Задача краевая двухточечная

Задача о нахождении решения системы (7.3.27), удовлетворяющего соотношениям (7.3.28), называется многоточечной краевой задачей общего вида. Соотношения (7.3.28) называются краевыми условиями. Если k = 2 [ъ краевые условия входят значения искомых функций в двух точках), то краевая задача называется двухточечной. [c.678]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Перейдем к изложению основных идей МКЭ на примере одномерной задачи [247]. Рассмотрим двухточечную краевую задачу [c.162]

Каждое из решений zj(z) j = 1,..., 4), удовлетворяющее этим начальным условиям, есть столбец матрицы K(z), поэтому матрица K(z) при z = О является единичной. Частное решение неоднородного уравнения (4.21) получаем, решая это уравнение при нулевых начальных условиях. Компоненты вектора С(с1, С2, сз, С4) находим из краевых условий (условий закрепления концов стержня). Найти все j из краевых условий при Z = О нельзя. В этом основная особенность задач статики (и динамики) упругих систем. В теоретической механике (в разделе динамика) все начальные условия задают в начальный момент времени (задача Коши). Поэтому эти задачи часто называют одноточечными краевыми, а задачи статики и динамики упругих систем - двухточечными краевыми. [c.197]

Пусть имеем краевую задачу для дифференциального уравнения порядка 2п относительно функции 5 (г) с двухточечными граничными условиями [c.274]

Описанная выше операция составляет так называемую прямую прогонку. Теперь необходимые для определения искомых 2 функций, образующих столбец 5(2), 2п условий все отнесены к концу промежутка [0, /] и, таким образом, двухточечная краевая задача сведена к задаче Коши. Однако для получения вектора 8(2) мы не будем решать задачу Коши, поскольку и при этом решении происходит потеря точности, имеющая ту же природу, что и потеря точности при использовании метода начальных параметров. [c.278]

Решение задач построения и оптимизации ПД сопряжено с большими трудностями. Эти трудности порождены нелинейностью и высокой размерностью уравнений кинематики и динамики (2.1), (2.2), наличием препятствий (2.8) и конструкционных ограничений (2.5)—(2.7). Кроме того, в случае целевого условия (2.3) возникает необходимость решать двухточечную краевую задачу, которая резко усложняется при оптимизации ПД в смысле критериев (2.9)—(2.11). [c.41]

Построение ПД с учетом динамики робота сводится к решению двухточечной краевой задачи с граничными условиями (2.43) и ограничениями (2.44)—(2.46). Многие известные методы решения краевых задач здесь малоэффективны или даже непригодны. Трудности усугубляются высокой размерностью и нелинейностью уравнений динамики (2.2), а также сложным характером ограничений (2.44)—(2.46). Эффективным методом динамического синтеза ПД является метод параметризации ПД с учетом граничных условий (2.43), накладываемых на начальное и конечное состояния робота [107, ИЗ], В этом методе воплощена идея априорного выполнения граничных условий (2.43) и учета структурного ограничения (2.46). Это достигается за счет специального выбора базисных функций. В таком подходе заложен глубокий смысл при отыскании приемлемых параметров ПД уже не нужно за- [c.52]

Перечисленные требования к базисным функциям имеют следующий смысл. Первое требование обеспечивает и облегчает решение двухточечной краевой задачи, второе — гарантирует осуществимость параметризованного ПД (2.47) с учетом динамики робота, третье и четвертое — означают возможность экономного и вместе с тем сколь угодно точного представления ПД в виде (2.47) и, наконец, пятое обеспечивает простоту технической реализации искомого ПД. Заметим, что пренебрежение любым из этих требований может привести к грубым ошибкам или к неосуществимости параметризованного ПД. [c.53]

Двухточечная краевая задача для линейной системы дифференциальных уравнений [c.125]

РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.146]

Рассмотрим другую возможность решения. Приведем данную систему к системе уравнений второго порядка. Для двухточечной краевой задачи и решения уравнений в разностной форме это наиболее удобно. Выразим выражения сил и моментов в уравнениях (9,21) через деформации по формулам (9.23). Будем использовать все соотношения, кроме выражения [c.258]

