Вырожденные системы

Пусть движение вырожденной системы описывается уравнением [c.214]

Его степень равна 2т. Корни этого уравнения есть собственные значения задачи. Каждому собственному значению Р соответствует по крайней мере один ненулевой собственный фазовый вектор Г] = (и,/3ц), где и ненулевое решение полученной вырожденной системы линейных уравнений. [c.594]

Реализация метода механических квадратур менее предпочтительна по сравнению с методом последовательных приближений. Для второй внутренней задачи получается вырожденная система, для которой требуется разработка специальных методов решения. Кроме того, вопрос о сходимости метода механических квадратур остается открытым, тогда как сходимость метода последовательных приближений доказана. [c.99]

Решение вырожденной системы t) соот- [c.332]

Основой известных методов решения (1) является исследование эволюции на многообразии вырожденной системы. Ниже развит подход, в котором первый этап связан с исследованием решения на многообразии быстрых движений при е<1. Структура гамильтониана (2) показывает, что основной вклад в первом приближении должны вносить траектории, порождаемые составляющей [c.332]

У =--[У H aiz, t)] = 4>iR Q, у, t), у, t) совпадает с решением вырожденной системы (5). Решение второго уравнения х ==[х, Но г , t) определяет медленную эволюцию переменной х. Решение полной системы [c.333]

К вырожденной системе, для которой член с высшей производной необходимо учитывать только во время быстрых изменений координаты у (случай скачков). Установление стационарных колебаний [c.200]

Из изложенного следует, что в случае матриц, близких к вырожденным, система уравнений окажется всегда плохо обуслов- [c.189]

Вырожденные системы. Рассмотрим систему (2) типа 1 [c.183]

Соответствующая ей вырожденная система типа 1—это система [c.183]

Фазовая кривая вырожденной системы — это такая ориентированная кривая, которая состоит из чередующихся участков быстрых и медленных движений, причем временная ориентация на быстрых и медленных участках совпадает с ориентацией всей кривой. [c.184]

Фазовые кривые вырожденной системы подразделяются на регулярные фазовые кривые и вырожденные утки. Регулярная фазовая кривая содержит только такие участки медленного движения, которые расположены на устойчивой части медленной поверхности вырожденные утки содержат дуги медленных фазовых кривых, расположенные на неустойчивой части. [c.184]

До последнего времени в теории релаксационных колебаний изучались такие быстро-медленные уравнения типа 1, фазовые кривые которых, проходящие вблизи точки срыва, при е О стремились к регулярным фазовым кривым вырожденной системы. Однако недавно обнаружилось, что для некоторых быстро-медленных уравнений фазовые кривые, близкие к точке срыва, при е- 0 могут приближаться к вырожденным уткам. Подробнее об этом сказано в 5. [c.184]

Определение [204]). Точка р на границе устойчивой части медленной поверхности называется воронкой, если в любой ее окрестности существует область, через точки которой проходят фазовые кривые вырожденной системы, срывающиеся с поверхности медленных движений в точке р. [c.190]

Теорема ([86]). Пусть правые части двумерной системы (2 bis) общего положения бесконечно дифференцируемы. Предположим, что соответствующая вырожденная система имеет замкнутую траекторию Lo, причем в каждой ее точке срыва р выполнено условие Тогда для периода Те [c.191]

Более общим образом мы рассматриваем быстро-медленные системы, для которых особая точка уравнения быстрых движений при изменении медленных переменных теряет устойчивость с переходом пары собственных значений через мнимую ось. Для аналитических систем общего положения положительные полутраектории из некоторой области фазового пространства стремятся при е- -0 к фазовым кривым вырожденной системы, имеющим сравнимые по длине участки, один из которых расположен на устойчивой, а другой — на неустойчивой части медленной поверхности. Этим описываемые движения сходны с утками , рассмотренными ниже, в 5. [c.192]

Рис. 74. Фазовые кривые вырожденной системы а) xi0 (устойчивая особая точка)

Пусть график функции f напоминает график кубического многочлена (рис. 74). Тогда фазовые кривые вырожденной системы такие, как на рис. 74а, б, в при > i0 соответственно. При а=0 через одну точку может проходить много разных фазовых кривых вырожденной системы фазовая кривая с началом в особой точке на складке медленной кривой может совпасть с этой точкой, с проходимым бесконечное число раз циклом, выделенным жирной линией на рис. 746, а может также оказаться в особой точке на складке после конечного числа обходов цикла. [c.200]

