Граничные условия и непрерывность

Приведенная выше схема правильного или нормального отражения (см. рис. ПО) на практике не осуществляется, если интенсивность падающей волны слишком сильна или угол р велик. В этих случаях, как показывают эксперименты, образуется волна ОЯ, которая встречает падающую волну 03 не на границе, а в некоторой точке над ней (рис. 111). От этой точки к границе идет прямая ударная волна ООу. Состояние газа за отраженной волной далеко от границы определяется последовательным прохождением волн 08 и ОЯ. Вблизи границы газ проходит только одну головную волну ООу. Такое отражение называется неправильным, или маховским, отражением. Из граничного условия и непрерывности давления следует, что в областях за ударными волнами 00 и ОЯ давление газа одинаково, а скорости имеют одинаковое направление, по величине же они так же, как плотность, различны. Эти условия будут выполнены, если допустить существование линии контактного разрыва ОК между указанными выше областями газа (см. рис. 111). Такое допущение находится в согласии с наблюдениями. В окрестности контактной поверхности ОК течение газа завихренное. Как было отмечено выше, маховское отражение наблюдается при больших значениях числа М или угла р. С другой стороны, при указанных значениях этих чисел по формуле (1.20) мы получим комплексные значения угла ш. Отсюда следует вывод маховское отражение [c.443]

Далее, рассмотрим обратный предельный случай, когда о) > > % а . Другими словами, время релаксации велико по сравнению с периодом колебаний в волне, и за время каждого периода не успевает произойти заметное выравнивание возникающих при деформации разностей температур. Было бы, однако, неправильным считать, что определяющие поглощение звука градиенты температуры порядка величины То/а. Тем самым мы учитывали бы лишь процесс теплопроводности внутри каждого кристаллита. Между тем основную роль в данном случае должен играть теплообмен между соседними кристаллами М. А. Исакович, 1948). Если бы кристаллиты были теплоизолированы друг от друга, то на границе между ними создавались бы разности температур того же порядка величины Тб, что и разности температур в пределах отдельного кристаллита. В действительности же граничные условия требуют непрерывности температуры при переходе через поверхности соприкосновения между кристаллитами. В ре- [c.183]

Эти уравнения должны быть выполнены в каждом из двух материалов й решение для каждого слоя должно удовлетворять граничным условиям, устанавливающим непрерывность напряжений и перемещений. Решения, удовлетворяющие записанным выше уравнениям и граничным условиям на поверхности элемента т] = О, имеют вид (множитель е- для удобства опущен) [c.287]

Если задано условие (1), то все граничные условия и условия непрерывности удовлетворяются, за единственным исключением, состоящим в том, что касательные перемещения внутренних сторон граничных элементов не совпадают в точности с соответствующими перемещениями сторон смежных внутренних элементов ). Эти смежные стороны лежат тем не менее в одной плоскости, и все углы соответствующих элементов совпадают. Поскольку условия непрерывности нарушаются только в весьма локализованных областях, мы предполагаем, что эта модель отличается от истинного решения, удовлетворяющего условию (1), лишь в тонком пограничном слое. Таким образом, отсюда следует, что для тел больших размеров эффективные модули, определяемые при условиях (1) и (7), (8), эквивалентны друг другу, а также модулю, определенному условием (2). Более того, поля напряжений и деформаций, определенные формулами (7) и (8), совпадают с полями, постулируемыми вдали от границ при задании либо условия (1), либо условия (2). [c.21]

Штрихами в данном случае обозначены производные по переменной X. К уравнению (2.85) добавляется всего четыре граничных условия и два начальных. В некоторых случаях стержень бывает нагружен внешней непрерывно распределенной по всей длине нагрузкой q x, t), значение которой меняется как по длине балки, так и во времени. Таким образом, вместо уравнения (Ь) получим [c.77]

Совокупность критериев подобия, характеризующая движение газожидкостных систем, может быть получена из рассмотрения уравнений движения сред, граничных условий, определяющих непрерывность скорости, нормального давления и касательных напряжений при переходе от одной среды к другой [Л. 8, [c.343]

