Функционал граничных условий

Таким образом, точка стационарности функционала граничных условий Э. Рейсснера Эг(и,о) есть его седловая точка. [c.87]

В пространстве U перемещений, удовлетворяющих всем уравнениям теории упругости в области и однородным геометрическим граничным условиям, скалярное произведение можно определить на основе функционала граничных условий [c.206]

Задача 3. Найти функцию а(ф), принадлежащую классу и реализующую минимум функционала (3.24) при изопериметрических условиях (3.25), (3.26), дифференциальных связях (3.27), (3.28), при заданных функциях ф), А ф), в ф), 1р ф) = <Ра ф), заданных величинах Уо> УЬ) -У, С, граничных условиях (3.29), (3.30) и условиях (3.31) в случае непрерывности функций а, 1 в точке с. [c.97]

Для постановки вариационной задачи об отыскании тела с максимальным сопротивлением необходимо, помимо функционала (7.2) и условия (7.3), привлечь дифференциальные уравнения газовой динамики, соотнощения на допустимых разрывах и граничные условия задачи. Такая полная задача здесь не рассматривается. [c.169]

В теории упругости большинство задач сводится к решению дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Их решение часто связано с большими математическими трудностями. Обойти эти трудности позволяют прямые вариационные методы. Вместо того, чтобы решать основные дифференциальные уравнения теории упругости, ставится задача об определении искомых функций Ui, Zij, ац, удовлетворяющих граничным условиям и минимизирующих некоторый функционал Ф(щ, гц. оц). например полную потенциальную энергию П или дополнительную энергию П. [c.127]

Если соответствующие ограничения на выполнены, то при однородных силовых граничных условиях краевые задачи для (2.535) сводятся к задаче минимизации функционала [c.127]

Равенство (3.22) и является дифференциальным уравнением Эйлера для функционала (3.19), а (3.23) — его граничными условиями. [c.57]

Второй характерный случай применения вариационного подхода — это получение дифференциальных уравнений и граничных условий рассматриваемой задачи как уравнений Эйлера соответствующего функционала. Такой путь оказывается оправданным для тел сложной формы и структуры (например, многослойные оболочки и др.), а также при переходе от одной системы координат к другой (от декартовой системы к полярной, криволинейной и другим системам). [c.57]

Пятнадцать уравнений теории упругости (2.40) и условия на поверхности тела (2.10) являются уравнениями Эйлера этого функционала и их граничными условиями. [c.69]

Э зависит от перемещений и деформаций, а так как деформации однозначно определяются через перемещения, то можно утверждать, что функционал Э зависит только от перемещений и, v, w. Заметим, что в выражении (11.13) перемещения считаются согласованными с геометрическими граничными условиями на поверхности тела 5ц. [c.355]

Таким образом, можно сформулировать вариационный принцип Лагранжа применительно к вязкоупругим телам среди всех возможных полей перемещений вязкоупругого тела, согласованных с геометрическими граничными условиями, истинными являются те, при которых функционал Э принимает минимальное значение. [c.356]

Проварьируем функционал по напряжениям, относящимся к моменту времени t, принимая в качестве вариаций напряжений статически возможные поля напряжений. Под Этими полями понимаются такие распределения напряжений, которые удовлетворяют однородным уравнениям равновесия и однородным граничным условиям на части поверхности тела Sp (вариации массовых сил и поверхностных нагрузок считаются равными нулю). Тогда [c.357]

Равенство (8.17) позволяет сформулировать следующую теорему потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. [c.213]

В принципе минимума дополнительной работы рассматривается функционал, зависящий от компонент тензора напряжений, которые должны быть статически возможными, т. е. должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия в объеме V и граничным условиям на части Se поверхности тела о заданными поверхностными силами. [c.105]

Если предположить, что заранее выполнены зависимости (5.80) и граничные условия (5.84), то полный функционал Э превращается в функционал Л принципа минимума потенциальной энергии. [c.107]

Заметим, что удовлетворять заранее статическим граничным уело-виям, вообще говоря, нет надобности, так как функции Uj, реализующие минимум функционала П, будут удовлетворять, как уже известно, уравнениям равновесия Ламе (5.47) и статическим граничным условиям (5.48), т. е. будут решением граничной задачи, эквивалентной принципу минимума потенциальной энергии. [c.108]

Очевидно, что при таком выборе класса допустимых функций они будут удовлетворять граничным условиям (5.88) при любых параметрах Uk- Среди этих функций надо найти ту, которая сообщает функционалу (5.87) наименьшее значение. Если подставить в функционал вместо Ui выражение (5.89) и выполнить интегрирование, то функционал превратится в квадратичную функцию п параметров а . [c.108]

Таким образом, вместо решения уравнения Пуассона (7.33) при граничном условии (7.13) функция напряжений Ф, минимизирующая функционал может быть приближенно определена одним из прямых методов вариационной задачи кручения при выполнении граничного условия (7.13). [c.179]

Таким образом, вариационная постановка задачи изгиба, базирующаяся на принципе минимума дополнительной работы, сводится к определению подчиненной граничному условию (8.9) функции напряжений Ф (xi, лгг), минимизирующей функционал (8.84). [c.220]

Функцию напряжений Ф х , дс ), минимизирующую функционал Т, можно приближенно найти одним из прямых методов вариационной задачи изгиба при выполнении граничного условия (8.9). [c.221]

Таким образом, вариационная постановка плоской задачи сводится к определению подчиненной граничным условиям (9.21) функции напряжений Ф (xi, Хг), минимизирующей функционал (9.439), [c.326]

