Особые точки поля

Теорема. Для типичного семейства векторных полей множество особых точек полей семейства образует гладкое подмногообразие в прямом произведении фазового пространства на пространство параметров. [c.15]

М Множество особых точек полей семейства имеет вид. (х, e) v x, е)=0 . По лемме Сарда множество критических значений отображения v имеет меру нуль. Следовательно, существует вектор б произвольно малой длины, для которого —6 — некритическое значение отображения v. Множество v x, е)=—6 —гладкое многообразие по теореме о неявной функции. Но это многообразие есть множество особых точек векторных полей семейства v х, е) +6. [c.15]

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

Некоторые глобальные бифуркации на бутылке Клейна. До недавнего времени оставалась нерешенной проблема существует ли на компактном многообразии однопараметрическое семейство векторных полей с базой [О, 1], имеющих при Е<1 предельный цикл, длина которого неограниченно возрастает при Е 1 цикл расположен на положительном и отделенном от нуля равномерно по в расстоянии от особых точек поля Ue и исчезает при е=1. Такая бифуркация цикла получила название катастрофа голубого неба [184]. [c.105]

Тогда все некритические векторные поля семейства, достаточно близкие к критическому, в некоторой окрестности гомо-клинической траектории задают системы Морса—Смейла не более чем с двумя неблуждающими траекториями, одна из которых — особая точка поля. Векторные поля семейства, соответствующие значениям параметра по одну сторону от нуля, не имеют других неблуждающих траекторий соответствующие значениям параметра по другую сторону от нуля имеют предельный цикл. Размерность устойчивого многообразия этого цикла на единицу превышает размерность устойчивого многообразия седла или совпадает с ней, в зависимости от того, отрицательна или положительна седловая величина о. А [c.128]

Пример. Рассмотрим гиперболическую особую точку векторного поля в R" с устойчивым многообразием W и неустойчивым 11 . Пересечение М неустойчивого многообразия с некоторой окрестностью особой точки поля является отрицательно инвариантным многообразием. Пусть %i — собственные значения особой точки с отрицательной, а — с положительной вещественной частью. Тогда показатели притяжения к Л1 и сближения на М имеют вид [c.154]

Особые точки поля, или точки равновесия, представляют собой те точки, в которых изображающая точка может находиться в покое. Продолжим исследование устойчивости системы, которое мы начали в гл. IX. [c.370]

Нетрудно определить индекс для каждого типа особых точек, рассмотренных в предыдущей главе. Как и ранее, поместим начало координат в особой точке поля. Тогда будем иметь [c.386]

Именно такой результат, конечно, и следовало ожидать, учитывая выводы гл. XIX, относящиеся к случаю тп = 2. Для этого случая было установлено, что если собственные значения для линейного приближения чисто мнимые, то особая точка поля Fq устойчива если же рассматривать эту точку как особенность ноля F, то можно получить как устойчивость, так и неустойчивость. Чтобы решить вопрос об устойчивости, можно воспользоваться преобразованием Т = как это показано в 21.14. [c.426]

Линии тока являются интегральными кривыми уравнения (6), а особым точкам поля скоростей в плоском движении соответствуют особые точки дифференциального уравнения (6). На рис. 59 показаны картины линий тока источника и стока, находящегося в точке О плоскости, что соответствует особой точке уравнения (6) — узлу, через эту точку проходит бесчисленное множество линий тока, а скорость в точке О равна бесконечности. На рис. 60 приводятся линии тока, окружающие точечный вихрь в точке О (понятие вихря будет в дальнейшем разъяснено). С точки зрения теории дифференциальных уравнений этой особенности поля скоростей соответствует особая точка — фокус. Скорость в точке О равна бесконечности. Наконец, в качестве третьего примера рассмотрим критические точки А ж В разветвления потока около круга (рис. 63). Как показано на рисунке, внешний по отношению к кругу поток соответствует обтеканию круга, а внутренний — течению внутри круга, обусловленному наличием в точке О особенности — диполя. В точках А ж В скорости потока равны нулю, в точке О — бесконечности. Можно заметить, что точки А ж В являются седлообразными особыми точками, через каждую из них проходят только две интегральные кривые. Точка О аналогична узлу с интегральными кривыми, имеющими в точке О общую касательную. [c.34]

