Дуга без контакта

Рассмотрим теперь динамическую систему, движения в которой поочередно описываются уравнениями (3.36). Пусть в начальный момент движение описывается -м уравнением, причем для подобласти Qi начальных значений Хо,, Хо, через некоторый промежуток времени, зависящий от Хои Хог, точка (х, х) выходит из области Ог (через участок границы этой области, являющийся дугой без контакта семейства траекторий -го уравнения), и пусть дальнейшее движение требует для своего описания к-го уравнения. Далее, для области начальных значений Хок, Хок через некоторый промежуток времени, зависящий от Хок, Хок движение начинает описываться р-м из уравнений (3.36), затем -м и т. д. [c.106]

Вспомогательные предложения о характере пересечения траекторий с циклами и дугами без контакта [c.71]

Простая гладкая дуга I называется дугой без контакта динамической системы (I), если а) на дуге I не лежит ни одного состояния равновесия [c.72]

Пусть I — дуга без контакта, заданная параметрическими уравнениями [c.72]

Знак этого детерминанта определяет знак угла между дугой без контакта и траекторией. Так как угол между дугой без контакта I и любой пересекающей ее траекторией ) не обращается в нуль, то, очевидно, этот угол сохраняет постоянный знак. [c.72]

Обобщенная дуга без контакта. Б ряде вопросов роль, аналогичную дуге без контакта, играет обобщенная дуга без контакта . [c.73]

Мы скажем, что простая дуга I (эта дуга может быть как гладкой, так и негладкой) является обобщенной дугой без контакта для системы (I) , если а) на дуге I не лежит ни одного состояния равновесия б) у всякой траектории, проходящей при t = t(, через какую-нибудь точку М дуги I, отличную от концов, точки, соответствующие достаточно близким к to значениям t >> to, лежат по положительную сторону I, а точки, соответствующие достаточно близким к to значениям t tg, лежат по отрицательную сторону от I ) (пли наоборот). В частности, наиример, гладкая [c.73]

Лемма 1. Пусть I — дуга без контакта, Mo(xq, уо) — точка, отличная от ее концов, L — траектория, проходящая через точку Mq при [c.73]

Доказательство. Предположим противное, т. е. что траектория L имеет бесчисленное множество точек пересечения с некоторой дугой без контакта I, причем эти точки соответствуют значениям t, принадлежащим сегменту [а, р]. Выберем из этих значений t сходящуюся [c.74]

Расположение траекторий в окрестности д>ти без контакта. В предыдущем пункте рассматривалось пересечение дуги без контакта с отдельной траекторией. Сейчас мы рассмотрим всю совокупность траекторий, пересекающих дугу без контакта в окрестности этой дуги. [c.74]

Следующая простая лемма описывает структуру расположения траекторий вблизи дуги без контакта. Она является одним из основных вспомогательных предложений для всего дальнейшего. [c.75]

В случае, когда дуга I является обобщенной дугой без контакта, справедливо аналогичное предложение существует Ло > О такое, что при всех значениях и из сегментов а Ь, г — о I < 0 Функции (5) дают топологическое (но не обязательно регулярное) отображение Т прямоугольника Н плоскости I, в), определенного соотношениями (6) на некоторую замкнутую область удовлетворяющую условиям а), б) и в) леммы 3. [c.75]

Для доказательства теоремы 8 достаточно провести через точку М какую-нибудь дугу без контакта и применить предыдущую лемму. [c.76]

Лемма 5. Пусть Lq — траектория, при i = io проходящая через точку Мо и при t пересекающая дугу без контакта I в точке Mi, [c.77]

С ==/( ), I/ = 5 (5) — параметрические уравнения дуги без контакта I, л< 5С6) при. значениях г, достаточно близких к 1о, I— о <Г/Л)-В дальнейшем, однако, нам придется рассматривать эти функции прп всех тех значениях I > 1 , при которых они определены. Установим некоторые свойства этих функций. [c.77]

Пусть, как и выше, I — дуга без контакта, заданная параметрическими уравнениями а = /(5), y = g s), [c.79]

Выражение в квадратных скобках отлично от нуля, так как I есть дуга без контакта (см. (2) п. 1), а / (О =/= О в силу предыдущей леммы. Поэтому Д t, х) Ф 0. Лемма доказана. [c.80]

