290 — Уравнения дифференциальные и их решение равновесия и их решение

Соотношения (14.37) вместе с дифференциальными уравнениями равновесия, дифференциальными зависимостями Коши и граничными условиями дают замкнутую систему уравнений для решения задач кратковременной ползучести. [c.313]

После подстановки найденных значений постоянных и Сг в уравнение (д) найдем частное решение дифференциального уравнения (г), или закон движения плоского математического маятника для случая малых его отклонений от положения равновесия в виде [c.487]

После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Сен-Венана. В его классических работах по теории кручения и изгиба на основе общих уравнений теории упругости дано решение задач кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, сформулировал знаменитый принцип Сен-Венана , дающий возможность получить решение задач теории упругости. С тех пор было затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее приложений, доказан ряд общих теорем, предложены общие методы интегрирования дифференциальных уравнений равновесия и движения, решено много частных задач, представляющих принципиальный интерес. Развитие новых областей техники требует более глубокого и широкого изучения теории упругости. Большие скорости вызывают необходимость постановки и решения сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно. [c.5]

Коснемся вопроса о том, при каких условиях обобщенное решение оказывается решением в классическом смысле (т. е. имеет нужное количество производных, удовлетворяет дифференциальному уравнению и краевым условиям). Оказывается [69,159], что если правая часть является кусочно-непрерывной функцией, то уравнения Ламе удовлетворяются. Краевые же условия выполняются, если граничная поверхность достаточно гладкая, а правые части уравнений равновесия достаточное число раз непрерывно дифференцируемы. В общем же случае однородные краевые условия удовлетворяются в следующем смысле. Существует такая последовательность функций ы (входящих в энергетическое пространство), что выполняется равенство [c.626]

Аналогично преобразуем и два других дифференциальных уравнения равновесия (4.1). Таким образом, получаем группу уравнений для решения задачи теории упругости в перемещениях [c.44]

Академик Эйлер в сочинении Общие принципы движения жидкости (1755 г.) вывел дифференциальные уравнения равновесия и движения жидкостей, дав общее решение задачи. Из дифференциальных уравнений Эйлера легко может быть получено и уравнение Бернулли, являющееся частным решением этих уравнений. [c.7]

В задачах механики часто встречаются случаи, когда решения совершенно различных по физической сущности задач сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям. Тогда между задачами может быть установлена аналогия. Можно, не решая уравнения, сказать, например, что между переменными xi, и yi из одной задачи существует та же зависимость, что и между переменными Х2 и у2 из другой задачи. Тогда говорят, что переменная 12 является аналогом переменной 11, а J/2 аналогом переменной у. Часто бывает так, что в первой задаче, не решая уравнений, трудно представить себе связь между переменными xi и j/i, а физическое содержание второй задачи допускает простое и наглядное толкование зависимости 12 от J/2- В таком случае установленная аналогия дает возможность наглядно представить себе закономерности, существующие в первой задаче. Так, в частности, обстоит дело с задачей о кручении. Оказывается, что, независимо от формы исследуемого сечения, задача о кручении стержня сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой по контуру того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. [c.129]

Состоянию равновесия отвечает нулевое решение Х = О ( = 1,. .., т) системы дифференциальных уравнений (2). Наличие такого решения предполагает, что правые части уравнений (2) удовлетворяют условию [c.207]

Для системы с распределенными параметрами, которую можно трактовать как систему с бесконечным числом степеней свободы, линеаризация условий равновесия вблизи исходного положения равновесия системы приводит к однородным дифференциальным уравнениям. Их решение дает, вообще говоря, бесконечное число точек бифуркации. [c.24]

Рассмотренный в предыдущей главе статический метод, в общей постановке сводящий задачу о приспособляемости (и предельном равновесии) к проблеме математического программирования, является весьма эффективным и универсальным. Однако его использование связано со сложными вычислениями. При применении ЭВМ требования к объемам запоминающих устройств в общем случае довольно высоки и возможности получения решений пока еще далеко не безграничны. Использование методов оптимального управления приводит в общем случае к необходимости решения нелинейных дифференциальных уравнений. Поэтому заслуживают внимания другие методы, хотя и не столь универсальные, но позволяющие получать достаточно простыми средствами приемлемые по точности результаты применительно к отдельным классам задач, представляющим интерес для приложений. [c.88]

