Дифференциальные Решения приближенные

Уравнения (16.14)—(16.19) в общем случае являются нелинейными дифференциальными, решение которых может быть проведено только приближенными методами. [c.344]

Для решения системы уравнений (У.35), (У.36) был применен метод сеток. При этом рассматриваемые дифференциальные уравнения приближенно заменялись уравнениями В конечных разностях, которые были получены заменой производных значениями функции в отдельных точках сетки. Решение этим методом наиболее удобно для программирования, так как состоит из большого числа однотипных операций. [c.100]

Дифференциальные уравнения решались модифицированным методом Эйлера. Модификация численного метода заключается в том, что в некоторых случаях, напри- мер при решении уравнений (4.73), (4.74), в качестве нулевого приближения выбиралось аналитическое решение приближенных уравнений. [c.154]

Основная идея дифференциально-разностного приближения заключается в представлении потока излучения для рассматриваемого направления в виде разности двух встречных потоков. При таком подходе путем соответствующего интегрирования уравнение переноса излучения заменяется системой из двух дифференциальных уравнений, содержащих в качестве неизвестных поверхностные плотности встречных потоков излучения. Аналогичное интегрирование производится и для получения граничных условий к этим дифференциальным уравнениям. Полученные описанным способом дифференциальные уравнения, граничные условия и уравнение энергии составляют замкнутую систему уравнений дифференциально-разностного приближения, которая и решается в зависимости от постановки задачи тем или иным способом. Коэффициенты переноса, фигурирующие в этой системе уравнений, как уже упоминалось, заранее точно не известны и определяются на основании предварительных приближенных оценок, а в случае необходимости могут быть уточнены итерационным методом. Этим, собственно, и обусловливается приближенность рассматриваемого метода. Вместе с этим сравнительная простота получаемых уравнений, отсутствие принципиальных затруднений при их решении, физическая наглядность сделали дифференциально-разностное [c.114]

В настоящей главе излагаются теоретические основы дифференциально-разностного приближения. При этом рассмотрение проводится с учетом селективного характера излучения, анизотропии объемного и поверхностного рассеяния и при произвольных формах излучающих систем, как это сделано в [Л. 29]. Далее с помощью дифференциально-разностного приближения выполнено решение двух задач, имеющих практическое значение исследовано влияние рассеяния на радиационный теплообмен и решена задача переноса излучения в слое ослабляющей среды при задании поля тепловыделений. [c.115]

Следует сказать, что дифференциально-разностное приближение нашло сравнительно широкое применение в различных областях науки и техники. Рассмотренные выше основы дифференциально-разностного приближения используются для решения конкретных задач радиационного теплообмена. [c.128]

Интегрирование системы уравнений типа (7-35) по времени при заданных начальных 0г(О) и граничных 00 (т) условиях легко производить по стандартным программам. Обычно применяются программы, реализующие метод Рунге—Кутта. Для устойчивого счета необходимо, чтобы безразмерный шаг интегрирования по времени был всегда меньше шага разбиения по координате. Следует отметить, что при постоянных коэффициентах (линейное приближение) метод прямых легко реализуется и на АВМ. Решение полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений приближенно представляет переходные процессы в дискретных сечениях по длине теплообменника. В таком виде метод прямых применяется для расчета динамических свойств теплообменников различных типов [Л. 57]. [c.88]

Все эти уравнения однотипны — они являются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка. Методика решения подобных уравнений с помощью электроинтеграторов достаточно полно освещена в литературе [I]. Суть этого метода состоит в замене точного дифференциального уравнения приближенным конечно-разностным и воспроизведении полученного уравнения с помощью электрической сетки. [c.76]

Классические методы пытаются решать задачи распределения полей напрямую, формируя системы дифференциальных уравнений на основании фундаментальных физических принципов. Точное решение, если удается получить уравнения в замкнутой форме, возможно только для простейших случаев геометрии, нагрузок и граничных условий. Довольно широкий круг классических задач может быть решен с использованием приближенных решений систем дифференциальных уравнений. Эти решения имеют форму рядов, в которых младшие члены отбрасываются после исследования сходимости. Как и точные решения, приближенные требуют регулярной геометрической формы, простых граничных условий и удобного приложения нагрузок. Соответственно, данные решения не могут быть применены к большинству практических задач. Принципиальное преимущество классических методов состоит в том, что они обеспечивают глубокое понимание исследуемой проблемы. [c.20]

