Функционалы

Чтобы сформулировать принцип детерминизма напряжения математически, требуется высказать ряд математических замечаний о функционалах. Это будет сделано в следующем разделе. [c.131]

ФУНКЦИОНАЛЫ И ПРИНЦИП ЗАТУХАНИЯ ПАМЯТИ [c.134]

ПО заданным функциям можно вычислить определенные численные значения. Искомое отображение называется функционалом. [c.135]

Различие между функцией и функционалом заключается в том, что, в то время как аргументом функции является некоторая величина (будь то скалярная, или векторная, или тензорная), аргументом функционала является функция. Здесь возникает некоторое затруднение, поскольку тензоры сами были определены как функции однако специальное свойство линейности предполагает, что тензоры однозначно определены их девятью компонентами, так что функцию тензорного аргумента можно рассматривать фактически как функцию девяти скалярных аргументов. [c.135]

В уравнении (4-2.6) значение у однозначно определяется частным видом функции / ( ). Если, например, функция / (х) есть х , то I/ = 10 ООО если же / х) есть j/a , то I/ = 10 и т. д. Понятно, что легко привести и другие примеры функционалов. [c.136]

Для обозначения функционалов будем использовать готические символы (например, 4 , g и т. п.). Прописные буквы будем использовать для указания на тензорный характер значения функционала, строчные — для обозначения вектора или скаляра. [c.136]

При рассмотрении функционалов возникают вопросы о гладкости и непрерывности. Для этого нужно некоторое удовлетворительное расширение аналогичных понятий, уже известных для функций. Функция считается непрерывной, если при достаточно малом изменении аргумента изменение ее значения тоже достаточно мало (более строго, оно меньше любого наперед заданного числа). Гладкость функций предполагает, что производная ее непрерывна. В попытке распространить это понятие на функционалы возникает трудность, связанная с нахождением подходящего определения того, что подразумевается под малой вариацией функции. Более общо, при рассмотрении понятий непрерывности и гладкости для [c.136]

Непрерывность и дифференцируемость функционалов [c.138]

Чтобы сделать это, требуется обобщить понятие производной на функционалы. Это понятие, возможно, легче всего ввести, рассматривая обыкновенную функцию скалярного аргумента h (х), которая при X = Хо имеет первую производную h xq). Очевидно следующее уравнение [c.139]

Дифференциал Фреше следует рассматривать как прямое обобщение понятия обыкновенных дифференциалов на функционалы. Действительно, из сравнения уравнений (4-2.15) и (4-2.17) очевидно, что б оказывается аналогичным члену h dy = dh. Дифференциалы Фреше более высокого порядка, обозначаемые через могут быть введены аналогичным образом. [c.139]

Принцип затухающей памяти гласит, что если заданы две предыстории, которые почти совпадают в недавнем прошлом, но могут сильно различаться в отдаленном прошлом, то соответствующие им два значения зависимой переменной должны быть весьма близкими. Это требование удовлетворяется при условии, что функционал состояния предполагается непрерывным в смысле соответствующей топологии пространства предысторий, которая определяет малое расстояние между такими функциями. Точная формулировка принципа затухающей памяти должна быть дана в терминах предположений непрерывности и гладкости функционалов состояния. [c.140]

Заметим, что значение функционала определено только с точностью до произвольного изотропного тензора. Иными словами, для каждого заданного материала определено целое семейство функционалов значения которых отличаются друг от друга на изотропные тензоры. Одна частная форма функционала может быть идентифицирована при помощи нормализации [c.144]

Следует заметить, что, если справедлив принцип затухающей памяти, функции / ( ), а ( ) и Р ( ) должны достаточно быстро стремиться к нулю при s—v оо. Кроме того, / ( ), а ( ) и р ( ) являются функциями, характеризующими рассматриваемый материал, в противоположность функции затухания h (s). Действительно, при заданном функционале приближения, описываемые уравнениями (4-3.24) и (4-3.25), определены однозначно, в то время как о функции затухания h (s) этого сказать нельзя. [c.146]

Функционал а в уравнении (5-1.6) связан с функционалом в уравнении (4-4.36), но отличается от последнего по следующим причинам (i) в качестве отсчетной выбрана текущая конфигурация (см. примечание на стр. 159), (ii) вместо тензора F используется тензор G, что допустимо, поскольку предыстория вращения не существенна. [c.170]

Приближение второго порядка к функционалу для простых жидкостей также принимает форму интегрального уравнения. Оно было приведено ранее в виде соотношения (4-3.25), которое [c.220]

Уравнение (6-3.23) представляет собой наиболее общий вид интегрального уравнения состояния при условии, что перекрестные эффекты, обусловленные деформациями в разные моменты времени, не учитываются. Материал, подчиняющийся уравнению (6-3.23), полностью характеризуется материальными функциями и ф . Последние являются функциями s, а также первого и второго инвариантов С , которые в свою очередь представляют собой функции от S. (Заметим, что и фа — не функционалы, а лишь сложные функции.) [c.222]