Основным методом точного определения критического значения нагрузки является непосредственное интегрирование дифференциального уравнения криволинейной формы равновесия. При использовании этого метода вычисление критической силы сводится к решению путем подбора достаточЕЮ сложных трансцендентных уравнений. Поэтому при практическом осуществлении расчетов на устойчивость большое значение приобретают таблицы первых корней этих уравнений, т. е. заранее вычисленные значения критических сил. [c.324]

В классической линейной теории упругости принята следующая постановка задачи уравнения равновесия формулируются для недеформированного состояния, компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями, а материал подчиняется закону Гука, т. е. напряжения и деформации связаны между собой линейными зависимостями. В этом случае задача определения напряженно-деформированного состояния сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Нетрудно показать, что напряженно-деформированное состояние, соответствующее этому единственному решению, является устойчивым. [c.77]

В классической линейной теории упругости принята такая постановка задачи материал подчиняется закону Гука, а компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями (1.17). В этом случае задача сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Это решение описывает устойчивое (в рамках линейной теории упругости) положение равновесия, т. е. соответствует минимуму полной потенциальной энергии. [c.24]

Отметим еще одно преимущество слабой формы уравнений движения над дифференциальной. Иногда при решении конкретных задач трудно реализовывать граничные условия в (1.118)-(1.120), сформулированные в отсчетной конфигурации. Примером могут служить контактные задачи, где статические и кинематические граничные условия ставятся на контактных поверхностях, которые определяются в деформированной (текущей) конфигурации. Вторым примером могут служить следящие (неконсервативные) нагрузки (например, гидростатическое давление), зависящие от деформированной геометрии тела. В этом случае вместо последних членов в правых частях (3.3) или (3.5) можно использовать последний член из правой части (3.1), что всегда можно сделать, так как они равны. В то же время при постановке граничных условий для дифференциальных уравнений движения (равновесия) такую замену сделать невозможно. [c.112]

Рассмотрим методику решения поставленной краевой задачи. Напомним, что силовые уравнения равновесия (4.11) и граничные условия (4.12) были получены независимо от физических уравнений состояния. Поэтому мы можем воспользоваться ими и в рассматриваемом случае. Если во внутренних силовых факторах (4.8), входящих в уравнения (4.11), выразить напряжения через деформации, используя соотношения (4.47), а затем деформации через три линейно независимые функции и х), ф х), w x) с помош ью формул (4.2) и (4.3), то в результате получим систему нелинейных дифференциальных уравнений. О точном ее решении в данном случае говорить не приходится. Поэтому воспользуемся методом упругих решений Ильюшина (см. 1.7), который распространим на исследуемые слоистые системы. [c.169]

Все эти экспериментальные исследования, несомненно, послужили мощным толчком к тому, чтобы предпринимать попытки к теоретическим исследованиям по вопросу о составлении дифференциальных уравнений движения жидкости с учётом не только давления", но и внутреннего трения. К этому времени стали открываться возможности для теоретических исследований такого рода в связи с развитием механика упруго деформируемого тела. Накопление исследований и решений конкретных задач по теории изгиба брусьев, по теории кручения стержней и по теории колебаний стержней и пластинок на основе использования закона Гука о пропорциональности напряжений деформациям создало все предпосылки не только к тому, чтобы установить общие уравнения равновесия и колебаний упругих тел, но и к тому, чтобы закон Гука в несколько изменённой форме распространить на жидкость и на основе этого создать дифференциальные уравнения движения жидкости с учётом внутреннего трения. Этим обстоятельством и объясняется тот факт, что создатели математической теории упругости—Навье, Пуассон, Коши, Сен-Венан и Стокс оказались одновременно и создателями математической теории движения вязкой жидкости. [c.14]

Каждая из четырех составляющих задач имеет вполне определенные краевые условия, позволяющие получить однозначное решение. Результаты решения первой составляющей задачи будут выражены через заданную внешнюю нагрузку Р на внутреннем и внешнем контурах, а в трех остальных — через неизвестные постоянные хи о, К тл I. Каждое решение будет удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, условиям на контуре и условиям совместности деформаций. Однако решения составляющих задач, каждое в отдельности, не будут удовлетворять условиям однозначности перемещений. Для удовлетворения условий однозначности перемещений постоянные К я I требуется подчинить условию (IV. 37), [c.343]

