Формы колебаний нормальные

Таким образом, система (8.24) после перехода к новым обобщенным координатам (8.25) распалась на два независимых уравнения (8.26) и (8.27), каждое из которых описывает движение с одной свободной координатой (о, или соответственно). Преобразование координат, подобное выполненному выше, возможно при любом числе степеней свободы (если только трение отсутствует). Такие обобщенные координаты называются нормальными, а соответствующие им формы колебаний — нормальными формами. Особенность этих форм состоит в том, что колебания по каждой нормальной форме совершаются совершенно независимо от колебаний других форм. [c.230]

Преимущество этого метода над обычным анализом переходного процесса заключается в его экономичности и простоте. Главным вычислительным этапом служит получение достаточного количества собственных форм колебаний (нормальных мод) для представления полного частотного диапазона входного возмущения и результирующего отклика. Недостатком метода является то, что точность может вызывать сомнение, и необходим специальный ввод данных в последовательность решения. Во многих случаях анализ переходного процесса, выполненный с дей ствительными возмущающими нагрузками, может оказаться более точным и более легким. [c.52]

Заметим, что число нормальных форм колебаний и равное ему число собственных частот совпадает с числом степеней свободы колебательной системы и что две нормальные формы колебаний ортогональны, т. е. имеет место соотношение [c.557]

Таким образом с учетом ортогональности нормальных форм колебаний система (5.181) приобретает вид [c.255]

Дифференцируя последние соотношения по t [с учетом (5.185)] и применяя метод осреднения, получим соответственно для первой и второй нормальных форм колебаний усредненные системы дифференциальных уравнений [c.256]

Учитывая (5.189) и проводя аналогичные преобразования (5.183), получим для двух нормальных форм колебаний /1 (t), /2 () в первом приближении метода усреднения следующие системы усредненных дифференциальных уравнений [c.257]

Форма кривой изгиба для различных форм колебаний определяется нормальной функцией (а) при i = 2 = 0 и Сг—Сс [c.124]

Каждому нормальному колебанию соответствует определенное распределение амплитуд по координатам, или определенная форма колебании. Формы колебаний, соответствующие разным собственным частотам, ортогональны друг другу. Для того чтобы показать это, запишем уравнение (8.1.7) для з-й и г-й форм колебаний [c.285]

Последние два соотношения являются условиями ортогональности 5-й и г-й форм колебаний. Вектор называется вектором силы инерции, соответствующим з-му нормальному колебанию, а вектор kKs — вектором силы упругости, соответствующим тому же колебанию. Поэтому соотношения (8.2.5) и (8.2.6) можно трактовать как условия ортогональности формы г-го нормального колебания к векторам силы инерции и силы упругости, соответствующим 5-му нормальному колебанию. Использование условий ортогональности нормальных колебаний дает возможность получить некоторые соотношения, общие для любых систем с п степенями свободы. Покажем, например, что кинетическая энергия любого собственного колебания равна сумме кинетических энергий всех нормальных колебаний. Кинетическую энергию системы (8.1.4) в матричной форме можно записать в виде [c.286]

Колебания, описываемые одной гармоникой, называются первыми нормальными колебаниями. Поскольку величина k2i отношения амплитуд не зависит от начальных условий, то рассматриваемые одночастотные колебания характеризуются вполне определенным соотношением амплитуд, зависяш,им только от параметров системы. Следовательно, K21 определяет первую нормальную форму колебаний. [c.619]

При изучении вынужденных колебаний таких упругих систем удобно представлять внешнюю нагрузку совокупностью обобщенных сил, соответствующих нормальным формам колебаний. При ЭТОМ амплитуду каждой из форм можно принять за обобщенную координату, характеризующую положение системы. Соотношения между амплитудой периодически изменяющейся внешней нагружающей силы и амплитудой колебаний соответствующей формы даются формулами, подобными тем, какие были получены для [c.233]

Лопатки компрессоров и турбин газотурбинных двигателей (ГТД) в процессе нормальных условий эксплуатации подвергаются растяжению под действием динамической нагрузки от вращения ротора с изгибом и скручиванием под действием газодинамического потока. Частота и форма колебаний лопатки неоднородны по ее высоте, что соответствует переменному двухосному напряженному состоянию. Для различных ступеней частота собственных колебаний лопаток различна и составляет от несколько сот герц для первых ступеней вентилятора до нескольких тысяч герц для последних ступеней компрессора. [c.567]