Граничные условия и дополнительные ограничения. Для обеспечения нормальной работы механизма искомый закон движения кроме основного вариационного условия должен удовлетворять дополнительным условиям и ограничениям. Дополнительные условия, которые могут быть различными в разных задачах, разделим на две группы. Первая группа — условия, которым обязательно должен удовлетворять искомый закон движения на рассматриваемом отрезке [а, Ь для обеспечения нормальной работы механизмов. Искомый закон движения 1) является непрерывной функцией на рассматриваемом отрезке [а, 6] 2) принимает в граничных точках отрезка а. Ь наперед заданные значения, т. е. удовлетворяет соотношениям [c.18]

Считалось, что второй прием более эффективный при моделировании постоянных, а первый — переменных во времени граничных условий, однако наиболее целесообразным является использование в обоих случаях комбинированного метода реализации граничных условий III рода (гл. VII), когда Ra выполняется в виде двух составляющих одной, состоящей из полосок электропроводной бумаги (непосредственно стыкуется с границей модели — непрерывный подвод), и второй, представляющей собой дискретное переменное сопротивление, которое может меняться в процессе решения. Такая реализация граничных условий III рода устраняет искажения, вызываемые в поле потенциалов дискретностью подвода граничных условий и в то же время позволяет эффективно решать задачи теплопроводности с изменяющимися во времени коэффициентами теплообмена. [c.50]

При падении плоской монохроматич. волны на плоскую границу раздела двух однородных сред с разными свойствами происходит зеркальное О. в. (рис.). Амплитуды, фазы и направления распространения отражённой и преломлённой (прошедшей) волн определяются на основе согласования волновых полей по разные стороны от границы в соответствии с граничными условиями. Требование непрерывности фазы приводит к уни- [c.503]

Тепло Пельтье, выделяющееся на границах /—/ и 2—2, учитывается в граничных условиях, выражающих непрерывность температур и тепловых потоков. Если принять толщину среднего образца за 2 г, толщину периферийных пластин за h, то на границе 1—1 [c.15]

Для непрерывных зависимостей Tq (M) и qy i ) от координат точки М решение будет равномерно сходиться при М V, а равномерная сходимость в точках N ( S поверхности тела возможна, если для этих точек при О граничные условия однородны. В тех же точках поверхности тела, где граничные условия неоднородны, сходимость становится неравномерной, что затрудняет проведение практических расчетов по решению вида (4.42). Например, для N ( Si все члены ряда в (4.42) равны нулю, так как (Л ) = О при N Si, но в действительности в этих точках согласно (1.52) Т N, t) fx (N, t) 0. Ряд сходится к значениям Д N, t) во внутренних точках М V, бесконечно близких к точкам N но непосредственно для 5i дает нулевые значения. Чтобы в подобных случаях улучшить сходимость ряда в (4.42), целесообразно выделить из него в замкнутом виде частное решение, которое удовлетворяет неоднородным граничным условиям. Тогда оставшаяся часть решения в виде ряда будет удовлетворять только однородным граничным условиям, и ряд будет сходиться равномерно во всех точках в объеме и на поверхности тела. [c.164]

Требование гладкости граничных условий, включенное в дополнительные предположения ( 15.15), также необходимо. Если в какой-либо точке края оболочки меняется смысл граничного условия или терпит скачок функция, входящая в формулировку граничного условия, и через эту точку проходит действительная характеристика безмоментных уравнений у, то На V, вообще говоря, произойдет нарушение условий тангенциальной непрерывности. Это, видно из результатов решения полной краевой задачи для консольной цилиндрической оболочки, загруженной на свободном крае усилия и перемещения в данном случае определяются формулами (15.18.5), имеющими силу только тогда, когда в правых частях условий (15.18.4) функции П 1 и Si достаточно гладки. Другие примеры читатель найдет в 15.25. [c.221]

А, В находятся из граничных условий и условий непрерывности перемещений IV и напряжений (Т.и на поверхности контакта слоев [c.126]

