Вариационный принцип для уравнения

Вариационные принципы для уравнений медленного течения 111 — 114 [c.612]

ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП для УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА [c.383]

Вариационный принцип для уравнений Гамильтона [c.112]

Сформулировать вариационный принцип для задачи о собственных значениях Я, определяемых уравнениями (57,12). [c.318]

В разд. II были приведены два вариационных принципа (см. уравнения (10) — (19)), которые позволяют найти границы для е. Эти принципы были сформулированы в терминах средних по объему, но их можно переформулировать в терминах средних по ансамблю, поскольку при определении е предполагалось, что справедлива эргодическая гипотеза [4]. Более того, е определяется равенством (13) через энергию [c.267]

Если исходить из ковариантного вариационного принципа для одной материальной точки, то уравнения Эйлера—Лагранжа, очевидно, будут иметь вид [c.234]

Отсюда следует, что из всех возможных состояний равновесию системы, подверженной воздействию внешних сил (имеющих потенциал), соответствует то, при котором полная энергия системы принимает стационарное значение. Это так называемый вариационный принцип Лагранжа. Уравнение (15.64) полностью повторяет (15.61) в случае дискретной системы и (15.63) в случае сплошной среды. Функционал П для случая сплошной среды обсуждается в 15.13 и 15.20. [c.487]

Представляют несомненный интерес также разработанные сравнительно недавно вариационные принципы решения уравнения переноса излучения (Л. 33, 34], обстоятельный анализ сходимости которых дан в [Л. 33]. В одномерных астрофизических задачах и особенно в задачах нейтронной физики [Л. 30, 327, 328] для решения уравнения переноса с успехом применяется метод сферических гармоник. Аналогичная этому методу идея замены интегро-дифференциального уравнения переноса системой дифференциальных уравнений используется в методе моментов [Л. 35, 331—333]. [c.111]

Вторая часть книги (гл. 6—10) посвящается применению принципа виртуальной работы и связанных с ним вариационных принципов к частным задачам теории упругости. Здесь рассмотрены задачи о кручении стержня, о балках, о пластинах, об оболочках и конструкциях и показана мощь вариационных принципов для получения приближенных определяющих уравнений и соответствующих граничных условий. [c.13]

В гл. 1 и 2 книги мы будем рассматривать теорию упругости при малых перемещениях (геометрически линейную теорию упругости) и выведем принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы для задачи о статическом равновесии упругого тела, находящегося под действием массовых (объемных) сил, при заданных граничных условиях [1,2 ]. Для описания трехмерного пространства, в котором рассматривается тело, применяются ортогональные декартовы координаты (х, у, z). В геометрически линейной теории упругости компоненты перемещений и, V, W в точке тела считаются столь малыми, что уравнения задачи выполняются в линейном приближении. Запишем эти линеаризованные уравнения [c.23]

Книга состоит из 11 глав, Гл. 1 содержит сведения из геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения упругости для поперечных касательных напряжений. В случае осесимметричной деформации многослойных анизотропных оболочек вращения выведена нормальная система десяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая в дальнейшем решается численно на ЭВМ. [c.4]

Другой общий подход к построению нелинейной механики сплошной среды, с привлечением основ термодинамики и электродинамики, развивается Л. И, Седовым. В основе этого подхода лежит введение дополнительных физических параметров в качестве искомых характеристик состояния и свойств среды. Седов дополнил соответствующий математический аппарат тензорного анализа, предложил общий вариационный принцип для исследования уравнений задачи и подошел (совместно со своими учениками) к построению новых моделей сплошной среды. [c.306]

В этом разделе исследуем возможность получения вариационного принципа для линеаризованного уравнения Больцмана. Будем рассматривать стационарный случай, хотя, используя свертку или преобразование Лапласа, можно изучать и нестационарный случай. Итак, рассмотрим уравнение [c.239]

Нетривиальный вариационный принцип для линейного уравнения обычно основывается на самосопряженности линейного оператора <2 , который входит в уравнение [c.239]

В связи с методами исследования тепловых напряжений во второй главе рассматривается аналогия между задачей термоупругости и соответствующей задачей изотермической теории упругости при фиктивных объемных и поверхностных силах, излагаются вариационные принципы для задач термоупругости, являющиеся обобщениями вариационного уравнения Лагранжа [c.7]

