Квадратуры механические

Как правило, интегральные уравнения решают численно методом последовательных приближений или методом механических квадратур [231]. Ясно, что в любом случае требуется численно вычислять сингулярные интегралы. Существуют два основных подхода к решению этого вопроса. [c.97]

При решении интегрального уравнения методом механических квадратур задача сводится к решению системы SN линейных алгебраических уравнений (N — число элементов, на которое разбивается поверхность) [c.99]

Реализация метода механических квадратур менее предпочтительна по сравнению с методом последовательных приближений. Для второй внутренней задачи получается вырожденная система, для которой требуется разработка специальных методов решения. Кроме того, вопрос о сходимости метода механических квадратур остается открытым, тогда как сходимость метода последовательных приближений доказана. [c.99]

Уравнение (2.4.95) — нелинейное дифференциальное, в квадратурах не интегрируется. При С3 = 0 (вязкость среды не учитывается) имеет место уравнение (2.4.79), однако считать Со = О, как это делалось ранее, нельзя, так как в его выражение входят характеристики физико-механических свойств среды. [c.189]

Перейдем теперь непосредственно к методам решения интегральных уравнений. Реализация метода механических квадратур приводит к системе алгебраических уравнений порядка [c.574]

N (где N — число элементарных областей). В случае задачи 11+ система будет вырожденной, что требует для ее решения применения специальных уточненных методов. Заметим также, что остается открытым вопрос о сходимости метода механических квадратур, поскольку необходимо доказать, что при увеличении числа N получаемое приближенное (в кусочно-постоянном представлении) решение стремится к точному. [c.575]

Метод последовательных приближений представляется более предпочтительным. Во-первых, из доказанной сходимости этого метода следует, что приближенная его реализация приведет к точному решению, поскольку для той или иной конечной суммы ряда задача сводится к вычислению конечного числа несобственных интегралов, что может всегда быть осуществлено с произвольной точностью ). Во-вторых, сама же реализация метода на ЭВМ требует сохранения в оперативной памяти лишь двух итераций (т. е. 6N чисел, в то время как в методе механических квадратур чисел). [c.575]

Если для внешней и внутренней задач частота колебаний меньше первой собственной частоты для внутренней задачи, то решение интегрального уравнения может быть получено последовательными приближениями. В общем же случае целесообразно пользоваться методом механических квадратур, сводя задачу к системе алгебраических уравнений. Эта же система позволяет устанавливать значения собственных частот, поскольку они являются корнями ее определителя. [c.588]

Отметим, что применение общего подхода, связанного с методом потенциала, к решению задач для тел с трещинами невозможно из-за вырожденности задачи. Для того чтобы получить решение этой задачи, трещина заменяется полостью конечной ширины (соответствующим образом преобразуются и краевые условия на берегах трещины). Если имеется совокупность полостей, охватывающих трещину и стремящихся в пределе к ее поверхности, то решая ряд задач, внешних по отношению к полостям, в пределе получим решение исходной задачи. Естественно, это возможно, если справедлив предельный переход. Дело в том, что при решении задачи методом потенциала на границе задается плотность потенциала простого слоя, представляющего собой перемещения. При вырождении полости в разрез потенциал простого слоя вырождается в потенциал двойного слоя при этом значение плотности бесконечно возрастает. Поэтому следует ожидать плохую сходимость метода последовательных приближений, а при решении задачи методом механических квадратур — ухудшение структуры системы линейных алгебраических уравнений. [c.108]

Из уравнений (8.3.6) видно, что для систем с разделяющими переменными полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби можно получить в квадратурах. Возникает такая необычная ситуация, что сопряженные переменные qk,Pk в каждой паре связаны непосредственно друг с другом без участия остальных переменных. Механическая система с п степенями свободы может рассматриваться как суперпозиция п систем с одной степенью свободы. Однако истинные уравнения движения такие [c.278]