Двенадцать неизвестных постоянных А, В, С, В определяются из граничных условий и условий непрерывности перемещений V, к напряжений <гз2, (Г33 на поверхностях контакта слоев (соединение слоев предполагается жестким). [c.127]

На неизвестном контуре Lj (/ => О, 1), разделяющем упругую и пластическую области вокруг отверстия, все напряжения непрерывны. На основании граничных условий и соотношений Колосова—Мусхелишвили получаем краевую задачу для определения аналитических функций Ф(z) и f(z) и неизвестного контура Lj [c.35]

Располагая вариационными уравнениями Лагранжа и Кастильяно, можем теперь дать вариационную постановку задачи теории упругости если задача решается в п е р е м е -щ е н и я X, то требуется найти такие перемещения и, которые непрерывны внутри тела, удовлетворяют геометрическим граничным условиям и минимизируют полную потенциальную энергию системы V если задача решается в напряже-н и я X, то требуется найти такие напряжения а, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и статическим граничным условиям и минимизируют полную дополнительную энергию системы У, [c.43]

Задачу, изображенную на рис. 7.16, можно представить как две отдельные краевые задачи, одну —для подобласти Ri и другую — для подобласти R2.. Эти две задачи, конечно, связаны условиями непрерывности (7.5.1) и (7.5.2) на поверхности контакта. Поступая, в сущности, таким же способом, как в 4.4, свяжем фиктивные нагрузки и Р с каждым элементом обоих контуров. Смещения и напряжения в подобласти Rx зависят только от фиктивных нагрузок и на iVj элементах контура С , а смещения и напряжения в подобласти R2. — от фиктивных нагрузок и на ЛГа элементах контура С ,. Следовательно, наша задача — найти фиктивные нагрузки на каждом из Ni + + ЛГ2 = ЛГ граничных элементов так, чтобы удовлетворить граничным условиям и условиям непрерывности на контакте подобластей. [c.170]

Граничные условия и условия однородности требуют, чтобы между слоями был непрерывный контакт, а верхний слой не испытывал срезывающих и нормальных напряжений за пределами нагруженной площадки. [c.369]

Для каждого слоя в локальной области используются предположения, обозначения и теория, разработанные в предыдущем разделе. Исходя из этого, уравнения поля, межслойные граничные условия и условия на кромках в пределах локального континуума остаются такими же, какими они уже были выведены. Подробности вывода уравнений равновесия, условий непрерывности и граничных условий в этой области здесь не повторяются. Для простоты приводятся только необходимые для рассмотрения уравнения. В глобальной области используется поле перемещений, основанное на предположении о [c.68]

Уравнения (9)—(11) представляют собой уравнение колебаний, граничные условия и соотношения непрерывности для пластинки, показанной на рис. 1(b), изгибные цилиндрические жесткости которой Pxi, H i, D yi и Dll определяются из уравнения (12). Жесткость единицы длины упругой сопротивляющейся среды на сторонах л = Оил =аи у = О п у = Ь также находится из уравнения (13). Таким образом, можно заключить, что собственная частота колебаний пластинки, показанной на рис. 1(a), совпадает с собственной частотой колебаний пластинки, показанной на рис. 1(b), при условии существования соотношений между обеими пластинками, определяемых уравнениями (12) и (13). Вывод показывает, что обобщенный метод преобразования, предложенный для пластинки постоянной толщины [6, 7], также может быть применен для пластинки переменной толщины, показанной на рис. 1. Из этого метода непосредственно вытекают три следующих факта. [c.160]