Первый вариационный принцип для энергии использовался при выводе интегралов, из которых получаются дифференциальные уравнения теории упругости, но он имеет более широкое применение, благодаря тому что с его помощью можно найти приближенные выражения для деформации упругих балок, пластинок и. других тел во многих важных для приложений случаях, когда проинтегрировать дифференциальные уравнения и найти точное решение невозможно. Швейцарский математик Вальтер Ритц ), к сожалению, скончавшийся в раннем возрасте, показал, как можно находить такие приближенные решения. Например, в случае изгиба пластинки он предложил представить уравнение ее изогнутой поверхности в виде суммы конечного числа членов [c.151]

В современной теоретической физике уравнения Лагранжа приобрели огромное значение, далеко выходящее за пределы механики. Уравнения Максвелла, Эйнштейна и Шредингера единым образом следуют из вариационного принципа для соответствующего функционала. [c.53]

Вариационные принципы в теории упрочнения. Вариационное уравнение (4.1) не предполагает какой-либо специальной гипотезы о характере зависимости потенциала от структурных параметров, оно сохраняет силу и в том случае, если Ф зависит не от времени, а от параметра упрочнения р. Этот факт был замечен С. А. Шестериковым (1957), который сформулировал соответствующий вариационный принцип для теории упрочнения и применил его для решения релаксационных задач. Полагая приближенно [c.141]

Задача 16.3. Сформулировать вариационный принцип для электромагнитного поля Е, Н в вакууме, описываемого системой уравнений Максвелла [c.464]

Уравнения колебаний, подобно уравнениям изгиба, могут быть получены при помощи вариационного принципа. Для вывода уравнений колебаний воспользуемся принципом Гамильтона, потребовав, чтобы б/=0, где [c.65]

Это уравнение эквивалентно вариационному принципу для определения минимума Р [c.378]

В 3 мы вывели приближение Хартри —Фока из вариационного принципа для того, чтобы получить уравнение Шредингера для одноэлектронной волновой функции (3.7). Другой аспект этого приближения можно получить, если записать оператор Гамильтона электронного газа со взаимодействием (3.1) в представлении чисел заполнения, т. е. оператор [c.53]

Сокращенные уравнения (13.8.14) — (13.8.16) эквивалентны некоторому вариационному принципу для функции к. Чтобы увидеть это, используем явные выражения (13.8.18) для различных матриц. При этом выражение [c.396]

Геррман Л. Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых и почти несжимаемых материалов. — Ракетная техника и космонавтика, 1965, т. 3, № 10, с. 139. [c.523]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Исчерпывающий учебник с большим количеством нодроб-ностей. Том I — орбиты, баллистические траектории, уравнения Лагранжа и Гамильтона и вариационные принципы для частицы. Том II — твердое тело, имеющее неподвижную точку или катящееся ударные импульсы, общие лагранжевы и га мильтоновы методы, метод периодических решений. [c.441]

Берд [11 сформулировал аналогичный вариационный принцип для установившегося ламинарного движения несжимаемых неньютоновских жидкостей в том случае, когда можно пренебречь инерционными членами в уравнениях движения. Он также привлек внимание к другим аналогичным исследованиям [2]. Другое обобщение, которое применено к стоксовому течению вязкой несжимаемой жидкости при неоднородной температуре, было предложено Глансдорфом, Пригожином и Хейзом [13]. [c.112]

Отсутствие унифицированной гибкой модели для оценки упругого поведения многослойных композитов (скажем, со 100 слоями) не позволяет проанализировать виды разрушения в конструкциях из композитов. Глобальные модели, которые следуют из предполагаемого вида поля перемещений и приводят к определению эффективных модулей упругости слоистых композитов, недостаточно точны для расчета напряжений. С другой стороны, локальные модели, в которых каждый слой представляется в виде однородной анизотропной среды, становятся очень громоздкими, когда число слоев в композите достаточно велико, как было показано в предыдущем разделе. Самосогласованная модель Пэйгано и Сони [38] позволяет детально определить поведение материалов в локальной области, в то время как глобальная область представляется эффективными свойствами. В настоящем исследовании слоистый композит по толщине делится на две части. Для вывода определяющих уравнений равновесия используется вариационный принцип. Для глобальной области слоистого композита применен функционал потенциальной энергии, тогда как в локальной области использован функционал Рейсснера. [c.66]

В отличие от теории Уитни — Сана, которая была выведена, исходя из принципа минимума потенщ1альной знергии, в теории, в основу которой положен вариационный принцип Рейсснера, уравнения состояния для и содержат поверхностные усилия. Это приводит к иным уравнениям поля для области балки вне трещины, 0< л- <2Л - а. В результате уравнения (101) и (102) принимают вид [c.264]