Здесь (рис. 134) Г < 0, С > 0, 2 < и по (82) dVi < 0, что как раз и соответствует показанному на рисунке расположению точки О, где определяется элементарная индуктивная скорость по отношению к вихревому лучу, выходящему из точки М. От элементарной индуктивной скорости dVi перейдем к полной индуктивной скорости П в точке О, производя суммирование величин dvl по всем элементарным полоскам вихревой пелены, исключая ту, которая исходит из отрезка несущей линии (г — е, 2 -Ь е), заключающего внутри себя точку О с координатой 2. Это объясняется тем, что, как известно, вихревая нить не индуцирует определенных скоростей в своих точках, которые являются особыми точками поля скоростей вокруг вихревой нити. Величина е может быть выбрана сколь угодно малой и в результате указанного суммирования будем иметь следующее выражение индуктивной скорости [c.305]

Пусть 5 — сфера достаточно большого радиуса с центром в начале координат. Из оценок (6.22) и (6.28) вытекает, что ни в одной точке сферы 5 векторы и не оказываются противоположно направленными и ни в одной точке сферы не обращается в нуль. Отсюда следует, что вращения векторов V а W уц сфере 5 совпадают. Но было доказано, что индекс точки Л" — О как особой точки поля W равен 1. Сфера 5, в силу неравенства (6.22), не охватывает особых точек поля отличных от начала координат, и потому вращение вектора на сфере 5 равно 1. Следовательно, вращение V на сфере 5 также равно 1, а это значит, что сфера 5 охватывает хотя бы одну особую точку вектора V. Эта точка является, очевидно, неподвижной точкой преобразования Т. [c.92]

ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОЛЯ 25 [c.25]

Особые точки поля [c.25]

В этом параграфе мы продолжим описание идеализированных моделей, вводимых в теорию дифракции, и нахождение тех дополнительных условий, которые при этом приходится ставить. Начнем с представления о таких особых точках поля, в которых поля могут обращаться в бесконечность. В конце параграфа будут рассмотрены условия, возникающие при введении понятия о бесконечно удаленных точках поля. [c.25]

ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОЛЯ 27 [c.27]

ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОЛЯ 29 [c.29]

J 3] ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОЛЯ 31 [c.31]

В настоящее время проблема описания и исследования процесса разделения твердых тел, как правило, рассматривается с позиции хрупкого разрушения [1, 2, 3]. В данных моделях область зарождения разрушения есть окрестность особой точки поля напряжений, и основной проблемой при построении математической модели является моделирование переходного процесса от непрерывного поля перемещений к разрывному. Данные теории трактуют процесс образования новых поверхностей как неизбежное зло и призваны предсказать те условия внешнего воздействия на конструкцию, при которых разрушения не возникает. Следовательно, такие подходы неспособны описать и установить возможность разделения материала в управляемом режиме, когда линия разреза не задана. [c.191]

Т. е. величина скорости обратно пропорциональна расстоянию от источника (стока) или вихря. В начале координат скорость бесконечно велика начало координат является особой точкой поля скоростей, а источник (сток) или вихрь называют гидродинамическими особенностями потока. в дальнейшем нам придется иметь дело и с другими особенностями потока диполем, вихреисточником. [c.204]

О простую замкнутую кривую С, внутри которой лежит особая точка О системы (I), и предположим, что ни внутри С, ни на ней самой нет других особых точек поля. [c.214]

Центр —особая точка поля напряжений, реальный материал не сохранит в его окрестности сплошности, следует ожидать образования трещины. [c.393]

Особые л очки общего положения. Оператор А линейной части векторного поля в особой точке поля общего положения [c.29]

Теорема. Векторное поле на окружности задает структур но устойчивую систему, если и только еслн оно имеет лишь не вырожденные особые точки (особая точка поля V называете невырожденной, если линеаризация поля в особой точке — не вырожденный оператор). Два векторных поля с невырожденны ми особыми точками на окружности топологически орбиталь эквивалентны, если и только если числа особых точек у ни одинаковы. Структурно устойчивые поля образуют в простран [c.44]

Все особые точки поля гиперболические. [c.45]

Лемма. Гладкому неплоскому в нуле векторному полю х , заданному в окрестности точки О плоскости соответствует гладкое поле направлений а, определенное в некоторой окрестности вклеенной прямой Ь на поверхности М всюду, за исключением конечного числа точек, расположенных на Ь и называемых особыми. При проектировании я поле а переходит в поле направлений, порожденное полем у. В окрестности каждой особой точки поле а порождается некоторым гладким векторным полем о, не плоским в особой точке. [c.86]

Можно оценить индекс и для векторных полей V с бесконечно удаленными особыми точками . Число ind определено, если область Ро>0 содержит только изолированные особые точки поля V. Число ind определено, если все особые точки V изолированы. [c.173]