Уравнение задачи и представление решения. Дифференциальные уравнения равновесия имеют вид [c.131]

Тем самым вновь справедлива теорема об устойчивости решений дифференциальных уравнений, и положение равновесия устойчиво. [c.441]

Для нахождения скоростей перемещения ш, V воспользуемся вторым и третьим уравнениями системы (25) с учетом полученных уравнений (27) — (29) для напряжений ае, Ог, тег. После ряда преобразований можно получить систему из двух дифференциальных уравнений Лапласа, решение которых с некоторыми упрощениями можно выполнить подбором сопряжен-ных гармонических функций. Данные функции должны удовлетворять уравнениям равновесия и граничным условиям в перемещениях. Так, на трубной части штампуемого изделия при г > 2/ производную осевого перемещения дw дz и скорость радиальной деформации р можно принять постоянными, а производные окружного перемещения дv /дQ и дь 1дг и производную м/50 — равными нулю. Тогда можно [c.82]

Третьим уравнением для решения составленного выше дифференциального условия равновесия выделенного элемента будет являться уравнение пластичности вида сг — о-д = сг (справедливо при [c.148]

Для случая лучистого равновесия решения уравнения переноса значительно упрощаются. Ниже мы рассмотрим три задачи и решим их двумя методами для серой среды и для среды, близкой к серой без рассеяния по Чандрасекару (в этих случаях можно получить интересные результаты вплоть до численных значений) и задачу с учетом рассеяния, которая будет решена дифференциально-разностным методом. [c.143]

Третья глава посвяш ена задаче устойчивости и содержит наряду с классическими результатами Ляпунова прежде всего рассмотрение вопросов сходимости, связанных с нормальной формой аналитических дифференциальных уравнений вблизи положения равновесия и с разложением обш его решения в тригонометрические ряды. В этой связи было бы весьма желательным привести также полное доказательство часто упоминаемой теоремы Пуанкаре о расходимости рядов в небесной механике, но мне не удалось этого сделать. Излагаемая в конце теорема [c.14]

Приведенные выше системы уравнений можно объединить с целью получения альтернативных форм дифференциальных уравнений, точное решение которых будет удовлетворять и исходным уравнениям. Эти альтернативные формы называются соответственно дифференциальными уравнениями равновесия и совместности. [c.119]

Классический подход к решению указанных задач предполагает введение в рассмотрение бесконечно малых элементов, составляющих континуум исследуемой конструкции, и описание посредством дифференциальных уравнений некоторого состояния (равновесия, движения, теплового баланса и т. п.). Решение в замкнутой форме может быть получено для ограниченного числа наиболее простых задач. Если для получения конечных результатов используются численные методы (что обычно и имеет место), то на определенном этапе решения сплошная среда фактически аппроксимируется некоторой дискретной моделью. Связано это с тем, что ЭВМ лучше работает с элементами, имеющими конечную величину. При составлении этой дискретной модели зачастую утрачиваются те преимущества, которые дает описание задачи при помощи бесконечно малых и привлечение аппарата математического анализа. Отсюда, естественно, напрашивается такой подход к решению, при котором сплошная среда с самого начала представляется при помощи дискретной модели. Кусочные подобласти носят в этом случае название конечных элементов (элементов конечных размеров). Элементы взаимодействуют между собой через узловые точки (узлы), расположенные на их границах. Число узловых параметров дискретной модели образует число степеней свободы идеализированной сплошной среды, а совокупность значений узловых параметров характеризует ее состояние. [c.10]

Решение. Будем определять положение кривошипа углом q>, отсчитываемым от положения равновесия. Чтобы исключить неизвестную реакцию осн С, рассмотрим шестерню I и кривошип как одну систему и составим дифференциальное уравнение ее движения с помощью уравнения (49). [c.313]

