Приближенное решение дифференциальных уравнений равновесия

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ [c.13]

Вариационные уравнения принципов возможных изменений деформированного состояния, напряженного состояния и одновременного возможного изменения напряженно-деформированного состояния сами по себе не уменьшают сложности решения конкретных задач. Действительно, вариационное уравнение (3.31) или (3.39) эквивалентно полной системе дифференциальных уравнений теории пластического течения (3.36) или (3.40). Вариационное уравнение принципа возможных изменений деформированного состояния и возможных изменений напряженного состояния эквивалентны соответственно решению дифференциальных уравнений равновесия в скоростях и решению уравнений неразрывности деформации, записанных в напряжениях. Вариационные уравнения удобны для построения приближенных решений задач. С помощью прямых методов вариационного исчисления [10, 67, 109] сводят вариационные уравнения к системам алгебраических (во всяком случае конечных) или обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим прямые методы, нашедшие применение для решения технологических задач с помощью указанных выше трех принципов. Начнем с принципа возможных изменений деформированного состояния. Основной отличительной чертой почти всех имеющихся в теории обработки металлов давлением решений [163, 164 и др.] является приближенное представление функционала, которое основано на допущении [c.96]

Для анализа технологических операций разработаны различные теоретические методы. Первой особенностью предлагаемой читателю книги является ее определенная односторонность Поскольку книг основана главным образом на работах автора, анализ технологических задач выполнен только методом сил, которые выражены через кинематические параметры деформируемой заготовки. Такой подход приводит к дальнейшему развитию приближенною метода решения дифференциальных уравнений равновесия и уравнений, описывающих состояние пластичности, и применению анализа с использованием функции тока. Решения, рассматриваемые в книге, выполнены с использованием теории пластического течения. [c.3]

В предыдущих главах было показано, что уравнения Лагранжа обычно представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений. Если же ограничиться исследованием движений, происходящих вблизи положения равновесия, то уравнения Лагранжа можно упростить — они заменяются в этом случае приближенными линейными дифференциальными уравнениями. Решения таких уравнений хорошо изучены, их можно записать в замкнутой форме с помощью элементарных функций, и это позволяет детально исследовать данный класс движений. [c.207]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Покажем, что в случае опор, имеющих нелинейные упругие характеристики, отмеченные задачи являются принципиально разными и имеют существенно различные решения. Это объясняется тем, что в данном случае точное дифференциальное уравнение равновесия для вращающегося вала совпадает лишь с приближенным дифференциальным уравнением колебаний балки [см. формулы (I. 1), (1.6)]. [c.116]

В теории упругости выдающиеся результаты были получены при разработке общих методов интегрирования дифференциальных уравнений равновесия упругого тела, приближенных методов их решения и в исследовании многочисленных частных задач. Это было продолжением и расширением исследований русских механиков дореволюционного периода. Но сложились также новые школы и направления. Систематически велись исследования по плоской задаче теории упругости с помощью методов теории функций комплексного переменного, большая группа ученых работала по теории пластинок и оболочек, приобретавшей все большее значение для техники. Меньше внимания уделялось контактным задачам, но гг они стали постоянным предметом исследований. Впервые после трудов Остроградского значительные результаты были получены в теории распространения упругих волн, которая разрабатывалась в связи с запросами сейсмологии. К этому списку надо добавить исследование устойчивости упругих систем, теорию стержневых систем, графические методы. Тут мы находимся на стыке теории упругости п таких прикладных дисциплин, как строительная механика и сопротивление материалов. [c.291]

При исследовании малых прогибов упругих стержней показано, как можно ввести поперечный сдвиг в дифференциальное уравнение равновесия этой теории. Излагается расчет балок на упругом основании и важная для судостроения задача, поставленная И. Г. Бубновым, о расчете перекрестных балок. Рассмотрен продольно-поперечный изгиб балок, приводится точное, а также приближенное, развитое автором, решение в тригонометрических рядах. Дается систематизированное изложение теории выпучивания прямых сплошных стержней, полос, круговых колец, двутавровых балок, устойчивости вала при кручении. Уточняется известная задача Ф. С. Ясинского о расчете на устойчивость пояса открытых мостов. Приводятся точные и приближенные решения этой задачи энергетическим методом, данные самим автором. Особенно ценны результаты, относящиеся к устойчивости плоской формы изгиба полос и двутавровых балок. Теория изгиба, кручения и устойчивости двутавровых балок была разработана автором в 1905—1906 годах и оказалась основополагающим исследованием для последующих разработок в области расчета и общей теории тонкостенных стержней. Автор приводит компактные формулы для расчета критических сил. [c.6]