Возбужденные волны будут распространяться, поглощаясь но пути в соответствии с коэффициентами поглощения для продольных и сдвиговых волн, присущих данному материалу, иока не достигнут противоположных границ. Здесь они отразятся в соответствии с коэффициентами отражения, определяемыми граничными условиями и углами падения. При каждом отражении часть энергии продольных волн будет переходить в сдвиговые, и наоборот. После первых отражений произойдут вторые, третьи и т. д., до тех пор, пока вся начальная энергия не будет израсходована на поглощение или не перейдет через границы тела во внешнюю среду. Так как тело возбуждается непрерывно, то все эти последовательные отражения будут существовать одновременно, накладываться друг на друга и создавать очень сложную интерференционную картину, не поддающуюся никакому расчету. Акустическая нагрузка, которой в данном случае является это возбуждаемое тело для излучателя, будет определяться амплитудой и фазой суммарного ноля отраженных волн на площадке, к которой приложен излучатель. Хотя вычислить активную и реактивную составляющие этой нагрузки невозможно, однако они сравнительно легко могут быть измерены в каждом конкретном случае методом, изложенным в гл. 2, 2. Можно считать, что чем меньше площадь контакта излучателя с телом по сравнению с площадью поверхности последнего и чем сложнее конфигурация тела, тем меньшая часть отраженной энергии попадет на излучатель и, следовательно, тем меньше будет реактивная составляющая входного сопротивления нагрузки. Таким образом, входное сопротивление тела нерегулярной формы может быть близко к активному. В результате такого характера входного сопротивления рассматриваемого тела можно его возбуждать как апериодическую нагрузку, т. е. без подстройки волноводно-излучающей системы. [c.242]

Для расчета коэффициентов прозрачности и отражения имеются два граничных условия (принцип непрерывности) — равенство давлений и нормальных составляющих колебательной скорости сверху и снизу от границы, т. е. ни давление, ни колебательная скорость не должны испытывать скачков при переходе границы. Из них следует, что при х=0 суммарные импедансы волн сверху и снизу от границы равны [c.45]

Таким образом, если доказано существование и единственность состояния, удовлетворяющего аксиомам, граничным и начальным условиям, и непрерывно зависящего от данных задачи, то можно надеяться, что построено математическое описание физически реализуемого упругого состояния. Поставленная так задача называется корректной ). [c.54]

Функции, принадлежащие к классу допустимых в нашей вариационной задаче, должны, кроме выполнения граничных условий, иметь непрерывные частные производные первого порядка частные же производные второго порядка, если они и не будут конечными, должны быть таковы, чтобы интеграл работы деформации (5) имел конечное значение. [c.152]

При задании функции / (ц) должны быть выполнены определенные граничные условия для профиля скоростей и (у) и, следовательно, для самой функции / (т)). Во всяком случае должны быть выполнены условие прилипания, т. е. равенство и = 0 при = О, и условие смыкания с потенциальным течением, т. е. равенство и = и при у = 8. Другими граничными условиями ЯВЛЯЮТСЯ непрерывность изменения касательной и непрерывность изменения кривизны профиля скоростей и (у) при смыкании последнего с потенциальным течением, т. е. соблюдение равенств [c.196]

Приняв во внимание допущение (9), граничные условия, выражающие непрерывность тангенциальной компоненты магнитного поля и нормальной компоненты индукции на поверхности цилиндра, можно представить в виде [c.166]

Из граничных условий о непрерывности нормальных смещений и напряжений при X = О можно получить следующую систему трех уравнений [c.12]

Одним из выдающихся достижений конца XIX в. явилась электромагнитная теория света Максвелла, связавшая между собой электрические и оптические явления. Соответственно новая форма граничных условий требует непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля. Однако это уточнение не всегда существенно для нашей проблемы. Многие задачи рассеяния, включая поляризационные эффекты, можно сформулировать как в терминологии Френеля, так и на современном языке посредством электрического и магнитного полей. [c.17]

Граничные условия и непрерывность. Для рассматриваемого случая граничные условия таковы, что смещение слева от границы раздела равно смещению справа от границы. Иными словами, смешение 1])(2, t) непрерывно. Непрерывны также скорость d- z, i)ldt и возвраищющая сила—70 (2, t)/di. В то время как непрерывность скорости и смещения на границе очевидна, непрерывность возвращающей силы требует некоторых замечаний. (Например, можно думать, что непрерывным должен быть наклон струны dip(z, t)/dz, а не произведение наклона на натяжение. Однако если на границе изменено натяжение, т. е. натяжение второй струны отлично от натяжения первой, то на границе может образоваться изгиб . [c.220]