Рассмотренная нелинейная двухточечная краевая задача сводилась к последовательности задач Коши, которые решались методом стрельб . [c.129]

Таким образом, на сегменте [О, п] для уравнения четвёртого порядка (3.161) получается двухточечная краевая задача на собственные значения. Для любого заданного значения упругой постоянной X можно получить численное решение этой задачи на ЭВМ. [c.113]

Численное решение двухточечной нелинейной краевой задачи [c.251]

Сформулированная нелинейная двухточечная краевая задача решалась численно методом прямого сведения к задаче Коши (методом стрельб ). [c.328]

Толчок к развитию и внедрению метода начальных параметров был дан А, Н, Крыловым (1931). С механической точки зрения этот метод применительно к стержням позволяет выразить внутренние усилия и перемещения в произвольном сечении х через внутренние усилия и перемещения в начальном сечении (и нагрузку, приложенную в интервале [О, х]) с формально математической точки зрения этот метод представляет собой сведение двухточечной краевой задачи к задаче Коши. В работах Н. И, Безу-хова (1938) метод начальных параметров был успешно применен к исследованию свободных и вынужденных колебаний стержней и стержневых систем. [c.167]

Интенсивное исследование численных методов решения вариационных задач оптимального управления и применение для этой цели ЭВМ началось в пятидесятых годах и развивалось, как уже отмечалось выше, параллельно с развитием общей математической теории оптимальных процессов. Основные усилия прежде всего были направлены на создание методов, использующих необходимые условия оптимальности в форме уравнений Эйлера — Лагранжа. Основные трудности, возникающие здесь, были уже кратко охарактеризованы выше в 8. Напомним их здесь еще раз, остановившись подробнее на примере краевой задачи (6.6) — (6.7). На основании принципа максимума дело сводится к следующей двухточечной задаче [c.198]

Достоинство конечно-разностных методов в том, что они позволяют свести решение краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений. При решении двухточечной краевой задачи [c.94]

Однако в настоящей книге мы не касаемся всех разделов численного анализа, используемых в гидродинамических задачах. Мы не рассматриваем интересную двухточечную краевую задачу для обыкновенных дифференциальных уравнений, которая играет столь важную роль при расчете автомодельных решений теории пограничного слоя мы не рассматриваем даже практически важного метода характеристик. Вместо этого мы сосредоточим свое внимание на новой, только еще появляющейся дисциплине, которую, по-видимому, лучше всего было бы назвать численным моделированием в гидродинамике. В настоящее время все чаще входит в употребление термин вычислительная гидродинамика , который почти не отличается от более широкого термина численная гидродинамика ). [c.13]

ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 13 [c.13]

ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА [c.13]

ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 1В [c.15]

Следует учесть еще одно обстоятельство, а именно неоднородность краевых условий. Для двухточечной краевой задачи непрерывная зависимость решения и от I и краевых данных выражается неравенством [c.34]

Когда такие интегралы суммируются, коэффициент при ди равен -Рй = рй + й+ь Отсюда ясно, какова простейшая форма хранения в памяти ЭВМ. Заданный узел кк является правым концом в к-ш подынтервале — и это дает в интеграле, а также левым концом в следующем подынтервале — и это дает аи+ Як-Подпрограмма, строящая вектор, должна учитывать, что оба подынтервала стыкуются в к-ш узле, и комбинировать результаты. (Нет сомнений, что такое построение метода конечных элементов сделает программу длиннее программы метода конечных разностей для двухточечной краевой задачи преимущества метода конечных элементов опять проявляются только на задачах размерности > I.) [c.43]

Фрид [Ф16] заметил, что в одних задачах можно с успехом изменять масштаб, а в других — нельзя. Возьмем, например, двухточечную краевую задачу — ы" = / с кусочно линейными элементами. Если все подынтервалы имеют длину к, за исключением первого, у которого она равна /г/с, то матрицы жесткости при естественном краевом условии ы (0) =0 или главном уело ВИИ ы(0) =0 пропорциональны соответственно матрицам [c.241]