В обш,ем случае стержни упругих систем испытывают растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. Точные дифференциальные уравнения этих видов сопротивлений являются нелинейными и построить аналитические решения этих уравнений весьма затруднительно. Для преодоления математических трудностей нелинейные дифференциальные уравнения линеаризуют и используют их решения в расчетной практике. Погрешность приближенных решений при fJh> 0 не превышает 3% [312], что вполне удовлетворяет требованиям к точности инженерных расчетов. В этой связи представим известные решения приближенных дифференциальных уравнений всех видов сопротивлений. [c.41]

Заметим, что в общем случае вероятности перехода Р (х, z, t) или Pik (t) являются функциями чисел заполнения f x, t) или Ni (/). Поэтому внешняя простота уравнений (84.6), (84.7) является кажущейся, и эти уравнения представляют собой в общем случае нелинейные интегро-дифференциальные уравнения, приближенное решение которых возможно лишь в простейших случаях при более или менее сильных предположениях. [c.463]

Как видно из формулы (85.9), уравнение Больцмана представляет собой сложное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, приближенное решение которого возможно только в некоторых весьма частных случаях. Однако, как мы увидим в последующих параграфах, уравнение Больцмана позволяет получить ряд важных следствий весьма общего характера. Ограничиваясь рассмотрением только упругих столкновений и считая массы молекул одинаковыми, запишем законы сохранения импульсов и энергии при ударе в форме [c.470]

В работе [77] рассматривается задача определения критического перепада температуры для изотропной оболочки. Приведенное в ней выражение для функции усилий в срединной поверхности является решением приближенного дифференциального уравнения совместности, а критический перепад температуры находится из решения уравнения устойчивости в энергетической трактовке. [c.154]

Прогибы балок, которые ранее определялись в данной главе, были получены решением приближенного дифференциального уравнения Е1ш"——М, которое справедливо при условии, что углы наклона балки малы. Когда углы наклона, а следовательно, и прогибы становятся большими, необходимо использовать точное дифференциальное уравнение линии прогибов. Это уравнение, основанное на допущении о том, что материал балки остается линейно упругим, имеет следующий вид (см. уравнения (6.1) и (6.2)) [c.254]

Рассмотрим численный метод решения двумерного стационарного уравнения теплопроводности, называемый методом конечных разностей, или методом сеток. Этот метод основан на замене производных, входящих в дифференциальное уравнение, приближенными значениями, выраженными через разности значений функ- [c.102]

Для плоскопараллельного слоя среды толщиною в при симметричном отводе тепла по обе стороны слоя можно определить время превращения всей массы в этом слое. Для этого дифференциальное уравнение приближенного решения (64,15) необходимо проинтегрировать от = 0 до = 5/2 [c.240]

Для решения упомянутого дифференциального уравнения приближенными методами следует знать значение производной переменной х по аргументу а в начальный момент времени. [c.529]

Получены универсальные алгебраические выражения для коэффициентов турбулентной вязкости и температуропроводности смеси в вертикальном направлении, зависящие от локальных значений таких параметров среды, как кинетическая энергия турбулентных пульсаций, динамические числа Ричардсона и Колмогорова, а также от внешнего масштаба турбулентности. Выведено алгебраическое уравнение для турбулентного числа Прандтля. Использование величины турбулентной энергии в качестве аргумента в выражениях для коэффициентов турбулентного обмена позволяет (при решении дополнительного дифференциального уравнения) приближенно учитывать неравновесность турбулентности по отношению к полям средних скоростей и температур, которая имеет место в свободных течениях в слоях с поперечным сдвигом скорости. [c.273]

Аналитический метод при определении временных деформаций изгиба (линии прогибов) и углов поворота сварного элемента сведется к решению приближенного дифференциального уравнения его изогнутой оси [c.399]

Очевидно, что эти уравнения первого приближения (9.4") имеют совершенно такой же вид, как и точные уравнения (9.4) задачи двух тел-точек. Поэтому и для решения точной задачи двух тел и для решения приближенной задачи многих тел нужно интегрировать одну и ту же систему дифференциальных уравнений типа (9.4). [c.415]

Если исходная дифференциальная задача аппроксимируется разностной и эта задача устойчивая, то из условия аппроксимации й устойчивости следует сходимость. Другими словами, разность между решением приближенной задачи и точным решением дифференциальной задачи, взятой в пространстве сеточных функций, стремиться к нулю при уменьшении размера шага сетки [c.128]