Для уяснения основ теории пластичности, а также при решении практических задач большую роль играют вариационные принципы теории пластичности. С их помощью можно описать напряженное и деформированное состояние тела в форме требования минимума некоторого функционала при некоторых дополнительных условиях. В качестве последних используются не все уравнения и неравенства задачи, а лишь часть их. Напомним, что вариационные принципы для рассеивающих сред, в которых варьируются кинематически допустимые поля деформаций и статически допустимые поля напряжений, выраженные через упругий потенциал и потенциал рассеивания, были введены еш е Г. Гельмгольцем и Ф. Энгессе-ром. Для идеально пластического тела из принципа Гельмгольца следует, 265 что действительное поле напряжений обращает в максимум мощность поверхностных сил Но поскольку, согласно закону сохранения энергии, эта мощность равна мощности внутренних сил и сил инерции, то и эта последняя должна стремиться к максимуму. Обобщение принципов Гельмгольца и Энгессера на вязко-пластическую среду получили А. А. Ильюшин , а позднее Дж. Г. Олдройд и В. Прагер. [c.265]

Вариационные принципы для линеаризованного уравнения Больцмана излагались в разд. 10 и 12 гл. IV. Если вариационный принцип применять к кнтегродифференциальному уравнению (разд. 10 гл. IV), то трудно сделать простые, но разумные предположения о функции распределения, однако если удается сделать такие предположения, то они приводят к простым выражениям для приближенного решения. Использование модельных уравнений в интегральной форме (разд. 12 гл. IV) приводит к длинным вычислениям и громоздким результатам даже для простых пробных функций, но результаты окупаются даже при не слишком удачных предположениях. В самом деле, применен ние модельных кинетических уравнений в интегральной форме означает, что предположение о конечном числе моментов приводит к функции распределения, которая автоматически удовлетворяет граничным условиям какие бы предположения ни делались, результат все равно останется верным по структуре в свободномолекулярном пределе. [c.396]

Впервые вариационный принцип для физической проблемы был отчетливо сформулирован в геометрической оптике в XVII в. французским математиком Пьером Ферма (1601—1665), автором знаменитой теоремы о том, что уравнение х + у = г , где п — целое число, больше двух, не имеет решения в целых положительных числах. Принцип Ферма является обобщением известного принципа Герона об отражении света и основан на положении, что природа действует наиболее легкими и доступными путями. Этот принцип заключается в том, что действительный путь распространения света есть тот, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с другими путями между теми же точками. Математическое выражение принципа следует из [c.501]

Из этих рассуждений вытекает, что, помимо различных других требований [39], определяющие уравнения должны быть согласованы с фундаментальными теоремами термодинамики. Можно ожидать, что это требование сужает класс допустимых определяющих уравнений в многочисленных разделах механики сплошной среды. Желательность такого рода ограничений хорошо известна из теории пластичности, одной из наиболее интенсивно исследуемых в настоящее время ветвей механики сплошной среды. Серьезные ограничения на возможные типы определяющих уравнений налагает так называемая теория пластического потенциала, предложенная Мизесом [21] и обобщенная Прагером [24, 25], Койтером [18] и Друке-ром [8, 9] последняя версия этой теории носит название постулата Друкера. По-видимому, не существует каких-либо прямых механических причин для такого ограничения, однако из него вытекают существенные математические упрощения, касающиеся теорем единственности и вариационных принципов. Для пластических материалов это было показано Койтером [19] и др. аналогичное до- [c.8]

Для иллюстрации описанного выше метода используем вариационный принцип для вывода многогрупповых уравнений в Р -прибли-жении. Покажем, что уравнения, которым удовлетворяют групповые потоки п сопряженныефункции, имеют ожидаемый вид, но что групповые сечения усредняются как по потоку, так и по сопряженной функции вместо усреднения только по потоку, как в гл. 4. Кроме того, если получено решение многогрупповых уравнений для групповых потоков и сопряженных функций, то такое же вариационное выражение можно использовать для нахождения потока и сопряженной функции в зависимости от энергии внутри группы. Групповые константы можно в этом случа епересчитать таким образом, чтобы получить внутригрупповой спектр, групповые сечения и групповые потоки с помощью итераций в самосогласованном виде. [c.240]

Л. Я. Айнола построил геометрически нелинейную теорию упругих оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона—Остроградского 13.2] (1965). Получены также уравнения в возмущениях применительно к исследованию динамической устойчивости начального состояния движения. Исходя из вариационного принципа для геометрически нелинейной теории упругости и вводя основные гипотезы модели Тимощенко, он вывел уточненные уравнения динамики гибких оболочек в криволинейных координатах [3.6] (1968). [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...