ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение вырожденных задач из "Многосеточные методы конечных элементов " В зтом разделе мы рассмотрим случай, когда исходная дифференциальная задача вырождена. Он возникает, например, при рещении краевой задачи Неймана и спектральной задачи. В зтих случаях мы будем искать нормальное решение [77], т.е. псевдорещение с минимальной нормой. Для поиска такого решения также удается построить алгоритм на последовательности сеток, в котором используются векторы, приближенно характеризующие ядро исходной дифференциальной задачи. [c.163] Дальнейшее изложение проведем рекуррентно. Пусть для квазирешения системы (6.9) с индексом i 1 имеется некоторое приближение Wq -Тогда один шаг итерационного процесса А (г), позволяющий уменьшить в i раз норму ошибки приближенного квазирешения, осуществляется в шесть этапов. [c.165] Проектируем невязку Ср в пространство меньшей размерности как в (2.14). [c.166] Отметим одну конструктивную особенность алгоритма А В отличие от А, А А на четвертом этапе используется фиксированное количество обращений к итерационной процедуре на более грубой сетке, часто называемых циклами. Такой выбор не снижает алгоритмической ценности процедуры А . Дело в том, что дальнейшие исследования в гл. 5 покажут оптимальность такого числа циклов. Поэтому для упрощения доказательства мы рассматриваем именно зтот конкретный вариант. [c.166] Объединяя зти оценки с (2.31), (2.3), получаем утверждение леммы. Продолжим доказательство теоремы 6.1. [c.168] Оно автоматически вьшолняется либо для достаточно малых А,-, либо для небольших с, 2 В практических расчетах для старших собственных чисел Хо оно нарушается при крупном шаге А,-. В зтом случае для обеспечения сходимости следует использовать прием, изложенный в замечании 2.3. [c.171] Поскольку Pi 1, становится невозможным выбрать ео = е, на всех уровнях. Из зтого положения предлагается два выхода. Один из них состоит в том, что на шаге А на (г - 1)-м уровне алгоритм А применяется несколько раз. Наиболее эффективно двукратное использование и тогда можно взять ео = е . Поскольку е, 1, то ео е, и возможен выбор целого т, одинакового на всех уровнях. Если использовать алгоритм А на (г - 1)-м уровне только один раз, то необходимо выбирать ej ео- Позтому число итераций т на каждом уровне будет разным. Этот прием будет обсуждаться в п. 5.2.2. [c.172] Вычислим вектор По = — Й и проведем/и итераций (6.12) с начальным приближением По. Полученный вектор ортогонализуем к векторам , . . . , в скалярном произведении ( ,) Результат ортогонализации обозначим через Й/, - итог шага А (г) на уровне /. [c.173] Вернуться к основной статье