Л г) кр — критическое значение ТУ,-, соответствующее потери устойчивости п — общее число слоев в материале номер формы колебаний в окружном направлении р — нормальное давление [c.252]

Классический метод нормальных форм колебаний [c.23]

Дискретные числа называются собственными значениями, и они непосредственно определяют собственные частоты конструкции функции (fn x/L) называются собственными функциями или нормальными формами колебаний. Поскольку они описывают решения однородного уравнения без демпфирования, то оказывается, что любая нормальная форма колебаний, возникнув, будет существовать бесконечно долго и ей будет соответствовать собственная частота Мя. [c.25]

Определив нормальные формы колебаний системы как дискретную бесконечную систему функций, которые удовлетворяют однородному уравнению движения, собственные значения — как систему дискретных значений частот, при которых эти движения могут существовать, следует обратить внимание на некоторые полезные свойства нормальных форм и собственных значений. Во-первых, вновь обращаясь к уравнению движения, видим, что [c.25]

Свойство нормальных форм колебаний, которое далее обсуждается, является основой для метода нормальных форм колебаний. Речь идет о том, что при любых движениях системы, описываемых уравнением (1.1) и концевыми условиями (1.2) или любой другой системой уравнений и концевых условий, перемещения при колебаниях можно всегда представить как бесконечный ряд соответствующих нормальных форм колебаний [c.26]

Теперь не представляет труда с помощью метода нормальных форм колебаний учесть линейное демпфирование. Например если требуется заменить на ( 1 -f it]) в уравнении движения, то при этом ничего в процессе решения не изменится и модуль Юнга можно заменить на его комплексный аналог на любом этапе решения, и решение (1.31) примет вид [c.27]

Связь между дискретными методами и методом нормальных форм колебаний. В общем случае реакцию системы можно описать с помощью следующего выражения [c.35]

Собственные частоты колебаний этой системы можно теперь найти, вычисляя значения к, при которых определитель матрицы уравнения (4.101) равен нулю. После того как представляющие интерес собственные частоты определены, можно найти соответствующую п-й собственной частоте нормальную форму колебаний, подставляя найденное значение Хп в систему (4.101) и решая ее относительно произвольных семи постоянных и выражая их через восьмую. Таким образом, форма колебаний определяется выражениями (4.91) и (4.92) с точностью до постоянного множителя, который можно выбрать из какого-либо условия нормировки. [c.177]

КИН К классическому прием решения задач о вынужденных колебаниях, а именно метод нормальных форм колебаний, согласно которому функции возбуждающей силы и динамических перемещений раскладываются в ряд по формам колебаний системы без демпфирования, которые полагают известными. Согласно сказанному, имеем [c.178]

Учитывая, что каждая нормальная форма колебаний удовлетворяет уравнению [c.178]

Поскольку функции нормальных форм колебаний обладают свойством ортогональности [c.179]

Однако если рассматривается случай, когда балка (с пренебрежимо малым демпфированием) опирается на пружины, имеющие заметное демпфирование, что имеет место в том случае, когда упругие элементы изготовляются из эластомера с комплексным модулем и коэффициентом потерь г) 0,2, то метод нормальных форм колебаний становится менее удобным. Демпфирующие силы от каждой пружины приходится вводить как внешние силы, пропорциональные перемещению в пружине и находящиеся в фазе или противофазе со скоростью перемещения в пружине. Учет этих членов связывает уравнения и делает решение путем разложения по формам недемпфированных колебаний чрезвычайно громоздким. [c.180]

Если теперь разложить функции W х) и F x) в ряды по нормальным формам колебаний балки без демпфирования, то, поскольку эти формы должны удовлетворять однородному уравнению [c.215]

Исследование влияния настроенных демпферов на динамическое поведение тонкостенных конструкций показало возможность применения изолированных настроенных демпферов из эластомеров для управления динамическими перемещениями по нескольким формам колебаний. Для таких исследований можно применить метод нормальных форм колебаний и определить влияние настроенных демпферов на поведение конструкций, состоящих из набора панелей, подкрепленных стрингерами и рамами [5.28], а также использовать метод передаточных матриц, который дает возможность оценить влияние настроенных демпферов на поведение изогнутых тонкостенных конструкций с подкреплением (рис. 5.18) [5.13]. [c.229]