При некоторых частных предположениях о характеристиках двигателя Afj и рабочей машины и законе изменения передаточного отношения в работах [95—103] были поставлены и решены различные задачи динамического анализа и синтеза механических систем с вариаторами. В общем же нелинейном случае уравнения движения (8.1) и (8.2) не интегрируются в квадратурах и решение подобных задач сопряжено с большими трудностями. В этой связи приходится прибегать к численным, графическим, графоаналитическим или иным качественным методам исследования. [c.268]

Важный класс консервативных механических систем образуют системы, уравнения движения которых интегрируются в квадратурах. Достаточно общие признаки интегрируемости (в квадратурах) уравнений движения голономных консервативных систем со стационарными связями были сформулированы П. Штеккелем [4]. Интегрируемыми , однако, могут быть и другие системы [c.147]

Метод механических квадратур [c.52]

Для решения полученного эквивалентного граничного интегрального уравнения используются, как правило, два основных метода решения — метод механических квадратур и метод последовательных приближений. В теории интегральных уравнений для случая одномерных уравнений доказано, что приближенное решение интегральных уравнений Фредгольма (не расположенных на спектре), получаемое методом механических квадратур, сходится к точному решению при уменьшении размеров элементарных областей [152]. Вопрос о сходимости метода механических квадратур для сингулярных уравнений в двух измерениях остается открытым, в то время как сходимость последовательных приближений для уравнений теории упругости доказана. [c.50]

Численные методы решения интегральных уравнений основываются на возможности вычисления входящих в уравнения интегралов [153]. В основном распространение получили два численных метода решения ИУ — последовательных приближений [152] и механических квадратур [19]. В обоих методах всегда приходят к вычислению интегралов от известного выражения. [c.55]

При реализации прямого варианта МГЭ предпочтение отдается методу механических квадратур, так как метод последовательных приближений обладает рядом существенных недостатков, а именно (202] [c.55]

Метод механических квадратур. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение [c.29]

В данной главе изложен алгоритм [95, 102] расчета статической траектории распространения исходной внутренней трещины, базирующийся на решении плоской задачи теории упругости для тел с криволинейными разрезами. Приложенная к телу нагрузка и форма исходной трещины удовлетворяют некоторым условиям симметрии, так что оба ее конца развиваются одинаково. В этом случае траектория может быть построена без учета зависимости скорости роста трещины от коэффициента интенсивности напряжений в ее вершине. Аналогично может быть рассмотрено распространение краевой или полубесконечной трещины при действии любой несимметричной нагрузки. Изучены случаи развития исходной прямолинейной или двух сдвинутых параллельных трещин в бесконечной плоскости при действии растягивающих усилий на бесконечности или растягивающих сосредоточенных сил. Задачи на каждом этапе сводятся к сингулярному интегральному уравнению для гладких контуров, численное решение которого находится методом механических квадратур. [c.41]

Как и выше, численное решение уравнения (2.24) при условии (2.25) найдем с помощью метода механических квадратур. Учитывая соотношение и )=и — ), которое следует из условия симметрии задачи относительно оси Оу (1.103), систему комплексных алгебраических уравнений (2.28) при четном n = 2N можно преобразовать к виду [c.54]

Правая часть системы (5.38) содержит только гладкие функции, поэтому ее численное решение может быть найдено методом механических квадратур (см. параграф 4 первой главы). Учет симметрии задачи позволяет сократить вдвое порядок соответст-вуюш,ей системы линейных алгебраических уравнений. [c.155]

Катализ 343 Катет 109 Катион 274, 494 Катод 494 Квадрат 112 Квадратиса 203 Квадратуры механические 254 Квадраты чисел 15 Квантопая теория теплоёмкости 318 Кетоны 302 Киловатт 607 Килограмм 605 Кинг 472 [c.618]

Последние уравнения как бы игнорируют циклические координаты и сводят динамическую задачу к задаче о движении механической системы с новой функцией Лагранжа и с меньшим ЧИСЛ0Л1 степеней свободы (sциклических координат Qa, после того как проинтегрированы последние уравнения, определяются квадратурами [c.167]