Хотя программа исследований в классической гидромеханике устанавливается без труда, следовать этой программе — задача чрезвычайно трудная из-за аналитической сложности системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (7-1.1) и (7-1.2). На практике точные или приближенные решения этой системы можно получить лишь в случае, когда либо граничные условия имеют чрезвычайно простой вид, либо проведены некоторые предварительные упрощения. Фактически в соответствии с типом производимых упрощений задачи гидромеханики можно разделить на ряд категорий. Отнесение какой-либо частной проблемы к одной из этих категорий основывается, по существу, на анализе размерностей. [c.253]

Дифференциальные уравнения (1-37)— (1-41) приближенно описывают течение дисперсного потока в общем виде и могут иметь множество решений. Для того чтобы в конкретной задаче получить однозначное решение, необходимо наложить дополнительные связи, описывающие все характерные частные особенности рассматриваемого случая. Перечень этих связей, которые необходимо знать наперед, называют условиями однозначности или расширенными краевыми условиями. Пусть, например, рассматривается осесимметричный поток газовзвеси в вертикальном канале постоянного сечения. В этом случае [c.116]

Для приближенных инженерных расчетов можно дальше упростить решение задачи [731. В частности, если принять 61 = 1, то это приведет к дифференциальным уравнениям, вытекающим из обычного уравнения Бернулли без учета влияния путевого расхода [45]. В уравнениях, полученных в работе [45], кроме того, вместо переменного по длине коэффициента сопротивления трения принят постоянный коэффициент сопротивления определяемый экспериментально и учитываюш.ий приближенно кроме потерь в самом подводящем (отводящем) канале изменение удельной энергии за счет отделения (присоединения) масс жидкости п произвольность выбора значения 61. [c.295]

Способ Бубнова — Галеркина. Способ, разработанный Н. Г. Бубновым и Б. Г. Галеркиным, получил широкое распространение для приближенного решения различных задач статики н динамики упругих тел. Для большей наглядности рассмотрим применение этого способа на примере решения задачи о поперечных колебаниях стержня переменного сечения, описываемых дифференциальным уравнением [c.586]

Метод Галеркина основан на минимизации ошибки e=Lu—/ приближенного решения и исходного дифференциального уравнения Ьф—/ = 0, где L — дифференциальный оператор. [c.37]

Такие решения с применением систем уравнений Лагранжа второго рода являются приближенными не только из-за численных методов решения дифференциальных уравнений, но и потому, что трение в кинематических парах здесь можно оценить лишь весьма приближенно, а упругость звеньев и зазоры в кинематических парах не учитываются вообще. Поэтому при разработке опытных образцов ПР применяют экспериментальные методы динамического исследования ПР, позволяющие с помощью соответствующих датчиков и аппаратуры записать осциллограммы перемещений, скоростей и ускорений звеньев и опытным путем учесть как неточности теоретического расчета, так и влияние ранее неучтенных факторов. [c.338]

В тех случаях, когда речь идет о численном решении задачи, она, разумеется, может быть приближенно доведена до конца, например обычными методами приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Если же, однако, речь идет о нахождении общего решения, т. е. об умении записать решение дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, то задачу такого рода можно решить лишь для отдельных частных случаев функциональных зависимостей, выражающих силы. Теория дифференциальных уравнений гарантирует лишь то, что это решение существует и является единственным (при нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на функции, выражающие силы) и что движение полностью определяется заданными начальными данными (29). [c.63]

В предыдущих главах было показано, что уравнения Лагранжа обычно представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений. Если же ограничиться исследованием движений, происходящих вблизи положения равновесия, то уравнения Лагранжа можно упростить — они заменяются в этом случае приближенными линейными дифференциальными уравнениями. Решения таких уравнений хорошо изучены, их можно записать в замкнутой форме с помощью элементарных функций, и это позволяет детально исследовать данный класс движений. [c.207]

Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение системы уравнений (15) имеет вид [c.215]

Решение этого нелинейного дифференциального уравнения колебаний маятника представляет известные трудности. Поэтому решим задачу приближенно, считая колебания маятника малыми. Разложив sin ср в ряд [c.188]

При а = ср правая часть третьего уравнения системы (4) оказывается точно равной нулю. Поэтому ошибка, которую мы совершаем, приближенно считая правую часть третьего уравнения системы (4) равной нулю, получается за счет пренебрежения первыми двумя слагаемыми в каждом из уравнений системы (7). Учитывая затухание свободных колебаний под действием сил сопротивления движению, подобное приближение следует считать вполне допустимым. При точном решении системы дифференциальных уравнений (4) угловая скорость диска ф не оказалась бы постоянной и не равнялась бы ш.) [c.271]