Задачи (96), (100) трудны в том плане, что при их приближенном решении каким-либо численным методом возникает необходимость удовлетворить дифференциальным уравнениям равновесия внутри области и статическим граничным условиям, поэтому имеет смысл перейти к формулировкам с применением лагранжианов. Используя определение (85), находим, что возмущению (94) соответствует лагранжиан [c.112]

В обычных случаях распределенной деформативности конструкции указанные выше уравнения равновесия оказываются дифференциальными и задача сводится к определению собственных значений и соответствующих собственных форм, отвечающих тем или иным заданным граничным условиям. После этого критические значения нагрузки легко определяют через найденные собственные значения. Эти операции удается выполнить в замкнутом виде только в сравнительно простых случаях (стержни постоянного поперечного сечения при несложных типах нагружения продольными силами, пластинки постоянной толщины при совпадении их границ с координатными линиями и в условиях сравнительно простого нагружения силами, лежащими в срединной поверхности). В других случаях приходится пользоваться приближенными способами решения дифференциальных уравнений. [c.11]

В монографии М. П. Шереметьева [375] эти задачи были сведены к интегро-дифференциальному уравнению Прандтля (с помощью комплексных представлений Колосова — Мусхелишвили) и получен алгоритм приближенного решения этого уравнения. Еще одна интересная задача исследована автором сведением проблемы к задаче линейного сопряжения для аналитических функций, решение которой известно. Это—задача равновесия неограниченной пластинки, эллиптическое отверстие которой подкреплено двумя абсолютно жесткими и симметрично расположенными припаянными накладками, между которыми вставлены с натягом два упругих стержня, причем пластинка растянута на бесконечности в двух направлениях. Аналогичным методом исследован случай четырех накладок. [c.18]

Выведем сначала дифференциальные уравнения равновесия, так как подход, использующий при построении конечно-элементной модели метод жесткостей (или метод перемещений), одновременно люжет служить подходом, позволяющим получить приближенное решение этих уравнений. Для простоты исключим из рассмотрения объемные силы и начальные деформации (Х = К=0, e " =0). Вывод искомых уравнений заключается в построении соотношений, связывающих напряжения с перемещениями, с последующей подстановкой этих соотношений в дифференциальные уравнения равновесия. Например, подставляя соотношения, связывающие деформации с перемещениями, в уравнение состояния для получим [c.119]

Рассуждения, касающиеся условий выбора полей перемещений, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия, в той же мере применимы и в данном случае. Функция напряжений по определению удовлетворяет уравнениям равновесия. Однако выражения, выбранные в качестве функции напряжений, вполне могут не удовлетворять уравнению (4.19), которое задает условие совместности. В этом случае выбранные выражения будут лишь приближением к точному решению задачи. Точное же решение должно удовлетворять как граничным условиям, так и уравнению [c.121]

Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие Ji = U—2А = т п является очень эффективным для приближенных решений задач статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся при исследовании вариационных задач (например, уравнение равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в частных случаях. Поэтому возникает необходимость в разработке методов приближенного решения вариационных задач с использованием исходных функционалов [например, (4.217)], не переходя к дифференциальным уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято называть прямыми методами. [c.180]

Для получения точного решения зада ш теории упругости надо найти такие функции, которые помимо удовлетворения дифференциальным уравнениям задачи, например бигармоническому уравнению (4.29), так же строго удовлетворяли бы условиям равновесия в каждой точке поверхности тела. Часто это сделать не удается. Тогда вместо строгого выполнения граничного условия в каждой точке поверхности составляют приближенное условие в отношении главного вектора и главного момента сил, возникающих на определенной части поверхности тела. Например, если известно, что на данной грани пластины напряжения отсутствуют, то вместо требования [c.86]