При небольшом шевелении Г , ind(l/) не изменится. Зададим Гоо уравнением > a -> = i, где близкие к единице числа aj рационально независимы, а i — около р —1/2. Буде увеличивать t. Индекс не изменится, пока Г , не пройдет через особую точку поля V т) с центрального сечения >lj = p. В этот момент поле V выродится и его индекс изменится на единицу. [c.174]

В случае центрированного поля предел для напряжений при приближении к полюсу зависит от направления (от того, по какой линии скольжения приближаться к полюсу) и, следовательно, полюс - особая точка поля напряжений. [c.100]

В зависимости от раз.пичных начальных условий имеем семейство концентрических эллипсов, отличающихся друг от друга только одним параметром — постоянной энергии. Начало координат (поло-X жение равновесия гармонического осциллятора) в соответствии с общепринятой классификацией особых точек представляет собой центр. [c.213]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

Свойство инвариантности позволяет произвольно деформировать контур интеп>ирования Г-интеграла по незамкнутому контуру, не изменяя величины интеграла, если концы контура неподвижны и контур при деформировании не пересекает особых точек и особых линий поля. Величина Г-интеграла по замкнутому контуру (любой связности), содержащему внутри себя особые точки и особые линии поля, не изменяется при любой деформации контура, если при деформировании контур не пересекает особых точек и особых линий поля. Поэтому величину Г-интеграла по замкнутому контуру, содержащему внутри себя одну особую точку поля, можно считать основным физическим параметром, характеризующим состояние поля в этой точке. Точно так же величину Г-интеграла по контуру [c.12]

При анализе процесса накатки шлицев за основу исследования напряженного состояния принимается поле линий скольжения, предложенное для волочения через гладкую матрицу Хиллом [1]. Поле линий скольжения показано на рис. 3, а. Допускается, что нормальные напряжения, действующие на поверхности контакта АВ, распределены равномерно. Это условие определяет поле линий скольжения А—В—И, состоящее из взаимно перпендикулярных прямых. Угол а находится из уравнения (8). Точки А и В являются особыми точками поля линий скольжения и определяют центрированные поля А—10—И, В—11—01. Линии скольжения в области 10—И—01—00 строятся от двух дуг окружностей И—10, 11—01. Материал заготовки вне области А—00—В принимается жестким. Линии скольжения А—10— 00, В—01—00 являются жесткопластическими границам , по которым яроисходит разрыв касательной компоненты [c.99]

Внедрение гладкого клинообразного в плане штампа 235 Точка В будет особой точкой поля напряжений, в которой величина / меняется в пределах —тг/2 у 0. Замечая, что 0 = л /2, из первого уравнения (1.18.8) получим Р = г — 1/2. В точке В характеристики второго семейства стягиваются в точку с координатами 0 = л /2, ф = = у. Значения функций Р и у в точке Р и на характеристике ВМ позволяют построить решение в области ВМРЕ Е (вырожденная задача Гурса). Полученные значения Р и / на характеристике ВЕ и граничные условия (1.18.12) на ОВ 0 = к/2, ф у определяют решение в области ОВЕ (задача смешанного типа). Приводим распределение напряжения = ое/2/г по основанию ОВ штампа [c.235]

Из формул (66) и (67) следует, что Г определяет поле скоростей частиц жидкости (величину работы вектора скорости по какой-либо линии тока). Мы будем называть Г циркуляцией точечного вихря, помещенного в начале координат (при рассмотрении пространственного потока лучще говорить, что Г есть циркуляция вихря, совпадающего с осью Oz). Из формулы (66) мы заключаем, что при г->0 У- оо. Следовательно, начало координат (точка О), где расположен точечный вихрь, является особой точкой поля скоростей. [c.293]

Определение XIII. Индексом (или индексом Пуанкаре) изолированной особой точки О векторного поля i соответствующего динамической системе, или индексом состояния равновесия системы (I), называется индекс любой замкнутой кривой С, содержащей внутри себя точку О, причем такой, что ни внутри С, ни на ней самой нет других особых точек поля V. [c.215]

Следствие ([121]). Индекс ind изолированной особой точки поля V= (Рь. . ., Р ) с однородными компонентами степени m = mi,..., rhn удовлетворяет неравенству jind П(т) и сравнению ind = (jimod2. Никаких других ограничений на число ind не существует. [c.173]

Sj = p e, e>0, окажутся при этом в разных полупространствах с границей Г >. Индексы прообразоз особых точек поля V (т), лежащих на этих сечениях, компенсируют друг друга. Значит, индекс полученного поля V равен +П(от). В явном виде Pi x)= Л [(р—1 /2)Xi — k Zxi + 1)]. [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...