В предыдущих главах было показано, что уравнения Лагранжа обычно представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений. Если же ограничиться исследованием движений, происходящих вблизи положения равновесия, то уравнения Лагранжа можно упростить — они заменяются в этом случае приближенными линейными дифференциальными уравнениями. Решения таких уравнений хорошо изучены, их можно записать в замкнутой форме с помощью элементарных функций, и это позволяет детально исследовать данный класс движений. [c.207]

Решение. Выберем ось j с началом в положении равновесия центра О ящика и обозначим через <р угол отклонения радиуса OBi от вертикали. Обозначая через N давление шарика на ящик, направленное по радиусу OBi, напишем дифференциальное уравнение движения ящика [c.604]

Решение. Составим дифференциальное уравнение движения точки. Проведем ось O.v вертикально вверх, поместив начало О в положении равновесия. На точку действуют сила отталкивания F, направленная вертикально вверх, и вес Р. При этом F = jj- [c.323]

Здесь представим только общие соображения по расчету нелинейных систем, поскольку эта тема выходит за рамки данной работы. Нелинейные задачи деформирования стержней, пластин и оболочек весьма разнообразны и каждая задача требует индивидуального подхода. Однако, если нелинейные модули образуют целостную систему, то для узловых точек (линий) всегда будут справедливы уравнения равновесия между статическими параметрами и уравнения совместности перемещений между кинематическими параметрами. Это значит, что топологическая матрица С в алгоритме МГЭ для нелинейных систем будет формироваться из анализа матриц X ж Y точно так же, как для упругих систем. Основные же трудности решения нелинейных задач заключаются в определении внутреннего содержания матриц А В, т.к. построить фундаментальные функции нелинейных дифференциальных уравнений за небольшим исключением не удается. В этой связи получили развитие различные подходы к решению нелинейных краевых задач [83]. К первому направлению относятся проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ритца, методы конечных разностей и конечных элементов. Этими методами нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных [c.512]

Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами. Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат и более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеаризацией уравнений. Такая линеаризация, естесавенно, в известной мере искажает действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать линеаризованные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной. [c.585]

Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии тонких плит (пластин) в общем случае связано с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия (16.40), в которых усилия и моменты для линейно-упругих материалов с характеристиками деформации связаны соотношениями (16.26). Де- рмации, в свою очередь, выражаются через перемещения по формулам (16.14) в декартовых осях и по формулам (16.15) в полярных оординатах. Эта задача представляет большие математические трудности, и поэтому целесообразно классифицировать задачи, с тем чтобы выделить из них те случаи, которые дают возможность применительно к разным конкретным условиям получить более простые уравнения, поддающиеся решению относительно простыми средст-<вами. [c.389]

В плоской задаче теории упругости неизвестными являются восемь функций Tpi составляющие напряжений а,., Оу, т. три составляющие дефор1аций г-р. , Vii, и лве составляющие перемещений и и V. Уравнений для решения задачи также Bo e i два дифференциальных уравнения равновесия (ft.2). три геометрических соотношения Коши (6,4) и три формулы. закона Гука (6.7) или (6,8), [c.60]

Рассмотрим задачу об устойчивости равновесия упругой слоистой анизотропной оболочки вращения, нагруженной осесимметричной системой внешних сил, интенсивности которых пропорциональны одному параметру. Докритическое равновесное состояние оболочки определяем на основе линеаризованных уравнений статики, а его устойчивость исследуем в рамках статической концепции Эйлера о разветвлении фop равновесия, позволяющей трактовать (см. параграф 3.3) задачу устойчивости как линейную краевую задачу на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными. Решение этой задачи строим в форме тригонометрических рядов Фурье по угловой координате (см. параграф 3.6) с коэффициентами, зависящими от меридиональной координаты. Отделяя угловую координату и вводя 2х-мерный вектор j>(x) вариаций безразмерных кинематических и силовых характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки (см. параграф 3.6), приходим к линейной краеюй задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которую запишем в векторной форме [c.205]

Кусочно-гладкие динамические системы допускают своеобразные состояния равновесия, не встречающиеся у динамических систем, описываемых гладкими дифференциальными уравнениями. Эти состояния равновесия расположены на поверхности разрыва, и в них правые части дифференциальных уравнений не обращаются в нуль. К исследованию устойчивости таких состояний равновесия было привлечено внимание многих авторов, подходивших, к его решению самыми различными способами. Решение вопроса сначала для релейных систем (С. Д. Киняпин и Ю. И. Неймарк, 1959), а затем для общего случая, было получено методом точечных отображений (М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер, 1960 Ю. И. Неймарк и С. Д. Киняпин, 1960). [c.154]