После решения задачи в одномерной постановке можно приближенно вычислить распределение параметров потока в зазорах между решетками или в соответствующем поперечном сечении проточной части из тех же уравнений равновесия (43.20) и (43.24), которые рассматриваются при этом как обыкновенные дифференциальные уравнения относительно неизвестной Р, причем для интегрирования этих уравнений должны быть дополнительно заданы или оценены входящие в них функции. Постоянная интегрирования определяется либо по результатам одномерного расчета (по величине л<,р в характерной точке), либо из условия обеспечения известного расхода газа через ступень (т. е. из интеграла уравнения расхода (43.11)). Последний способ сложнее, но зато он позволяет уточнить величину Л р и построить приближенно все средние поверхности тока в турбомашине. [c.300]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Разумеется, к дифференциальным уравнениям пластического равновесия неприменимы классические методы интегрирования уравнений теории упругости, однако рассмотренные уравнения хорошо поддаются численным методам решения. Успешно используются также различные приемы последовательных приближений [ [c.61]

В статьях [55, 56] предлагается новый вариант теории трехслойных пластин с несжимаемым в поперечном направлении заполнителем, основанный на гипотезе ломаной нормали. Уравнения равновесия в перемещениях получены с помощью принципа Лагранжа. Формальным введением малого параметра в дифференциальные уравнения решение исходной задачи сведено к итерационному процессу, содержащему решение задачи об изгибе пластины на упругом основании и плоской задачи теории упругости. Точное решение получено для прямоугольной шарнирно-опертой по контуру пластины, найдена оценка погрешности приближенного решения, получаемого после произвольного числа итераций. Этими же авторами предложен метод расчета осесимметричных круглых трехслойных пластин с легким сжимаемым заполнителем на действие нагрузок, симметричных и обратносимметричных относительно срединной плоскости. Разложение нагрузок на составляющие позволяет упростить определение постоянных, входящих в общее решение задачи. [c.13]

Как и ранее, при решении задачи используем метод последовательных приближений, основанный на методе упругих решений Ильюшина. Для этого входящие в уравнения равновесия и граничные условия внутренние силовые факторы выразим через три линейно независимые функции и х i), ф х, t) и w x, t). В результате получим систему из трех нелинейных дифференциальных уравнений. В итерационном виде она совпадает с (4.71) [c.189]

Таким путем он пришел к дифференциальному уравнению четвертого порядка с переменными коэффициентами и решил это уравнение в предположении, что стержень имеет постоянное сечение, при помощи бесконечных рядов. Мы воспользуемся для решения того же вопроса вторым методом, обратимся к рассмотрению энергии системы и покажем на этой задаче, как, пользуясь этим методом, можно получать приближенные решения и увеличивать точность этих решений путем увеличения числа произвольных параметров, которыми определяется искривленная форма равновесия сжатого стержня. [c.285]

Как видно, уточнение решения достигается ростом в краевых условиях числа моментных состояний и более полным учетом членов в начальных приближениях. Методом индукции нетрудно показать, что в любом конечном приближении число граничных условий соответствует порядку основного дифференциального уравнения. Приведенные краевые условия остаются неизменными и в задачах динамики. Уравнения равновесия при колебаниях среды получены при использовании принципа Гамильтона [c.160]

Разумеется, к дифференциальным уравнениям пластического равновесия неприменимы классические методы интегрирования уравнений теории упругости, однако рассмотренные уравнения хорошо поддаются численным методам решения. Успешно используются также различные приемы последовательных приближений. Разумеется, реализация этих методов связана, как правило, с применением электронно-вычислительных машин. [c.92]

Точное решение уравнения 4(93) при данных переменных коэффициентах, графики которых приведены на рис. 22, 24, и граничных условиях (95) затруднительно. Обратимся поэтому к приближенному способу интегрирования дифференциальных уравнений. В работе 32] было выполнено графическим способом решение упомянутого уравнения при удовлетворении граничных условий только лишь в точке г/= 45. В данной работе применим аналитический метод решения, заранее удовлетворяя искомую функцию граничным условиям (95) и выполняя условие равновесия по координате у в среднем [c.107]