Замечание 3. Всякие две точки п Мг области соответствующие значениям (<1, 1) и (<2, 2). где б 1 < г, < 1 < т ( 1), < < <2 < ( 2)5 можно соединить дугой без контакта, имеющей уравнение I = к 8), где и к (. ) — функция класса С . Кроме того, эту [c.81]

Траектории, пересекающие две дуги без контакта. Функция соответствия. В дальнейшем нам неоднократно придется рассматривать траектории, пересекающие две дуги без контакта. Мы рассмотрим ряд предложений, относящихся к этому случаю. [c.81]

Пусть I и1 — две дуги без контакта, не имеющие друг с другом общих точек, а [c.81]

Мы будем считать, что Sq = Sq = О (этого всегда можно добиться, взяв вместо s и s в качестве параметров s— sq и 7 — 7о). Так как I иТ — дуги без контакта, то [c.82]

И, следовательно, так как I есть дуга без контакта, [c.83]

Г. Л это и означает, что все точки области Г лежат на траекториях, при убывании t пересекающих дугу без контакта I, а при возрастании — дугу 1. [c.85]

Пусть как и выше, I — дуга без контакта, параметрическое уравнение которой [c.86]

Так как I — дуга без контакта, то все траектории, ее пересекающие, образуют с ней угол одного знака. Тогда в силу. леммы 4 6 дополнения траектории, пересекающие часть дуги I [c.87]

При количественном исследовании многократных систем целесообразно применять метод точечных преобразований, причем выбирать отрезки или дуги без контакта, порождающие функции соответствия, имеет смысл в связи с конкретными особенностями задачи. В некоторых случаях целесообразно ввести специальный вид функции соответствия, при котором устанавливается соответствие между границами каждого из квадрантов многолистной поверхности. Нумеруя квадранты т-листной поверхности (от 1-го до 4т-го) по направлению часовой стрелки, будем обозначать величину полуамплитуд через а, а соответствующие значения скорости прохождения через положение равновесия через Vi a) (i = 1, 2,. .., 4m). Тогда процесс установления вокруг начала координат может быть задан циклической подстановкой 4т функций [c.107]

Сделаем еще одно замечание. Пусть I — дуга без контакта, А н В — ее концы. Так как по определению дуга I в точках Л п В по имеет контакта, то, очевидно, она может быть продолжена, т. с. всегда существует такая дуга без контакта Zj, частью которой является дуга I, для которой Л п В являются внутреннпмп точками (рпс. 32). [c.73]

Лемма 4. Пусть I — дуга без контакта, — какая-нибудь ее точка, отличная от концов. Каковы бы ни бы.ги е > О, Д > О, всегда существует б > О (o = o (е, Д)) такое, что всякая траектория L, приходящая при t — to через точку М Vf, (Л/у), при некотором t / пересекает дугу без контакта, причем — /с I < Д и при из.мснепиа / от t до tg траектория L не выходит из U [c.77]

Лемма 8. Пусть каждая траектория, проходящая при I = 1д через точку (/ (к), д в)) дуги без контакта I, а в С Ь, не имеет больше общих точек с дугой I, когда соответстеенко > >т(л ))- [c.80]

Рассмотрим простую замкнутую кривую состоящую из дуг АА и ВВ траекторий л и L пчастей АВ и АВ дуг без контакта I и I. Обозначим через Г область, заключенную внутри кривой у, Г — ее замыкание. [c.85]

Замкнутую область типа Г, т. е. замкнутую односвязную область, ограниченную двумя непе-ресекающимися дугами без контакта АВ и АВ и двумя дугами траекторий АА и ВВ, которая удовлетворяет утверждению леммы 10, мы будем называть элементарным топологическим четырехугольником или просто — элементарным четырехугольником (рис. 40). [c.86]

Случай, когда траектория имеет с дугой без контакта более одной общей точки. Установленные выше леммы справедливы не только для динамических систем на плоскости и на поверхности рода нуль, но и для систем на поверхностях более высокого рода, так как при доказательствах мы не пользовались специфическими свойствами плоскости. В отличие от этого, доказательства лемм, рассматриваемых в настоящем пункте, существенно используют специфическое свойство плоскости или сферы — их односвязность, т. е. тот факт, что всякая простая замкнутая кривая делит плоскость (или сферу) на две области. Поверхности более высокого рода не являются односвязными. Поэтому для таких поверхностей леммы, а также основанные на этих леммах предложения, излагаемые ниже, не имеют места. [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...