Общая задача о магнитной структуре малых ферромагнитных частиц при их перемагничивании решалась методами теории микромагнетизма [1-6], в которой возможный процесс перемагничивания (например, образование доменов или однородное вращение векторов намагниченности) не постулируется заранее. В трактовке этой теории направляющие косинусы векторов намагниченности микрообъемов ферромагнетика рассматриваются как непрерывные функции координат и определяются нри учете всех сил, действующих на векторы намагниченности, исходя из условий равновесия. Такое рассмотрение приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений, точное решение которых получено лишь для частного случая магнитных частиц, имеющих форму эллипсоида и бесконечного кругового цилиндра [1-13, 1-14]. В результате показано, что в малых частицах указанной формы возможен механизм неоднородного поворота векторов намагниченности при значениях внешнего поля, меньших, чем те, которые необходимы для процесса их однородного поворота [см. (1-57)]. В частице, имеющей форму тонкого цилиндра, на начальных стадиях процесса перемагничивания могут иметь место как однородное вращение векторов намагниченности частицы, так и неоднородное их вращение, осуществляющееся вихревым изменением или изгибанием направлений векторов намагниченности 3 35 [c.35]

Определение критического зпачениг нагрузки путем интегрирования дифференциального уравнения криволинейной формы равновесия приводит к нео(5ходимости численного решения достаточно громоздких трансцендеит-Н1>1Х уравнений. В этом его основной недостаток. Вместе с тем этот метод является точным, т. е. критическое значение нагрузки может быть вычислено с любой степенью точности. [c.806]

Первая попытка решения только что рассмотренной нами вадачи принадлежит Софи Жермен, которой удалось получить правильное дифференциальное уравнение однако она ошиблась в определении граничных условий. Эта последняя часть задачи для свободной пластинки представляет, конечно, значительные трудности. В своем мемуаре О равновесии и движении упругих тел 2) знаменитый математик Пуассон дал три уравнения, которым должны удовлетворять все точки свободной границы. Но Кирхгоф доказал, что в общем случае удовлетворить всем трем уравнениям невозможно. Оказывается, однако, что имеется исключение для случая симметричных колебаний круглой пластинки, когда одно из этих уравнений удовлетворяется тождественно. Вследствие этой особенности теория симметричных колебаний Пуассона остается правильной, несмотря на его ошибку в определении граничных условий. В 1850г. Кирхгоф ) подвел итоги теории этого вопроса и первый указал два уравнения, относящихся к свободной границе, а также завершил теорию колебаний круглого диска. [c.388]

Метод линий скольжения разработан для плоской деформации (плоского течения). В этом случае задача пластичности статически определима, если рассматривается идеальное жест-коиластичсское тело. Решение задачи сводится к интегрированию двух уравнений равновесия и уравнения, определяющего состояние пластичности, т. е. имеются три уравнения с тремя неизвестны.ми. Интегрирование выполнено в общем виде и является точным решением дифференциальных уравнений, в ре- зультате решения которых установлена зависп.мость среднего напряжения от угла поворота линии скольл ения, называе.мая интеграло.м Генки, [c.27]

Решение. Пусть в некоторый ыомент времени I выведенный нэ положения равновесия поршень, масса которого т, двигаясь вправо, находится на расстоянии х от положения равновесия избыточное давление жидкости на поршень в этот ыомент равно р. Тогда дифференциальное уравнение двнжe lия поршня имеет вид [c.365]

Решение. Поместим начало координат О в положение статического равновесия груза и направим ось Ох по вертикали вниз (рис. 267). Если обозначить длину недеформированной пружины через 1 , то ее длина в произвольный момент времени будет /=/о—S+ t+J . а удлинение Х=1 1а=Кт+х— . Тогда действующая на груз сила упругости f= X= ( T+- —I). и составляя дифференциальное уравнение движения груза, будем иметь (так как X T=mg) [c.249]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...