостей, охватывающих трещину и стремящихся в пределе к ее поверхности, то решая ряд задач, внешних по отношению к полостям, в пределе получим решение исходной задачи. Естественно, это возможно, если справедлив предельный переход. Дело в том, что при решении задачи методом потенциала на границе задается плотность потенциала простого слоя, представляющего собой перемещения. При вырождении полости в разрез потенциал простого слоя вырождается в потенциал двойного слоя при этом значение плотности бесконечно возрастает. Поэтому следует ожидать плохую сходимость метода последовательных приближений, а при решении задачи методом механических квадратур — ухудшение структуры системы линейных алгебраических уравнений. [c.108]

Скоро, однако, стало ясно, что, помимо математических трудностей, здесь имеются и принципиальные, так как квантовая теория Бора недостаточно правильно отражает физическую природу явлений. Как известно, выход был найден благодаря созданию (почти одновременно) волновой механики и матричной механики. Но так как методы решения квантовых задач были в этих теориях совершенно различными, то интерес к переменным действие-угол резко уменьшился. В настоящее время они употребляются только в астрономии (т. е. в классической механике) в квантовой механике сохранились лишь некоторые из понятий, связанных с этими переменными, такие, например, как вырождение. [c.336]

На рис. 7.13 приведены типы пересечений элемента контуром. Узлы, перемещения которых приняты в качестве степеней свободы, обозначены цифрами 1—4 в кружочках. Расположение точки 4 для треугольного элемента пригодно только при решении плоской задачи, в случае оболочки точку 4 надо сместить с линии контура АВ. В противном случае матрица будет вырожденной. [c.244]

Зубов Е.Н. О пространственных установившихся течениях идеального газа с вырожденным годографом при наличии интеграла Бернулли // Труды Ин-та математики и механики УНЦ АН СССР. Методы решения краевых задач механики сплошной среды. Вып. 25. — Свердловск, 1978. [c.176]

Двумерная постановка задач существенно упрощает анализ контактных явлений. Вследствие снижения мерности задачи происходит вырождение площадок контакта в отрезки кривых или, в частном случае, прямых линий, лежащих в плоскости меридионального сечения конструкции. Решение контактной задачи сводится в данном случае к определению участков отрыва и прилегания контура взаимодействующих тел, зон сцепления и проскальзывания внутри последних, а также компонентов напряженного и деформированного состояний в плоскости сечения рассматриваемых тел. [c.16]

Решение краевой задачи в вырожденном случае. Решение краевой задачи (4.5.8), (4.5.9) с матрицами (4.5.24), (4.5.25) представляется в виде (4.1.17) с матрицей-функцией К а, а.2, Жз, со), элементы которой [c.77]

Работы этого направления позволяют найти стационарное решение нелинейной задачи в более или менее широкой области изменения числа Рэлея и других параметров. С помощью этого решения можно определить важные нелинейные характеристики — интенсивность движения, тепловой поток и др. Однако расчет стационарного надкритического движения сам по себе не дает ответа на вопрос о том, какое именно движение реализуется в действительности. Во всех указанных, а также и других работах этого направления структура вторичного движения предполагается заданной нелинейный расчет проводится для определенного горизонтального масштаба ячейки и ее формы. Таким образом, выявившееся в линейной теории вырождение не снимается любое линейное решение методом малого параметра или каким-либо другим методом может быть продолжено в надкритическую область. Проблема отбора истинного движения остается открытой. [c.147]

Так, гидродинамическая мода теперь сопровождается очень медленным дрейфом системы вихрей вдоль границы раздела потоков (скорость дрейфа на два порядка меньше экстремальной скорости основного течения). Асимметрия граничных условий для возмущений температуры приводит также к снятию вырождения двух тепловых волн волновые возмущения, распространяющиеся вверх и вниз, теперь оказываются неравноправными с точки зрения устойчивости. При этом расчеты показывают, что характеристики неустойчивости для волны, распространяющейся возле одной из границ, практически не зависят от тепловых условий на другой границе (это, несомненно, связано с локализацией волнового возмущения в одном из потоков — факт, обнаруженный уже в работе [61] при решении симметричной задачи). Таким образом, в случае асимметричных условий в области 0,89 < Рг < 13,7 более опасна волна, распространяющаяся вдоль теплоизолированной границы, а при Рг > 13,7 - вдоль изотермической (точка Рг = 13,7 соответствует пересечению кривых на рис. 50). [c.86]