Иногда разделение переменных возможно не только в одной, а в нескольких системах координат. Старая квантовая теория называла такие системы вырожденными системами . Например, в задаче Кеплера разделение переменных возможно не только в сферических, но и в параболических координатах. [c.278]

Эти формулы раз навсегда определяют отношения частот друг к другу, и эти отношения нельзя изменить никаким выбором начальных условий. Тем самым устанавливается определенная степень вырождения системы. В частном случае, когда отношение двух любых коэффициентов к есть число рациональное, движение всегда является периодическим при этом между коэффициентами к существуют п — i линейных соотношений [c.342]

Если коэффициенты k s рациональны, то коэффициенты также рациональны и мон(но считать их целыми числами. Тем самым устанавливается степень вырождения системы независимо от начальных условий. [c.343]

Такой случай называется случаем вырождения системы. Если исключить этот случай, можно еще найти такую комбинацию И/,, что сумма будет сколь угодно [c.197]

Отметим, что расчетная схема машинного агрегата на рис. 38, в, хотя и представляет собой вырожденный случай по отношению к схеме рис. 38, б, но не может быть получена из последней уменьшением до нуля массы нелинейного звена. При принятой схематизации исходной системы предельный переход привел бы к появлению в вырожденной системе лишней 1/2 степени свободы [5 ]. Искусственное усложнение расчетной схемы, связанное с таким предельным переходом, нельзя считать оправданным. [c.101]

Ниже рассмотрен приближенный метод, относящийся к случаю весьма большой силы трения. Вернемся к схеме на рис. 111.1 и будем считать, что движение определяется только этой силой и силой упругости и что силой инерции груза можно пренебречь. Уравнение движения такой безмассовой вырожденной системы имеет вид [c.294]

Приведем еще некоторые результаты, относящиеся к различным граничным условиям на поверхностях вырожденных систем и еще одному виду поперечного сечения вырожденной системы. [c.249]

Пусть вырожденной системой является вязкоупругая пластинка, лежащая на некотором основании. Очевидно, что в этом случае верхняя и нижняя границы пластинки находятся при различных граничных условиях на верхней границе задаются, как и ранее, только величины напряжений, а нижняя граница может находиться при различных смешанных граничных условиях. [c.249]

Как было уже сказано, особыми точками этих уравнений являются точки пересечения прямых х = onst с линией Q (д , у) = 0. Следовательно, эти точки пересечения разбивают прямые X = onst на траектории быстрых движений. Если при достаточно больших у знак функции Q (л-, у) противоположен знаку у, то траектории быстрых движений идут из бесконечности и от участков линии Q (х, у) = О, где Q y> О, к тем участкам линии, где Qy < 0. го означает, что медленные движения системы, когда х и у ограничены в течение конечных интервалов времени при О, будут происходить только в малых окрестностях (порядка [х) участков Q х, у) = О, Q х, у) < О, т. е. будут приближенно отображаться уравнениями вырожденной системы [c.228]

Термин вырожденное применяется к распределению электронов, для которого область энергий, соответствующих полностью заполненным уровням, очень велика по сравнению с шириной переходной области порядка 2коТ. В вырожденной системе электронов только небольшая часть их (- коТ/Е °) может изменить свою энергию. Электрон с малой энергией может заметно изменить свое состояние, если переместить его на пустой энергетический уровень вблизи уровня Ферми. Ввиду неразличимости электронов это эквивалентно тому, что все промежуточные электроны сдвинулись бы в1верх (по энергетической шкале) на соседние уровни. Такой процесс обладает очень малой вероятностью. [c.109]

Очевидно, что численная реализация уравнения Мусхелиш-вили затруднительна из-за того, что уравнение расположено на спектре. В частности, при решении методом механических квадратур получаются вырожденные системы. В [45] отмечается, что при той или иной реализации целесообразно сохранять добавки (кб) или (3.10). Из-за погрешности квадратурных формул эти добавки не будут, вообще говоря, обращаться в нуль, и поэтому они внесут некоторую (малую) погрешность. Однако при этом полностью устраняются указанные выше затруднения вычислительного порядка. [c.382]