Конечно, есть и в этом методе свои трудности, которые состоят прежде всего в том, что необходимо заранее задаваться аппроксимирующими функциями (ф, 11 , /). В качестве первого приближения эти функции можно выбирать в виде линейных соотношений. В поисках более точного решения задачи требуются другие формы задания функций ф, т) , 1, определяемые из условия равновесия на поверхности или внутри объема тела. Например, для получения уточненных решений могут быть использованы степенные или тригонометрические функции, как это было показано на примере расчета траверсы гидравлического пресса и др. Отметим также, что при выборе указанных функций нужно стремиться к тому, чтобы не получалась сложная система дифференциальных уравнений. Так, например, при расчете станины станка 7540 система уравнений (9Я) оказалась весьма простой благодаря элементарному определению функций ф, т] , I. При другом выборе этих функций можно получить более точные результаты, решив сложную систему дифференциальных уравнений. Из анализа табл. 1 основных типов корпусных деталей машин видно, что большинство из них представляет собой коробчатые пустотелые конструкции с различными перегородками, выступами, окнами, а также рамные или стержневые системы. Все они могут быть успешно рассчитаны при помощи уравнений (23) с некоторыми обобщениями, упрощениями и схематизацией. [c.126]

Рассматривая в первом приближении возмущенное движение консервативной системы, мы предполагали, что невозмущенное состояние — состояние покоя — устойчиво. Это позволило нам искать частное решение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в виде тригонометрических функций времени. Если заранее мы не знаем, устойчиво или неустойчиво положение равновесия, то частное решение следует искать в виде Ке . В таком же виде нужно искать частное решение и в тех случаях, когда в уравнения входят производные первого и второго порядков. [c.460]

Основные допущения метода приближенного решения дифференциальных уравнений равновесия. Все методы, применяемые для анализа технологических операций обработки металлов давлением, позволяют лишь приближенно определить значение того или иного искомого параметра, поскольку выбранная. математическая модель отличается от реального процесса. Одновременно следует отметить, что системы уравнений и методы решений также в большинстве случаев являются приближенными. Под приближенным понимают такое решение, подстановка которого в исходное уравнен.ис не Гфнводит к равенству его правой и левой частей. [c.29]

Принцип возможных перемещений может быть использован для приближенного решения задач статики стерл<ней наряду с более привычным решением дифференциальных уравнений равновесия. Для этого необходимо обобщить этот принцип так, чтобы его можно было распространить на упругие системы. Для упругих систем, например стержней (или в более общем случае для деформируемых систем), необходимо принимать во внимание не только работу внешних, но и работу внутренних сил, возникающих при отклонениях упругой системы от исходного состояния. Остановимся более подробно на понятии возможного перемещения для стержней. Возможным (или виртуальным) перемещением называется всякое малое неремещенне точек осевой линии стержня из исходного состояния без нарушения связей, наложенных на стержень. Например, для стержня, показанного на рис. 4.9, любая функция бг/(е), мало отличающаяся от функции у (г) и удовлетворяющая тем же краевым условиям, что и функция у е), может рассматриваться как возможные перемещения для точек осевой линии стержня. Любое возможное перемещение бг/(е) стержня является непрерывной функцией. [c.167]

Выше было указано, что на границе устойчивости решение дифференциального уравнения равновесия стержня при заданных граничных условиях приводит к равенству V=L, если У и L определяются из действительной формы колебаний, функциональная зависимость которой соответствует уравнению равновесия. Если мы применяем приближенную форму колебаний, удовлетворяя хотя бы наиболее важным граничным условиям, то условие L=V не выполняется и получаем L—1/=б. При этОлМ б является определенной постоянной. Если в выражении формы колебаний оставить несколько свободных параметров, например, 2 и т. д., то всегда можно эти параметры подобрать так, чтобы разность 6 была минимальной. Это означает, что [c.72]

В записанном уравнении возможные перемещения 6ц, бу, бш между собой не свлганы, поэтому, чтобы оно обращалось в тондаство при любых значениях возможных перемещений, должны обращаться в нуль коэффициенты при возможных перемещениях, стоящие в скобках. Следовательно, получаем шесть уравнений три первых уравнения представляют собой условия на поверхности (4.2), а три других — дифференциальные уравнения равновесия (4,1). Таким образом, вариационное уравнение (к) заключает в себе дифференциальные ураа-нения равновесия и статические граничные условия. Отсюда следует, что при использовании этого уравнения для приближенного решения задач выбранная функция <р, обязательно должна удовлетворять только геометрическим граничным условиям. Статические гранитные ус- [c.155]