Одна из таких возможностей связана с так называемыми предельными решениями, соответствующими вырождению задачи в плоскости годографа. [c.56]

Замечание. Мы привели в разд. 3.1—3.3 ряд характерных постановок задач теории упругости и теперь перейдем к анализу некоторых их свойств на основе общих представлений решений уравнений теории упругости. Однако прежде отметим, что многие специфические постановки краевых задач теории упругости возникают в тех случаях, когда имеет место тот или иной вид вырождения системы дифференциальных уравнений теории упругости из-за наличия среди геометрических характеристик упругого тела одного или двух малых параметров (модели стержней, балок, пластин, оболочек) [90, 93]. Ситуация здесь вполне аналогична той, что имеет место в общей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые методы и результаты построения оценок решений для таких вырожденных задач обсуждаются в гл. 10. [c.85]

Дугу контакта О А зададим значениями параметра г = 1, 2,.. ., М, включая точки О и А. Начальное распределение граничное условие (7) для углов ifi на О А определяют поле линий скольжения в области AOD из решения задачи Коши для системы уравнений (1), (2). Поле линий скольжения в области AD находим по значениям сг и на линии скольжения AD из решения задачи Гурса с вырожденной гу-линией скольжения в особой точке А. В области АВС поле линий скольжения находим из решения обратной задачи Коши от линии скольжения АС — определение контура АВ, на котором известно а = —1/2 и дифференциальное уравнение которого определяется соотношением dy/dx = = tg ( — тг/4), так как этот контур совпадает с главным напряжением сг2. [c.586]

При 1 = 2 вследствие изотропности задачи в горизонтальной плоскости существует вырождение решений линейной задачи, и возможны нетривиальные нелинейные эффекты. Они будут обсуждаться ниже, в 4.2. [c.167]

Чтобы выявить все следствия существенного вырождения, обусловленного пространственными операторами из полной пространственной группы , нужно по найденному при решении динамической задачи представлению получить совокупность представлений < "> полной группы. [c.227]

Действительно, для первой модели характерна локализация частиц в окрестности моды rs и быстрое убывание значений s rs,S,r) вправо и влево от этой точки. При использовании этой модели в схеме обращения искомому решению мы как бы навязываем искусственно подобное аналитическое свойство. Вторая модель, т. е. ступенчатое распределение, свободна от подобного недостатка, и поэтому ей в этом отношении можно доверять в большей мере. В частности, как следует из а( ), распределение So r) монотонно убывает в области размеров [0,1 0,6 мкм], и поэтому его можно в принципе удовлетворительно аппроксимировать степенной функцией с отрицательным показателем, т. е. моделью типа (1.96а). Конечно, следует иметь в виду, что в данном примере явно недостаточно трех измерений Ряа( ), чтобы получить достоверные оценки для пяти компонент опорного вектора s из решения вырожденной системы (1.101). Поэтому и нет особых оснований подробно обсуждать локальное поведение действительного распределения so r) по решению а( ). Для нас было важно проиллюстрировать влияние аналитических свойств модельных распределений, выбираемых в качестве возможных решений обратных задач, на характер получаемой информации о спектре размеров полидисперсной системы частиц. [c.61]

В дальнейщем в целях ориентировочного предварительного изучения общей задачи, содержащей вполне корректные предположения, в качестве основного течения рассматривается идеализированный случай так называемого плоского течения при наличии критической точки и исследуется его устойчивость. Это идеализированное течение описано точным решением уравнений Навье—Стокса для перпендикулярного обтекания бесконечной плоской стенки. Указанное течение можно аппроксимировать на реальное течение в окрестности передней критической точки цилиндра. Однако при этом следует иметь в виду появление известных вырождений задачи. В то же время нельзя получить критическое число Рейнольдса, если рассматривать только уравнение Навье — Стокса. Кроме того, при значительном удалении от критической точки и возрастании скорости состояние потока во всей массе жидкости можно считать состоянием как бы на бесконечности тогда возмущения, налагаемые на поток, оказывают относительно малое влияние. Таким образом, подобное предварительное исследование дает лишь качественное объяснение возникновения неустойчивости потока вблизи критической точки. [c.261]