Поэтому, хотя топология, связанная с уравнением (6-3.46), не является, конечно, физически невозможной, материал, описываемый таким уравнением состояния, не будет удовлетворять большинству общих теорем теории простой жидкости, и термодинамический анализ, проведенный в разд. 4-4, не будет для него справедлив. Кроме того, общая теория функционалов, непрерывных по отношению к топологии, подобной той, которая связана с уравнением (6-3.46), не разработана, так что нельзя сделать никаких общих утверждений, справедливых для такого класса материалов. [c.228]

Мы получили уравнения (6-4.37) и (6-4.38) из уравнений линейной вязкоупругости применительно к описанию поведения некоторых реальных материалов, выходящих и за пределы малых деформаций. Ввиду этого уравнения (6-4.37) и (6-4.38) описывают различное реологическое поведение, хотя они и эквивалентны в предельном случае малых деформаций (см. обсуждение, следующее за уравнением (6-3.1)). С другой стороны, уравнения такого же типа можно получить при рассмотрении простых одномерных моделей, включающих пружинки и амортизаторы , и соответствующем обобщении этих моделей на трехмерную форму относительных механических уравнений, инвариантных относительно системы отсчета. По-видимому, имеет смысл проиллюстрировать этот метод, который оказывается полезным для понимания топологических свойств получающихся функционалов. [c.239]

Завершим этот раздел замечанием, касающимся релаксационных уравнений вообще. В самом общем виде релаксационное уравнение не определяет единственный материал, т. е. единственный функционал, который описывает напряжение в данный момент, если задана предыстория деформаций. Рассмотрим аналогичный случай для функций. Если функция определяется посредством дифференциального уравнения, должны быть заданы начальные условия. Если начальные условия не заданы, дифференциальное уравнение определяет целую систему функций. Вообще говоря, если не сделано дополнительных предположений, релаксационное уравнение состояния определяет одновременно ряд функционалов, т. е. ряд различных материалов. Возможно даже, что среди материалов, определенных таким образом, представлены жидкости и твердые тела одновременно. [c.246]

Остается еще вопрос о том, будет ли уравнение (6-4.39) с заданными значениями параметров определять единственную жидкость или ряд жидкостей. С первого взгляда может показаться, что из одного и того же уравнения в зависимости от произвольно задаваемых начальных условий будут получаться различные функционалы, т. е. различные жидкости. Однако структура этого уравнения такова, что оно уже содержит свойство затухающей памяти. Это означает, что если момент времени, в который определены начальные условия, смещается все дальше и дальше в прошлое, то получающийся в результате функционал становится все более не зависящим от начальных условий. Пример такого свойства был приведен при получении уравнения (6-4.19) из (6-4.12). Таким образом, можно сделать вывод, что при условии наложения начальных условий в далеком прошлом их влияние несущественно, и уравнения, рассматриваемые в этом разделе, недвусмысленно определяют единственную жидкость. [c.247]

СОСТОЯНИЯ ). Следовательно, до тех пор пока желательно сохранять определенную степень общности, нужно ограничиться предположением, что имеем дело с классом материалов, характеризуемых одним и тем же безразмерным функционалом . Далее такие материалы будем называть гомологичными. Оставшаяся часть раздела ограничена анализом, применимым по отдельности к каждому из классов гомологичных материалов (разумеется, все ньютоновские жидкости гомологичны). [c.266]

Несжимаемые простые жидкости, участвующие в течениях растяжения, полностью характеризуются двумя скалярными материальными функционалами, для которых разности первых и вторых нормальных напряжений зависят от двух любых из трех величин а . Например, [c.289]

Материальные функционалы в уравнениях (7-6.4) и (7-6.5) сводятся тогда к материальным функциям в уравнениях (5-3.9) и (5-3.10). [c.289]

В приведенных выше рассуждениях не предполагалось, что существование любого механизма затухания обусловливает невозможность появления разрывов. В действительности волновое уравнение с затуханием (уравнение (7-7.10), приводимое ниже) допускает разрывные решения любого порядка. Теория простых жидкостей с исчезающей памятью, удовлетворяющая обсуждавшимся в разд. 4-4 гипотезам гладкости определяющих функционалов, была действительно применена в работе [40] к изучению распространения волн, где были получены очень интересные результаты. В таких жидкостях возможно не просто распростра- [c.293]

Большинство выходных параметров объекта являются функционалами зависимостей V(Z), т. с. для их определения необходимо при заданных X н О выполнить решение системы уравнений (1.2) и по полученным результатам решения рассчитать V. Примерами выходных параметров-функционалов служат мощность рассеяния, амплитуда колебаний, длительность задержки распространения сигнала и т. п. [c.23]

Функционал J в соответствии с (3. 4. 7) разделится на сумму двух функционалов / , зависящего только от 91, и /2, зависящего только от -3 [c.115]