А. С, Вольмира и И. Г. Кильдибекова (1964, 1965) эволюция упругих систем с конечным числом степеней свободы трактовалась как марковский процесс в фазовом пространстве. Основное содержание этих работ составляет приближенная оценка вероятности хлопка (первого выхода за пределы сепаратрисы или первого пересечения энергетического барьера для простейшей модели оболочки — нелинейной системы с одной степенью свободы). Эта задача изучалась также Б, П. Макаровым (1965) методом электронного моделирования. Переход к системам с несколькими степенями свободы связан, однако, с большими трудностями. В, В, Болотин и Б, П, Макаров (1965) предложили оценивать устойчивость равновесия по среднему времени пребывания системы в некоторой окрестности равновесия и разработали приближенный метод решения дифференциального уравнения Л, С, Понтрягина, Дальнейшие результаты даны в работе Б, П Макарова (1965), [c.359]

Следовательно, форма равновесия, которую получает тело под действием заданных сил, характеризуется тем, что функция перемещений и, v ш w, представленная выражением J = 2W — JjJ Vdxdydz, приобретает значение максимума или минимума, так как первая вариация этой функции обращается в нуль для всех возможных перемещений бм, б у, bw. В дальнейшем мы будем пользоваться этим обстоятельством и иногда будем интегрирование дифференциальных уравнений заменять разысканием максимума или минимума функции J. Таким путем можно находить приближенные решения при исследовании изгиба стержней и пластинок. [c.57]

Первое систематическое рассмотрение устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Дж. Брайану Он выяснил пределы применимости теоремы Кирхгофа и показал, что при условии малых деформаций она отпадает, если только один или два размера тела можно считать малыми. При этом явление неустойчивости может иметь место в пределах упругости, если произведение модуля упругости Е на квадрат отношения малого размера к конечному будет того же порядка, что и предел упругости материала. Дальнейшая разработка общей теории устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Р. Саусвеллу Он устраняет ограничение относительно малости деформаций и оперирует с идеальным телом бесконечно большой прочности. При этих условиях и тела, у которых все размеры одного порядка, могут оказаться в состоянии неустойчивого равновесия. Исходя из однородного напряженного состояния тела, Р. Саусвелл дает точкам тела весьма малые перемещения и, v, w ) и для этой отклоненной формы пишет дифференциальные уравнения нейтрального равновесия, причем считает начальные деформации конечными. То соотношение между внешними силами и размерами тела, при котором полученные уравнения дают для и, у и w решения, удовлетворяющие условиям на поверхности, определяет критическое значение нагрузки в рассматриваемом случае. Применяя свой общий метод к тонким стержням и пластинкам, Р. Саусвелл нашел, что имеющееся решения задач устойчивости являются лишь первыми приближениями, хотя и вполне достаточными для практических приложений. Мы в дальнейшем ограничимся этими приближенными решениями, отсылая интересующихся теорией вопроса к работе Р. Саусвелла. [c.258]

Стационарная задача о термоупругом равновесии полого цилиндра (в случае осевой симметрии) изучалась сперва П. М. Огибаловым (1954), а затем Ю. Н. Шевченко (1958), который учитывал изменение модуля упругости материала вдоль оси цилиндра. А. Н. Подгорный (1965) учел влияние торцов цилиндра, а также центробежных сил задача решена приближенно с использованием вариационного принципа Лаграннш. П. И. Ермаков (1961) и В. А. Шачнев (1962) рассматривали стационарную задачу термоупругости для сплошного цилиндра конечной длины при осесимметричной его деформации в первой из этих работ условия на торцах выполнялись приближенно, согласно методу Бидермана, а во второй — решение задачи сведено к решению интегро-дифференциального уравнения. Стационарная задача термоупругости для бесконечного цилиндра с несколькими полостями сформулирована А. С. Космодамианским (1962) — как температурное поле, так и термоупругое состояние определяются методом Бубнова — Галеркина. [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...