Рассмотрение итерационных процессов выполнения граничных условий позволяет сделать и некоторые чисто математические заключения. В теории оболочек можно говорить о возмущенной и невозмущенной краевых задачах. Под первой подразумевается интегрирование неупрощенных уравнений с учетом всех (тангенциальных и нетангенциальных) граничных условий, а вторая заключается в интегрировании предельных (при = 0) уравнений с учетом одних тангенциальных условий. Возмущенная краевая задача в теории оболочек всегда представляет собой корректно поставленную задачу типа Дирихле. Однако вырожденная задача теории оболочек может оказаться в том или ином смысле некорректной. В ней может иметь место несовпадение числа граничных условий с порядком уравнений, несоответствие типа уравнений типу краевой задачи (может получиться, например, задача Дирихле для гиперболической системы или задача Коши для эллиптической системы) и т. д. Очевидно, что все такие неправильности невозмущенной задачи оказывают существенное влияние на характер напряженного состояния оболочки, и их полезно иметь в виду при разработке любых подходов к фактическому решению задачи (в том числе и непосредственного счета на ЭЦВМ). Если стать на путь приближенных подходов к решению краевых задач теории оболочек, то здесь результаты настоящего раздела находят непосредственное применение. Исходное приближение каждого из рассмотренных итерационных процессов можно рассматривать как приближенный метод решения соответствующей краевой задачи. Получаемые таким образом результаты при желании можно уточнять, увеличивая количество итераций. [c.272]

Хорошо известно решение одномерной задачи о движении по произвольному закону в покоящемся газе плоского бесконечного поршня, когда в возмугценной области течение газа описывается простой волной Римана. Построение аналитическими методами решений задач о движении в газе криволинейных поршней связано с большими трудностями как в пространственном, так и в плоскопараллельном случае. Некоторые результаты в этом направлении получены с использованием аппарата теории течений с вырожденным годографом скорости, в частности, с использованием уравнений потенциальных двойных и тройных волн [1, 2]. [c.152]

Внедрение гладкого клинообразного в плане штампа 235 Точка В будет особой точкой поля напряжений, в которой величина / меняется в пределах —тг/2 у 0. Замечая, что 0 = л /2, из первого уравнения (1.18.8) получим Р = г — 1/2. В точке В характеристики второго семейства стягиваются в точку с координатами 0 = л /2, ф = = у. Значения функций Р и у в точке Р и на характеристике ВМ позволяют построить решение в области ВМРЕ Е (вырожденная задача Гурса). Полученные значения Р и / на характеристике ВЕ и граничные условия (1.18.12) на ОВ 0 = к/2, ф у определяют решение в области ОВЕ (задача смешанного типа). Приводим распределение напряжения = ое/2/г по основанию ОВ штампа [c.235]

Уравнения (2.7)-(2.9) интегрируются в квадратурах, после чего поля V и и находятся с помощью решения классической задачи гидродинамики об определении поля скорости по заданным распределениям ее дивергенции и вихря. Это решение зависит от начальных распределений Уо,ид, функции У ( ,К), которая при слабом электрогид-родинамическом взаимодействии является заданной и соответствующей стадии вырождения гидродинамического поля скорости, и свободной функции t). Величины q t, К) и сг ( . К) определяются из (2.3)- [c.630]

Лр, где J3 = 1,. . ., S— 1, также обращаются в нуль). Нетрудно показать, Что указанные решения Л. И. Седова отвечают начальной спектральной плотности кинетической энергии Е (к, to)-, разлагающейся в окрестности нуля в степенной ряд, начинающийся со слагаемого порядка и описывают асимптотический режим вырождения для начального спектра такого вида. Общее же решение (3.8) соответствует случаю начального спектра Е (к, to), ведущего себя в окрестности нулевой точки как и при этом условии описывает асимптотическое поведение решения соответствующей задачи с начальными условиями для уравнения Кармана — Хоуарта с равными нулю третьими моментами (А. М. Яглом, 1948), [c.484]

Непрерывное решение (соответствующее течению без скачков уплотнения) представляет собой совокупность решений а) задачи Коши в области AKL с данными на луче KL (в М-области), б) задачи Коши в области DKM с данными на луче КМ в) задачи Гурса с данными на характеристиках KD КА (рис. 2.3). Нетривиальность задач Коши и Гурса в областях DKM и AKD обусловленная вырождением типа гиперболического уравнения в точке К состоит в том, что непрерывное решение в окрестности точки К не всегда существует ввиду образования предельных линий — складок в физической плоскости. При этом в ряде случаев оказывается возможным построение решения со скачком уплотнения, исходящим из центра сопла. Принципиальная схема такого течения изображена на рис. 2.4. Она отличается от схемы на рис. 2.3 тем, что кривая KR — не характеристика, а скачок уплотнения. Важно отметить, что скачок уплотнения всегда распространяется из центра сопла вниз по потоку. [c.63]