Реализация методов наведения первой группы предполагает известность параметров орбитального движения КА и их относительного состояния, заданного, как правило, в осях ОСК. Получение исходной информации для целей управления, привязанной к орбитальной системе координат, начало которой совлющено с центром масс одвого из аппаратов, требует ее обработки (как правило, на основе рекуррентной схемы фильтрации) и последующего решения в общем случае краевой двухточечной задачи, вытекающей из условия выполнения процесса встречи для заданных начальных условий относительного движения. В результате решения находят значения импульсов скорости, формирующих траекторию сближения в виде нескольких активных участков малой продолжительности, разделенных длительными участками свободного полета. Методы наведения первой группы следует считать наиболее экономичными, однако техническая реализация их сопряжена со значительными трудностями. В меньшей степени отмеченный недостаток присущ методам наведения второй группы. Их бортовая реализация предполагает наличие информации об относительном состоянии объектов, получаемой по результатам измерений дальности, радиальной скорости и угловой скорости линии визирования. Целесообразность записи уравнений движения через перечисленные выше измеряемые параметры относительного движения приводит к использованию в качестве отсчетиой базы лучевой [c.334]

Решение уравнений (5.27) осложняется тем, что задачи механики стержней являются двухточечными, т. е. необходимые для определения произвольных постоянных краевые условия заданы в двух сечениях стержня (при е = 0 и е=1). В рассматриваемом примере при е=0 известно значение iftso (и IT s) 0з(0)=0. Второе условие на свободр ом корще стержня при е= 1 А) (1) =0, поэтому при [c.188]

При расчете методом начальных параметров двухточечная краевая задача для элемента или конструкции из последовательно сопряженных элементов сводится к задаче Коши [2]. Начальные данные для нее определяются из системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком исходной системы дифференциальных уравнений и не зависит от числа элементов в конструкции. Хотя при относительно большой длине оболочек здесь также накапливается погрешность, однако структура метода начальных параметров позволяет, во-первых, анализировать скорость ее накопления и, во-вторых, указать удобный способ снижения этой погрешности до требуемой величины. Анализ численной процедуры метода показьшает, что начальный вектор для задачи Коши всегда получается с машинной точностью. Решение задачи Коши проводится путем последовательного перемножения матриц перехода для элементов конструкции на начальный вектор с получением нового начального вектора. Накопление погрешности происходит на этом этапе расчета конструкции при большой ее длине. Для сохранения требуемой точности расчет конструкции проводится последовательными участками, частично налегающими друг на друга. Длина каждого участка должна не более чем вдвое превышать длину, при которой в мантиссе машинного числа сохраняется достаточное число верных значащих цифр. Расчеты, выполненные на ЭВМ с различной разрядностью чисел, показьшают, что эта длина более чем на порядок превышает интервал которым оценивается качественное различие между короткой и длинной оболочками. При расчете каждого последующего участка используются начальные данные, полученные в расчете предьщущего участка. [c.46]

Таким образом, при расчете конструкции она расчленяется на подконст-рукции по местам разветвления меридиана и по сопряжениям, где имеют место разрьшы искомых величин перемещений и усилий. В качестве базисной подконструкции удобно принять последовательность элементов оболочек и колец с непрерьшностью перемещений и усилий при переходе через сопряжение. В этом наиболее простом случае сопряжения элементов искомые перемещения и усилия определяются путем решения двухточечной краевой задачи дня последовательности элементов и выражаются через заданные поверхностные нагрузки и краевые условия. [c.47]

Заданы разрьшы перемещений и усилий в сопряжениях. В этом случае расчет подконструкции также осуществляется путем решения двухточечной краевой задачи для последовательности элементов и искомые величины выражаются дополнительно через заданные разрьшы перемещений и усилий Примеры таких разрывов приведены в табл. 3.2 и на рис. 3.1. [c.47]

