Экстремум функционала

Проводя те же рассуждения, которые имеют место при выводе необходимых условий экстремума функций, мы придем к заключению, что необходимое условие для экстремума функционала J состоит в том, чтобы [c.418]

Итак, чтобы функция z (х) давала экстремум функционала 7. необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла дифференциальному уравнению (47). которое впервые было дано Эйлером и носит его имя. Так как F=F x, г, z ), то уравнение Эйлера в раскрытом виде запишется так [c.418]

При получении условий оптимальности большую роль играет множество функций, на котором происходит сравнение значений функционала. Это множество назовем областью определения функционала. Для теоремы Эйлера это было множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, проходящих через фиксированные начальную и конечную точки в заданные начальное и конечное значения параметра I. Могут быть и другие ограничения. Предположим, например, что требуется найти экстремум функционала Ф(7) среди всех вектор-функций, для которых значение другого функционала такого же вида [c.603]

Теорема 8.11.3 обосновывает метод множителей Лагранжа для изопериметрических задач (сравните с замечанием 4.6.2). Рецепт решения задач по этому методу состоит в том, что ищется безусловный экстремум функционала Ф -I- АФ. Его экстремаль 7 будет зависеть от скалярного параметра А. Параметр А находится из условия, что Ф(7 ) = с. [c.605]

Область определения функционала может задаваться также с помощью системы дифференциальных уравнений. Для удобства построения метода поиска экстремумов функционала в этом случае примем следующие обозначения [c.606]

Будем искать экстремумы функционала [c.606]

Методы классического вариационного исчисления позволяют определять экстремумы функционала вида [c.223]

Условие экстремума функционала приобретает вид [c.75]

Методы решения двух последних групп являются приближенны ми лишь условно, так как с их помош,ью можно достигнуть любой точности результатов, если решение допускает уточнение в виде учета последующих членов разложения какой-либо величины или построено в форме последовательных приближений, или связано с малым интервалом при определении значения исследуемой функции. Вариационные методы могут оказаться и точными, если уравнения Эйлера—Лагранжа при исследовании экстремума функционала (например, Э) допускают точное решение или задача имеет конечное число степеней свободы (см. задачу 1.5). [c.9]

Условие экстремума функционала 1 (4.208) в рассматриваемом случае записывается в виде [c.179]

Можно показать, что экстремум функционала (4.216) есть максимум, поэтому экстремум функционала [c.179]

Необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его первой вариации 6J, т. е. главной части приращения функционала, которая линейна по отношению к вариации функции бы. [c.96]

В вариационном исчислении доказывается 1491, что функция и (х), реализующая экстремум функционала, должна удовлетворять определенному дифференциальному уравнению. Например, для функционала (5.26) условие экстремума 8J =>0 будет выполнено, если функция и (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению [c.96]

При составлении алгоритмов управления на первом уровне в последнее время стали разрабатываться оптимизационные алгоритмы, в которых искомые законы изменения обобщенных координат манипулятора определяются по заданным траекториям точек захвата с одновременным выполнением ограничений и получением оптимальных значений критериев качества (минимум кинетической энергии, минимум общей затраты энергии, максимальный КПД, минимум времени перемещения из одной позиции в другую и т. п.). Оптимизационные алгоритмы называют также экстремальными, так как получение оптимальных значений критериев качества сводится к решению задачи о нахождении законов изменения обобщенных координат (управляющих воздействий) по заданной цели при дополнительном условии экстремума функционала, зависящего от управляющих воздействий и постоянных параметров схемы манипулятора (длин звеньев, масс, моментов инерции и т. п.). Использование экстремальных алгоритмов управления возможно лишь в случае, если манипулятор обладает маневренностью, т. е. имеются избыточные степени свободы. [c.267]

Эта теорема позволяет осуществлять аппроксимацию волны в элементе линейной комбинацией функций [ид]. Амплитудные значения этих функций определяются из условия экстремума функционала / [11]. Решение сводится к однородной системе алгебраических уравнений, которая позволяет получить соотно- [c.296]

Если при этом 6 / —малая величина, а бу —может быть и большой величиной (рис. 15.3), то экстремум функционала называется сильным-, при условии малости как Ьу, так и Ьу — слабым (рис. 15.2). [c.442]

Необходимым условием экстремума функционала является обращение в нуль его вариации, т. е. б/ = 0. Так как интеграл в (15.2) при таком условии. должен быть равен нулю при любых [c.442]