Обобщенность сформулированной задачи связана с наличием разрыва граничной функции в двух точках, одна из которых находится в области равномерной эллиптичности, а другая — на линии вырождения (на звуковой линии). Под решением обобщенной задачи Дирихле будем понимать, следуя [56,96], регулярное внутри области определения решение дифференциального уравнения, ограниченное в замкнутой области и принимающее заданные граничные значения во всех точках непрерывности граничной функции (с конечным числом точек разрыва). [c.91]

Вопрос о постановке корректной задачи в М-области относится к компетенции теории нелинейных уравнений смешанного типа. Наиболее существенным образом нелинейность уравнений проявляется вблизи звуковой линии — линии изменения типа уравнения. Действительно, если предположить, что коэффициенты квазилинейного уравнения, которые на самом деле зависят от решения краевой задачи, известны, то полученное таким образом линейное уравнение может быть приведено к одной из канонических форм. Тип канонической формы и определяет характер вырождения уравнения вблизи звуковой линии, который проявляется наиболее существенным образом в вопросе о правильной постановке основных краевых задач. Так, теорема М. В. Келдыша (см. гл. 1, 18) в зависимости от типа канонической формы устанавливает корректность либо задачи Дирихле, либо задачи Е в области эллиптичности, примыкающей к линии вырождения. [c.223]

В связи с тем, что в (1.32) ш = 1, 6(0) = О, то по теореме М. В. Келдыша, в области эллиптичности уравнения, граница которой содержит конечный отрезок линии вырождения, корректна задача Дирихле. Решения этой задачи при непрерывном граничном условии для функции тока ф описывают класс дозвуковых течений с криволинейной звуковой линией. Этот случай вырождения типа уравнения естественно называть общим, в отличие [c.223]

При ц = О планетный вариант неограниченной задачи трех тел вырождается в две задачи двух тел (одна задача двух тел с массами то п ту = О, вторая задача двух тел с массами то и тг = 0). Очевидно, что среди возможных движений в вырожденной задаче имеются кеплеровские эллипсы, описываемые нулевыми массами т, = тг = 0. Пусть, в частности, кеплеровские орбиты суть компланарные окружности. Пуанкаре доказал [2], что при 11фО в плоской неограниченной задаче трех тел существуют периодические решения, близкие к круговым. Точнее, взаимные расстояния между тремя телами будут периодическими функциями времени, а чтобы координаты каждого тела были периодическими функциями времени, необходимо рассматривать равномерно вращающуюся (с конечной угловой скоростью) систему координат. В неподвижной системе координат координаты трех тел не будут, вообще говоря, периодическими функциями времени. Если ввести для таких периодических решений оскулирующий кинематический параметр — эксцентриситет, то он имеет порядок величины ц. Эти плоские перподиче-ские решения задачи трех тел были названы Пуанкаре решениями первого сорта, и они образуют четырехпараметрическое семейство решений. Пуанкаре показывает, что все множество периодических решений не богаче, чем однократное бесконечное множество периодических решений, так как одни семейства решений переходят в другие с помощью элементарных преобразований. Заметим также, что решение Хилла является частным случаем периодических решений первого сорта Пуанкаре. [c.792]

Мы получили искомый результат. Теперь продвинемся несколько дальше и попытаемся найти еще и форму нормальных колебаний. Оказывается, что эта задача полностью решается для невырожденных нормальных колебаний, но в случае двукратно вырожденных мод, преобразующихся по одному и тому же неприводимому представлению, остается некоторая неопределенность. Для данной цели необходимо, конечно, знать явный вид неприводимых представлений, и мы используем неприводимые представления, полученные выше. Если бы мы воспользовались другими двумерными неприводимыми представлениями, эквивалентными перечисленным выше, то получили бы другие линейные комбинации вырожденных мод, отличные от тех, которые приводятся здесь. Эти комбинации также давали бы правильное решение задачи, которое фактически эквивалентно получаемому ниже. Обратимся теперь к решению этой задачи. [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...