Очевидно, что численная реализация уравнения Мусхелиш-вили затруднительна из-за того, что уравнение расположено на спектре. В частности, при решении методом механических квадратур получаются вырожденные системы. В [45] отмечается, что при той или иной реализации целесообразно сохранять добавки (кб) или (3.10). Из-за погрешности квадратурных формул эти добавки не будут, вообще говоря, обращаться в нуль, и поэтому они внесут некоторую (малую) погрешность. Однако при этом полностью устраняются указанные выше затруднения вычислительного порядка. [c.382]

Уравнения (5.6) также являются сингулярными уравнениями с разрывными ядрами и разрывным коэффициентом при внеинтегральном члене. Исследования условий разрешимости уравнений класса (5.6) также отсутствуют. Однако, безусловно, является полезной разработка эффективных численных методов решения уравнений (5.2), (5.5), (5.6) ). Например, не составляет труда реализация в той или иной форме метода механических квадратур. Для вычисления сингулярных интегралов, входящих в уравнения (5.2), (5.5) и (5.6), можно использовать регулярное представление (3.2) в его модифицированной форме. Если же осуществить полигонализацию поверхности, то можно воспользоваться кубатурными формулами [88, 206]. [c.597]

В том случае, когда разрез является частью плоскости симметрии задачи, ставятся смешанные граничные условия на поверхности разреза — условия для вектора напряжений, а на про-должепии его — нулевые касательные напряжения и нулевые нормальные перемещения. В такой постановке решен ряд пространственных модельных задач по определению коэффициента интенсивности напряжений [92]. Интегральное уравнение решалось методом механических квадратур [231, 271]. В таблице 14.3 [c.106]

После этого решение сводится к квадратурам. Найдя со — со (1), повторным интегрированием можно получить ф = ф (О- В боль-щинстве случаев механические характеристики даются в форме [c.60]

Эти предложения тесно связаны с работами Архимеда по геометрии. Примером применения теоретических положений механики к геометрии может также слун игь определение площади сегмента параболы, осповаиное на законе рычага и теоремах о центре тяжести плоских фигур, которое приведено в математическом сочинении Архимеда Квадратура параболы . О тесной связи методов механики и математики в творчестве Архимеда свидетельствует Эфод, или послание к Эратосфену о механических теоремах . В этом произведении механика рассматривается как средство решения геометрических задач. Правда, Архимед не считал механический метод строгим, оя рассматривал его как удобный прием для получения некоторых геометрических результатов, которым после этого надлежало дать строгое геометрическое доказательство. [c.31]

Стандартный метод решения сингулярных интегральных уравнений состоит в их регуляризации и последующем численном решении полученных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Однако такой подход очень трудоемок. В последнее время в численных расчетах наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгебраических уравнений. Среди них следует отметить метод механических квадратур, основа1шый на определенных формулах, для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярных интегралов [30, 65, 71, 77, 94, 180, 228, 299, 314, 315, 341, 360, 4191. [c.52]

Саникидзе До/с. Г. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с суммируемой плотностью методом механических квадратур.— Укр. мат. журн., 1970, 22, № I, с. 106—114. [c.313]

Суть метода механических квадратур заключается в следующем. Представим некоторую двумерную область V в виде М плоских сегментов, а границу S разобъем на N отрезков. Для вектора смещения заранее выбранной характерной точки границы Р можно записать интегральное уравнение (П1.9). Элементы, на которые дискретизируется граница, будем называть граничными элементами (ГЭ). Геометрия элемента в общем случае произвольна, но, как правило, используются ГЭ в виде отрезков прямых, дуг окружностей либо отрезки квадратичных функций. Сегменты, на которые разделена область V, называют ячейками. Обычно ячейки выбирают в виде треугольных или четырехугольных конечных элементов. [c.56]

Решение СЛАУ (III. 12) дает нам искомые неизвестные граничные усилия и перемещения и в общей схеме реализации МГЭ является существенным моментом. Матрица [Aif], получающаяся в результате использования метода механических квадратур,— несимметричная полно-заполненная матрица размером 2Nx2N в двумерном случае и 3NX 3N — B пространственном. [c.57]

В результате численного решения системы интегральных уравнений (5.27) методом механических квадратур определяются коэ(йици [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...