Теорема ([86], [94]). Пусть (л , у) = р — точка складки медленной поверхности быстро-медленной системы (2) типа 1 (то есть системы с не более чем одномерными центральными многообразиями положений равновесия быстрых движений). Пусть вектор С х, у, 0) трансверсален проекции складки на базу вдоль слоев (то есть проекции складки на пространство-медленных переменных вдоль пространства быстрых). Пусть, кроме того, этот вектор направлен наружу по отношению к проекции медленной поверхности на плоскость медленных переменных. Тогда существует такая окрестность U точки р в фазовом пространстве, что для любой точки qW связная компонента пересечения окрестности U с положительной полутра-екторией системы (2) с началом q при е->0 стремится к регулярной фазовой кривой вырожденной системы. [c.184]

Исследование систем первого приближения. Фазовая кривая у системы первого приближения называется приближающей, если она обладает следующим свсйстбом. Пусть / — семейство сжатий, обратных растяжениям, с помощью которых из быстро медленной системы получилась система первого приближения. Тогда существует такая окрестнссть нуля, пересечение которой с кривой при стремится к дуге регулярной фазовой кривей соответствующей вырожденной системы. [c.188]

Метод Делоне проливает новый свет на понятие вырожденные системы старой квантовой теории. Если траектории полностью заполняют разрешенную область пространства конфигураций, то система не вырождена и разделение переменных возможно только в координатах одного вида. [c.288]

Можно, во всяком случае, принять, что собственные колебания с одним и тем же значением частоты возбуждаются одновременно. Кратные собственные значения соответствуют на языке существующей теории случаям вырождения. Квантование вырожденной системы связано с произвольным распределением энергии по колебаниям с одинаковыми собственными зна-ченнямп. [c.678]

Мы только что акцентировали внимание на том, что каноническая теория возмущений для случая, когда степеней свободы больше, чем одна, ведет к расходящимся рядам. Иногда удобно для решения уравнений движения (мы приведем пример в следующем параграфе) использовать старые переменные wi и которые, конечно, остаются канонически сопряженными переменными и для возмущенной системы, поскольку они получаются из и С1к каноническими преобразованиями. Это особенно удобно, когда мы имеем дело с вырожденной системой. Простейший случай вырождения мы встретили в гл. 6, где некоторые v/ оказались просто одинаковыми. В задаче Кеплера оказалось даже, что Vj=V2=V3. В этом случае можно вместо величин J, определяемых соотношениями (6.224) — (6.226), использовать любую их линейную комбинацию и, в частности, умноженные на 2л величины а , и а , введенные нами в 6.1. Если обозначить умноженные на 2л величины а , и з через J , Ji и Уз", а канонически сопряженные переменные — через W , inii и w i , то мы придем к невозмущенной системе, для которой [c.197]

В научной литературе встречается много приближенных уравнений, описывающих колебания вырожденных систем [8, 22, 23, 30], которые основаны на тех или иных предпосылках физического характера о поведении продольных и поперечных усилий по сечению в вырожденной системе и других механических величин. Затем появились различные уточнения классических уравнений колебаний, зачастую не согласующиеся между собой. В последние годы для вывода приближенных уравнений колебаний вырожденных систем стали применяться математические подходы, основанные на приближенном решении точной трехмерной задачи теории упругости или вязкоупругости с заданными начальными и граничными условиями, характеризующими как геометрию вырожденной системы, так и условия закрепления границ этих систем [22, 23, 43]. Однако каким бы из подходов не пользоваться, всегда должно выполняться очевидное условие — приближенные дифференциальные или инте-гродифференциальные уравнения колебаний должны принадлежать к уравнениям гиперболического типа [8]. [c.226]

В качестве примера вырожденной системы рассмотрим пластинку толщиной 2h, причем для простоты будем считать, что перемещения в пластинке зависят лищь от двух координат х, у. [c.258]

КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ в магнитном поле — осцилляторкая зависимость термодинамич, и кинетич. характеристик металлов и вырожденных noAijnpoeodnuKoe от маги. поля. К. о, обусловлены вырождением системы носителей заряда и квантованием их энергии при пориоднч. движении по орбитам,. замкнутым в импульсном пространстве см. Ландау уровни). [c.322]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...