Из системы уравнений (11.56) определяются параметры оптимизации а,-, после чего зависимости для оптимального закона движения на г-м участке (11.47) приобретают численный вид. Таким образом, динамически оптимальный закон движения на отрезке [О, 1] построен как непрерывная функция, удовлетворяющая однородным граничным условиям и изоперимет-рическому условию (11.31). [c.44]

Переход от общей теории оболочек к безмоментной теории сопровождается понижением порядка уравнений. Поэтому необходимо условиться, какие краевые задачи должны ставиться для безмоментных уравнений, чтобы их решение представляло определенный физический интерес. Напрашивающийся ответ на этот вопрос заключается в том, что безмоментные уравнения надо интегрировать с учетом таких граничных условий и таких условий сопряжения, которые связаны с тангенциальными (параллельными касательной плоскости) направлениями, т. е. что в безмоментной теории, должны быть сохранены только тангенциальные граничные условия и условия тангенциальной непрерывности. Эта точка зрения и будет принята в настоящем разделе книги. Она оправдана результатами, полученными в части П. Во всех рассмотренных там примерах оказалось, что решение сфорл улиро-ванной таким образом безмоментной краевой задачи определяет в первом приближении напряженно-деформированное состояние оболочки с точностью [c.211]

Замечание. Принятая постановка краевых задач безмоментной теории неуниверсальна, так как могут встретиться случаи, когда невыполнимо разбиение граничных условий и условий непрерывности на тангенциальные и нетангенциальные. Для граничных условий это может произойти, иапример, в случае, когда направление бесконечной жесткости опоры расположено косо, т. е. составляет с нормалью угол, отличный от нуля и я/2. Для условий непрерывности это произойдет тогда, когда они ставятся на линии излома срединной поверхности. Такие случаи мы исключим из рассмотрения в настоящем разделе книги и вернемся к ним в части IV. [c.212]

В работах Пуассона (1828) и Стокса (1849) четко установлена возможность существования в неограниченной изотропной упругой среде двух типов волн, распространяющихся с различной скоростью. Одна из них характеризуется безвихревым изменением объема (безвихревая продольная волна), другая связана с искажением формы (эквиволюмиальная поперечная волна). Открытие этих типов волн способствовало появлению трудностей в толковании исходной гипотезы Френеля. Особенно сильно эти трудности проявились при рассмотрении задачи об отражении и преломлении плоских волн на границе раздела двух упругих сред. В работах Коши (1830— 1836) и Грина (1839) установлено, что для выполнения шести граничных условий, выражающих непрерывность смещений и напряжений на границе раздела, необходимо учитывать как поперечные, так и продольные волны. Однако продольные световые волны в экспериментах не были обнаружены. Интересно, что открытые Рентгеном (1895) новые лучи вначале отождествлялись рядом физиков (в том числе и автором открытия) с продольными световыми волнами. [c.9]

Корректная краевая задача теории упругости. Исходную краевую задачу теории упругости будем называть корректной, если 1) существует единственное решение этой задачи (решение предполагается непрерывным в смещениях всюду в конечной области при отсутствии сосредоточенных воздействий), 2) решение устойчиво по отношению к малым возмущениям граничных условий и формы тела в следующем смысле если форма тела и граничные условия претерпели изменения на некотором малом участке, такие, что разность главных векторов и главных моментов возмущенной и невозмущенной внешних нагрузок равна нулю, то при стремлении всех размеров этого участка к нулю отношение характерных Бозмущенных напряжений к соответствующим невозмущенным будет всюду как угодно близко к единице. Под характерными понимаются компоненты тензора напряжений, не равные тождественно нулю в возмущенном или невозмущенном состоянии. л [c.55]

В численных расчетах осуществляется переход от непрерывных распределений параметров погока и других величин по пространству и процессов их изменения во времени к дискретным. Нестационарный вихревой слой на крыле и за ним моделируется системой дискретных вихрей, представляющих собой прямолинейные или кольцевые нити в зависимости от формы крыла (рис. 2.2). Непрерывный процесс изменения во времени граничных условий и аэродинамических нагрузок на несу[цей поверхности заменяется ступенчатым (рис. 2.3). Полагается, что граничные условия и нагрузки скачкообразно изменяются в некоторые расчетные моменты времени т = 0, (,- = О, 1,. ..), а в промежутках между данными моментами остаются неизменными и равными чначсния этих величин в начале каждого промежутка. [c.53]