Для того чтобы установить действительно ли реализуется на кривой у = у(х) экстремум функционала и при этом выяснить, что имеет место — максимум или минимум — необходимо рассмотреть достаточные условия. [c.443]

В других, более сложных случаях (а) — функционал от п функций одной переменной и от их первых производных б) — функционал от одной функции одной переменной и от п последовательных производных этой функции в) — функционал от функций нескольких переменных и от их производных) дифференциальные уравнения, выражающие необходимые условия экстремума функционала, получаются более сложными. Иногда в названии этих уравнений, кроме имени Эйлера, упоминаются имена и других ученых (С. Д. Пуассона, М. В. Остроградского), но часто и в этих, более сложных случаях, упоминают только имя Эйлера. [c.443]

Как видно из приведенной ниже схемы, отыскание экстремума функционала аналогично отысканию экстремума функции. [c.444]

Условием экстремума функционала является обращение в нуль вышеприведенного интеграла. В развернутой форме при двухкратном применении интегрирования по частям это условие выглядит так [c.445]

Экстремали, на которых достигается экстремум функциона.яа /, являются решением и исходной вариационной проблемы. Величины %1 называются неопределенными (функциональными) множителями Лагранжа. Уравнения Эйлера вариационной проблемы для функционала / и условия для /г позволяют найти у1 Я,у ( = 1, 2,. .., п у = 1,. .., т). Аналогичная ситуация имеет место и при отыскании экстремума функции, но множители Лагранжа при этом не являются функциональными. [c.449]

Таким образом, приходим к задаче определения экстремума функционала [c.58]

Основная задача вариационного исчисления может быть сформулирована так среди всех допустимых по условиям данной задачи функций найти такую функцию у = у (л), которая доставляет заданному функционалу экстремальное значение. Необходимым условием экстремума функционала, как и необходимым условием экстремума функции, является условие стационарности [c.305]

Покажем, что решение задачи нестационарной теплопроводности в вариационной постановке удовлетворяет уравнениям (2.10) — (2.13). Условие экстремума функционала к имеет вид [c.52]

Данной краевой задаче соответствует вариационная задача о нахождении экстремума функционала [c.150]

Из вариационного исчисления известно [40], что условием абсолютного экстремума функционала является равенство нулю вариации этого функционала. Очевидно, что если достигнуто оптимальное распределение параметра Уг(г), то при небольших произвольных вариациях этого параметра в точке г вариация функционала равна нулю. Это значит, что равна нулю функциональная производная, т. е. функция эффективности этого параметра [c.112]

Из условия экстремума функционала 6Я = 0, учитывая произвольность вариации bqv r), получаем искомое условие [c.113]

К отысканию экстремумов тех или иных функционалов могут быть сведены многие обратные и оптимизационные инженерно-физические задачи. Необходимым условием экстремума функционала является тождественное равенство нулю его вариации [c.218]

Условие экстремума функционала в рассматриваемом случае записываем в виде > [c.63]

Подробное и<хледование достаточных условий существования экстремума приводит к понятию о так называемых кинетических фокусах. Не останавливаясь подробно на этом вопросе, скажем несколько слов об упомянутых достаточных условиях существования экстремума функционала, входящего в математическую формулировку принципа Эйлера — Лагранжа в форме Якоби. [c.204]

Функция 1 х) и этом случае называется экстремалью, а лначонно J f)— экстремумом функционала. [c.320]

Описанный метод не обеспечивает автомагического. окончания поиска после того, как най"ден экстремум функционала. Поэтому перед каждым поворотом координат делается сравнение Р с величиной алоЯ погрешности, либо ограничивается число этапов. [c.60]

Отметим, что вариационный метод позволяет получать не только дифференциальные уравнения проблемы, но одновременно и недостающие 1) граничные условия. Эти граничние условия, называемые естественными, не обуславливаются внешними обстоятельствами и вытекают из сути самой вариационной задачи. Удовлетворение естественным граничным условиям необходимо для соблюдения экстремума функционала в той же мере, что и удовлетворение дифференциальному уравнению Эйлера. Совокупность наложенных извне и естественных граничных условий обеспечивает единственность решения вариационной проблемы —из поля экстремалей выделяется одна. [c.445]

Здесь значения ti и з температуры t в граничных узлах 1 и i определяются граничными условиями (2.4). Значения tтемператур во внутренних узлах определяем из условия (2.9) экстремума функционала к [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...