Осуществим переход в (5.181) к нормальным формам колебаний U-2 (О = < иф1 (О + iiifiii), ф-2 (О = 2l/l (О "Ь < 22/2 (0> [c.254]

Конечно, колебания струны вследствие сопротивления воздуха и внутреннего третш в резине постепенно затухают. При этом не только уменьшается амплитуда колебаний струны, но изменяется и форма колебаршй. Это объясняется тем, что, оттягивая струну в одной точке, мы возбуждаем в пей не одно нормальное колебание, а ряд нормальных колебаний (все, для которых эта точка ire является узловой). Но частоты этих колебаний различны и затухают эти колебания с разной скоростью ---тем быстрее, чем выше частота колебаний. Поэтому и изменяется форма колебаний к концу в струне остается только одно [гормальпое колебание, соответствующее наиболее низкой частоте, и колеблющаяся струна принимает форму синусоиды (рис. 425). Отдельные точки струны колеблются с одной и той же частотой, но с разными амплитудами, причем эти амплитуды распределяются по закону синуса. [c.653]

Вторая форма колебаний, очевидно, определится отношением Х22 = Я,22/ ч2 в том случзс, когдз начальные условия выбраны такими, при которых А,ц=0 и осуществляются вторые нормальные колебания, описываемые формулами [c.619]

Можно показать, что у динамической модели, имеющей d-кратное собственное значение, из соответствующих ему d орто-нормированных собственных форм d — 1 форм могут быть построены так, чтобы в каждой из них произвольная /-я (/с-я) компонента равнялась пулю. Указанное является принципиальной предпосылкой существования у модели такого машинного агрегата рассмотренных выше собственных форм, соответствующих нормальным колебаниям, инвариантным относительно локализованных возмущений. При использовании условий (18.23) иредиола-тается, что ортонормированные собственные формы динамической [c.286]

Нормальные формы колебаний некоторых механических систем не являются ортогональными. Таковыми, например, являются резонансные формы струн и стержней, к концам которых присоединены зависящие от частоты импедансы, нормальные волны в твердых волноводах и другие. Неортого-нальность создает дополнительные трудности при расчете этих систем на вынужденные колебания и не дает возможности точно решить ряд практически важных задач. [c.6]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Отметим, что использование нормальных форм колебаний диа-гонализует матрицу, описывающую решение, и выражение [c.27]

Возможны и другие методы решения задачи о вынужденных колебаниях с произвольно распределенным вязким или гисте-резисным демпфированием. Было показано, например, что для этих случаев можно получить несвязанные уравнения движения линейных систем, если использовать комплексные функции демпфированных нормальных форм колебаний и комплексные собственные значения. Однако эти демпфированные нормальные формы не совпадают с классическими нормальными формами колебаний системы, обсуждавшейся здесь, и определять их оказывается непросто [4.5, 4.6]. [c.180]

Современный, основанный на методе конечных элементов подход является перспективным при исследовании динамических характеристик сложных конструкций, в которых могут возникать колебания различных форм. Многоцелевые пакеты программ NASTRAN, ANSYS и MAR [4.12] давно используются многими исследователями для решения задач о колебаниях конструкций. Обычно метод конечных элементов используется для определения резонансных частот и нормальных форм колебаний. Многие из этих пакетов программ позволяют учитывать в той или иной форме демпфирование. Однако если метод конечных элементов используется для получения количественных оценок влияния вязкоупругих материалов, имеющихся в рассматриваемой конструкции, то следует быть очень внимательным, чтобы не попасть в ловушку. Опасность здесь таят как необозримо большое время расчета на ЭВМ и высокие требования при работе с комплексными числами, характеризующими жесткости, так и чрезмерное упрощение задачи при попытке получить решаемую систему уравнений, поскольку эти уравнения будут неправильно моделировать реальную задачу. [c.187]

Из Приведенных соотношений видно, что теория динамического поведения произвольной однопролетной балки, для которой с определенной точностью можно достаточно хорошо выделять резонансные частоты колебаний, может быть сведена к единственному соотношению, если для каждой системы полученных условий определены параметры эффективных масс и жесткостей. Для ряда случаев интегралы и ряды в выражении (5.18) можно вычислить с помощью таблиц нормальных форм колебаний, составленных Бишопом и Джонсоном [5.19]. Некоторые из этих интегралов и рядов приведены в табл. 5.1 для ряда концевых условий. [c.218]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...