Тем самым многоточечная краевая задача вновь сводится к двухточечной с заданными разрьтами искомых величин в сопряжениях, однако зависимость искомых перемещений и усилий от заданных нагрузок и краевых условий в этом случае усложняется. Обобщенные сопряжения (столбец е в табл. 3.3) отличаются от комбинации упругих тем, чго в дополнительном соотношении для них коэффициент а,- представляет собой квадратную матрицу второго порядка, например [c.49]

Искомые перемещения или усилия в сопряжениях принимают заданные значения (а,-= 0). Такими сопряжениями являются, в частности, идеальные сопряжения (столбец а в табл. 3.3), для которых, кроме того, (3,- = О, т.е. правая часть дополнительного соотношения равна нулю. Примерами, когда ft Ф О, являются заданный начальный зазор между конструкцией и спорным элементом, силы трения при заданных нормальном усилии и коэффициенте трения. В этих случаях дополнительные соотношения не содержат величин искомых разрывов и последние не удается исключить из совокупности неизвестных величин. Краевая задача становится существенно многоточечной, так как знание начального вектора недостаточно для определения неизвестных перемещений и усилий в сопряжениях. Разрывные особенности в сопряжениях элементов при а,- = О нарушают единообразную вычислительную процедуру решения двухточечной краевой задачи. Небольшое количество дополнительных неизвестных разрывных величин существенно изменяет характер разрешающей системы уравнений. Поэтому для расчета целесообразно применять расчленение на подконструкции по сопряжениям, где часть искомых перемещений или усилий известна. [c.50]

Среди приближенных методов наибольшее распространениё получили методы, использующие вариационные принципы, и. методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты. Полученные в предыдущих параграфах уравнения равновесия стержней и нитей, как правило, являются нелинейными и в общем случае не могут быть решены в аналитической форме за исключением частных случаев. При решении уравнений равновесия обычно используют или численные методы, или приближенные, использующие вариационные принципы механики. При численных методах решения задач усложняются тем, что все задачи механики стержней относятся к двухточечным краевым задачам. [c.47]

Известно [62, 296], что для построения полного корреляционного приближения решения краевой задачи теории упругости микронеодно-родной среды в перемещениях с определением статистических характеристик случайных полей микронапряжений и микродеформаций в компонентах композита в качестве исходной информации о структуре материала необходима следующая совокупность моментных функций структурных модулей упругости двухточечные и трехточечные моментные функции второго, третьего, четвертого и пятого порядков. [c.40]

Рассмотренная нелинейная двухточечная краевая задача решалась численно на основе сочетания методов продолжения по параметру, квазилинеаризации Ньютона — Канторовича и ортогональной прогонки. [c.126]

Качественное влияние магнитогидродинамических эффектов на течение электропроводного газа в канале МГД-устройства было исследовано на основе гидравлического одномерного) приближения. Исследования в этом направлении, начатые работой Э. Л. Реслера и В. Р. Сирса J. Aeronaut. Sei., 1958, 25 4, 235—245), весьма многочисленны и содержат результаты расчетов массы конкретных частных примеров. С принципиальной стороны расчет отдельных примеров на базе гидравлической теории не представляет труда, так как сводится к решению задачи Коши или Б крайнем случае к двухточечной краевой задаче для системы обыкновен ных дифференциальных уравнений. С другой стороны, получение выводов общего характера из этой массы примеров весьма затруднительно. Гораздо больший интерес представляет решение различных вариационных задач на основе гидравлического приближения с целью определения оптимальных в определенном смысле режимов течения. Четкая постановка вариационной задачи в связи с течением в канале МГД-генератора дана [c.445]

Такш образом,шеем дело с двухточечной краевой задачей для нелинейного уравнения (1.6) в интервале сJ оо свободным правым концом, на котором задается дополяительноа уоловш. Именно эта задача решалась числевно при составлении таблиц. [c.77]

Обсуждается задача статистического описания динамических систем неэволюционного типа с двухточечными краевыми условиями. Приводятся универсальный, а также некоторые специальные приемы, сводящие краевые задачи к задачам эволюционным, к которым применимы развитые ранее методы статистического усреднения. [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...