Очевидно, что базисные функции ф/ (х) = д/2/я sin jx принадлежат классу допустимых, удовлетворяют граничным условиям и ортонормированы. Подстановка в выражение для функционала дает [c.163]

Заметим, что установленный выше результат о минимуме функционала есть известный в теории упругости принцип минимума потенциальной энергии, состоящий в том, что из всех перемещений, удовлетворяющих граничным условиям в перемещениях, в действительности реализуются те из них, для которых потенциальная энергия минимальна. [c.622]

Система уравнений теории упругости и граничные условия представляют собою уравнения Эйлера и естественные граничные условия некоторой вариационной задачи. Построим следующий функционал [c.253]

Считая, что уравнения (8.4.1) и граничные условия (8.4.6) выполнены заранее, получим функционал, зависящий только от напряжений [c.257]

Функционал (8.7,6) называется функционалом Кастильяно. При варьировании этого функционала необходимо иметь в виду, что уравнения (8.4.1) и граничные условия (8.4.6) предполагаются выполненными. Поэтому должно быть [c.257]

Для построения расчетных схем, основанных на МКЭ, могут быть пспользованы различные функционалы для разрывных полей перемещений, напряжений и т. д. (см. гл. 3 б и гл. 4 6), а в более сложных случаях — комплекс полных и частных функционалов для многоконтактных задач [4.1]. Особый интерес представляют функционалы граничных условий, которые могут быть использованы как в варианте МКЭ, основанном на методе Ритца, так и в варианте, основанном на аппроксимации функционала. Первый представляет интерес для энергетических оценок погрешности он может быть реализован при достаточно простых законах распределения упругих констант и нагрузок в области, таких, что все уравнения (геометрические, физические, статические) внутри конечного элемента могут быть выполнены за счет выбора аппроксимирующих функций это возможно, например, для однородного анизотропного тела при отсутствии объемных сил. Задача о стационарном значении функционала граничных условий служит для приближенного выполнения граничных условий и условий контакта между элементами. [c.172]

Можно показать, что классические методы строительной механики (методы сил, перемещений, смешанные), система функционалов для строительной механики стержневых систем, предложенная И.И. Голь-денблатом [5.8], как и некоторые варианты метода конечных элементов [5.11], исходят из функционала граничных условий многоконтактной задачи. [c.172]

Метод Трефтца (см., например, [0.11]) отличается тем, что координатные функции в (1) выбирают таким образом, чтобы они удовлетворяли всем уравнениям данной задачи в области задача о стационарном значении функционала используется для приближенного выполнения граничных условий. Другими словами, этот способ заключается в использовании функционала граничных условий, так что с точки зрения системы функционалов, представленной в гл. 3 и 4, метод Трефтца можно трактовать как метод Ритца по отношению к функционалу граничных условий. [c.174]

К классу комбинированных методов относится использование некоторых сложных конечных элементов (суперэлементов), которые можно оп-ределить [5.1] как элементы, внутри области которых выполняются все уравнения данной теории следовательно, применение сложных конечных элементов связано с функционалом граничных условий. Эти уравнения могут быть выполнены точно (в этом случае получаем метод Ритца для функционала граничных условий) или приближенно— с помощью аналитических или численных методов. Здесь заключена возможность и удобство комбинированного применения МКЭ с другими методами, в том числе с МКР и разными вариантами МКЭ. [c.177]

Таким образом, задача свелась к отысканию одной скалярной функции 6 = 9(xiX2) из условия минимума функционала (5.327) на множестве функций, удовлетворяющих в области ограничению в виде неравенства (5.328) и граничному условию (5.329). [c.286]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Теперь покажем, что уравнениями Эйлера—Остроградекого и естественными граничными условиями для функций щ, реализующих минимум функционала П, являются уравнения равновесия (4.12) и граничные условия (4.21). [c.100]

Наконец, полагая, что заранее выполнены соотношения (5.82), дифференциальные уравнения равновесия (5.81) и граничные условия (5.83), полный функционал Э превращается в функционал Кастилья-но V. [c.107]

Треффца на примере задачи о стационарном значении функционала (5.30), зависящего от функции и (Xi), для которого уравнением с)йле-ра—Остроградского является уравнение Лапласа (5.31), а функция и (xi) должна удовлетворять заданному граничному условию [c.112]

Принимаем, что приближенно удовлетворяющее граничному условию (5.113) решение Хг по методу Треффца имеет невязку со, определяемую равенств(ом (5.118). Тогда имеем следующее выражение для истинного значения функционала [c.114]

Построение системы линейных уравнений. Следующим этапом метода конечных элементов является получение системы уравнений для нахождения неизвестных функций в узлах. Данному дифференциальному уравнению с граничными условиями ставят в соответствие некоторый функционал, минимум которого достигается в том случае, когда удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение. ]"1ными словами, вариационным уравнением Эйлера для данного функционала является исходное уравнение. Например, нахождение решения уравнения Лапласа для потенциала скорости d2ip d2 f дх2 ду2 [c.202]

Здесь бар представляют собою компоненты деформации срединной плоскости 2бар = и-а, s + а. Формулы (12.4.3) достаточны для построения общей теории. Составляя функционал Лагранжа и приравнивая нулю его вариацию, мы получим некоторые дифференциальные уравнения для м и ц с соответствующими граничными условиями, т. е. построим техническую теорию изгиба пластин, заранее предполагающую выполнение известных кинематических ограничений. Но мы будем пользоваться вариационным принципом Рейснера и зададимся следующим законом распределения напряжений по толщине [c.397]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...