Коэффициенты ss,. .. для i-ro уравнения системы (7.5.16) находим теперь, учитывая граничные условия и условия непрерывности вдоль контуров Q и j. В соответствии с определениями (7.5.17) смещения и — неизвестные граничные параметры вдоль контура j (i < A j), а напряжения 202У о и (2G2) a , — неизвестные параметры вдоль контура (где Л 1 + 1 <. i <. N). Поэтому, образуя систему (7.5.16) из [c.176]

Обе формулы (86) и (87) и являются основою приближенного способа, который состоит в том, что вместо шарнирной цепи с 6e KvjHe4Ho большим числом бесконечно малых отдельных звеньев, заменяюь,ей непрерывный стержень, мы должны взять шарнирную цепь с небольшим числом звеньев. Вследствие этого диференциальные уравнения для непрерывной балки перейдут в уравнения в конечных разностях для шарнирной цепи. В остальных отношениях ход вычислений для определения критической нагрузки остается такой же, какой мы применили в первои параграфе этой главы. Как и там, мы сообщим шарнирной цепи, находящейся в равновесии, бесконечно малые возможные перемещения, совместные с граничными условиями, и напишем условия равновесия для [c.355]

Граничных условий и влияния вихревых площадок, кроме рассматриваемой, то она вместе со своими производными остается непрерывной и конечной вблизи первой площадки и при вступлении внутрь ее. Мы можем в формуле (3) вынести хфоизводные 4, за знаки интегралов и приписать им значения, соответствующие точке, лежащей вне площадки на расстоянии, весьма близком от ее центра. Получим [c.657]

Сеточные модели используются для решения краевых задач, описываемых двух- или даже трехмерными уравнениями Лапласа, Гельмгольца или Фурье. Модели содержат плоскую или объемную сетку из сопротивлений, имитирующую непрерывную среду, блоки задания граничных и начальных условий, блоки измерений. В зависимости от вида решаемой задачи сетки могут состоять из резисторов, в том числе нелинейных (варисторов), комбинации резисторов и конденсаторов ( С-сетки) или резисторов и катушек индуктивности RL-сеткц) [37, 38]. Модели обладают большим быстродействием, высокой стабильностью, что делает их перспективными в качестве прогнозирующих моделей в системах автоматического управления индукционными нагревателями. Однако при их реализации возникают значительные сложности в задании граничных условий и внутренних источников и в учете нелинейных свойств моделируемого объекта. [c.50]

Будем понимать здесь под поверхностными волнами строгие решения уравнений теории упругости, пьезоэффекта и уравнений Максвелла, удовлетворяющие граничным условиям и принципу погашаемости [79]. Возможность существования таких решений для кристаллической среды является не вполне тривиальным фактом, поскольку поверхностная волна в кристалле, распространяясь по 0 (рис. 3.23), непрерывно изменяет направление своего [c.248]

При интегрировании уравнений (8.24) или (8.25) следует иметь в виду, что определению подлежат две отдельные функции перемещений функция прогибов V (г) и функция углов поворота сечений (р (г). Последние уже не связаны с прогибами простым соотношением (8.1),, как это было без учета сдвигов. Их зависимость определяется равенством (8.22). о создает свои особенности при формулировке граничных условий и условий. непрерывности перемещений на границах участков интегриртва-ния. Так, например, в заделке граничные условия при 2=0 будут 1) V (0) = 0 и 2) (р (0) = 0. При этом из второго условия и равенства (8.22) следует, что касательная в заделке повернется на угол д=Уср- [c.241]

Хотя оператор переноса нейтронов Ь не является самосопряженным, можно тем не менее определить сопряженный ему оператор так, что для любой функции 1 )+, удовлетворяющей опреде аенным граничным условиям и условиям непрерывности, отличающимся, вообще говоря, от тех же условий для функции ф, будет выполняться соотношение [c.199]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...