В общем случае уравнение движения механизма не решается точно в виде конечной функции. Обычно применяют приближенные либо численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, а уравнениям движения механизма придают вид, наиболее удобный для исследования в данных конкретных условиях характеристик нагружения. [c.284]

Мы получили систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Найдем приближенное решение уравнений (1). Для этого в членах, содержащих произведения X OS 2nt и у os 2ni положим х равным Xi и соответственно у равным уг- Тогда каждое из уравнений системы (1) приобретает вид уравнений вынужденных линейных колебаний при отсутствии сил сопротивления [c.434]

Решение, полученное на основе дифференциально-разностного приближения для плоского слоя серой, поглощающей среды при условии изотропного раопределеиня интенсивности во встречных по- [c.181]

Как видно из рис. 6-1 и 6-2, решение (6-49) совпадает с численным решением (Л. 354, 355] в области малых оптических толщин слоя Д, а далее с увеличением аптичеокой толщины они расходятся. При больших значениях Д результаты дифференциально-разностного приближения оказываются иже точных значений на 25%. Это [c.182]

В этой связи рядом авторов исследовался вопрос о влиянии эффекта рассеяния на перенос энергии излучения. Решение задачи обычно выполнялось на основе дифференциально-разностного приближения Шустера—Шварцшильда. Путем представления поля излучения, например для плоского слоя поглощающей и рассеивающей среды, в виде прямого и обратного потоков излучения было получено приближенное решение интегродифференциального уравнения переноса излучения. Сущность метода, таким образом, состоит в определении интенсивностей излучения 1 (2я)+ и (2л )", осредненных по положительной и отрицательной полусферам. При этом задача сводится к решению системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений для интенсивностей излучения /, (2я)+ и 4 (2л)-. [c.73]

Специфические трудности возникают при попытках использования метода аппроксимации адиабаты для расчета обтекания профилей при наличии циркуляции. В этом случае невозможно прямое построение соответствующего несжимаемого течения, и строгое решение сводится для заданного профиля (как, впрочем, и для бесциркуляционного обтекания) к некоторому нелинейному интегро-дифференциальному уравнению (приближенное же решение может быть построено различными способами). Строгий метод решения для течений с циркуляцией был развит независимо в 1946 г. П. Жерменом, Линь Цзя-цзяо и С. А. Христиановичем с И. М. Юрьевым . [c.293]

II Миндлин [58], Медик и Миндлин [59, 60] и другие авторы. Аналогичный приближенный анализ продольных волн в круглом стержне был дан Лявом [41 ], Херманом и Миндлиным [61 ] и другими авторами. Полученн1.1е решения представляют собой либо приближенные решения точных дифференциальных уравнений движения волны, либо точные решения приближенных дифференциальных уравнений. В обоих случаях ни одно из решений не дает удовлетворительного приближения, которое можно было бы использовать для точного расчета линии задержки с требуемыми свойствами. [c.541]

При решении краевых задач приближенные модели технических объектов можно строить на основе интегральных уравнений. При этом первый шаг на пути к ре-илению состоит в переходе от дифференциальных уравнений в частных производных к эквивалентным интегральным уравнениям. Во многих случаях, когда такой переход оказывается успешным, решение исходной задачи может быть получено с минимальными вычислительными затратами и высокой степенью точности. Кроме того, размерность исходной задачи понижается на 1, двухмерные задачи преобразуются в одномерные. [c.60]

Получив решения (9.16), замечаем, что уравнение (9.11), являющееся развернутой формой уравнения (9.14), содержит только одну неизвестную функцию (рм(/), которую и определим из этого уравнения. Как видно, оно явля( тся нелинейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами. Используем для его решения распространенный в нелинейной механике метод последовательных приближений. Применительно к динамическим задачам теории механизмов и машин этот метод был впервые разработан и эффективно применен М. 3, Коловским. [c.261]

Решение обратных задач, связанное с интегрированием системы дифференциальных уравнений (1 ), представляет подчас значительные трудности и часто не может быть выполнено в квадратурах. (Тогда приходится систему (1 ) решать численно, применять иные методы приближенного инте1 рировапия, либо пользоваться вычислительными машинами.) [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...