Минимумы функционалов (3. 4. 8), (3. 4. 9) можно искать независимо [41]. Из соотношения (3.4.9) следует, что min/2 является функцией только г. Это означает, что минимальное значение функционала играет роль аддитивной постоянной и при построении уравнения для (90) его можно не рассматривать. Минимальное значение найдено в работе [43]. Его можно записать в следующем виде [c.115]

Для определения кинетической энергии К необходимо найти вид функции 92, доставляющей минимум функционалу 1 . С этой целью будем варьировать уравнение (3. 4. 9) с учетом условия (3. 4. 3). В результате получим уравнение для определения 2 в виде [c.117]

Функционал F представляется суммой соответствующих функционалов, относящихся к отдельным конечным элементам [c.16]

Этап 1. Представление функционала F в виде суммы соответствующих функционалов для элементов. [c.31]

Разбиение исследуемой части сечения стержня на элементы показано на рис. 1.11. (На практике такое разбиение стержня слишком грубое.) Функционал (1.47) представим суммой функционалов, относящихся к отдельным элементам сечения стержня = [c.33]

Рассмотрим один из функционалов [c.33]

Математический аппарат, требуемый для применения принципа затухающей памяти (функционалы и их свойства гладкости), обсуждается в следующем разделе. В разд. 4-3 в общем виде развита механическая теория простых жидкостей с затухающей памятью. В чисто механической теории в число переменных не включается температура и не учитываются энергетические соображения. Хотя такой подход удовлетворителен в применении ко многим механическим задачам, все же исключение из рассмотрения энергетических понятий серьезно ограничивает анализ даже в случае изотермических задач более сложная термомеханическая теория требует привлечения термодинамических соображе- [c.133]

При рассмотрении функционалов нужно выбрать определение нормы аргументных функций. Эта норма сама является функционалом, преобразующим функции в скаляры. Если такая норма определена, топология пространства функций также определена, и непрерывность функционала определяется в терминах этой топологии. С другой стороны, следует помнить, что различный выбор нормы может определять ту же самую топологию, и, следовательно, выбор нормы неоднозначно определяется свойствами непрерывности функционала. [c.138]

Рассмотрим теперь одну задачу, которую можно решить, не приписывая функционалу какой-либо специальной формы, а именно гидростатическую задачу. Рассмотрим простую жидкость, которая находится и находилась всегда в состоянии покся, так что [c.143]

В пределах каждой категории стандартов запись производят по г руппам изделий, объединенных по их функциональио(> у назначению, в пределах каждой группы - в алфавитном пс,рядке наименований изделий, в пределах каждого наименования — в порядке возрастания обозначения стандартов, а в преде. 1ах каждого обозначения стандартов — в порядке возрастания основных параметров или размеров изделия. [c.328]

Применяют та1сже методы, имеющие менее универсальный характер, например методы анализа чувствительности функционалов зависимостей V(/), получающихся при интегрировании систем ОДУ. В этих методах или сокращается число вариантов интегрирования уравнений, или упрощается система интегрируемых уравнений. [c.256]

Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма. Типичной алгоритмической ММ является система уравнений (1.2), дополненная алгоритмом выбранного численного метода реиюния н алгорит-мо.м вычисления вектора выходных параметров как функционалов решеггия системы уравнений V(z). [c.40]

Большинство выходных параметров V проектируемых объектов являются функционалами зависимостей У( ), например, определенными интегралами, экстремальными значениями, моментами пересечения заданных уровней фазовых переменных. Решение системы (2.4) и расчет ыяходпы.к Ш1раме -ров-фупк1итоиалов составляют содержание процедуры анализа переходных процеееов. [c.51]

Рис. 2. Установление функциональ-ны.ч злементоп — осей и поверхностей (обозначены утолщенными линиями).

Метки, указывающие функциональ-HOG назнвчение входов триггера S-вход — для раздельной установки триггера в состояние 1 Л-вход — для раздельной установки триггера в состояние О /-вход — для установки состояния 1 в универ-сальном /Я-триггере Я-вход — для установки состояния 1 в универсальном /Я-триггере Г-вход — счетный если триггер имеет только счетный вход, метка Г может отсутствовать О-вход — И11фирмациии-ный вход для установки триггера в состояния 1 и О Евход — подготовительный управляющий вход для разрешения приема информации С-вход — исполнительный управляющий (командный) вход для осуществления приема информации вход синхронизации. [c.196]

Вариационные принципы, порождающие системы уравнений пщро-динамики, используются как при исследовании задач математической физики, так и для построения численных методов решения таких задач. Этапы создания принципов отражены в публикациях [1-20] и в цитированных в них работах. Усилия в этой области направлены, с одной стороны, на построение интегральных функционалов, аккумулирующих в себе уравнения конкретных задач, а с другой стороны, — на достижение общности вариационных принципов. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...