Вариация функционала первая

Вариация функционала первая 162 Вектор ортогональный 63 [c.423]

Вычислим первую вариацию функционала (2.31). Отметим важное различие между вычислением вариации исходного функционала (2.20) и записанного здесь функционала (2.31). В первом случае варьирование производилось без учета ограничений, налагаемых на функции клас-са Во второй случае искомая функция а(у) уже не свободна на участке ск. [c.76]

Она остается свободной только на отрезке Ьк, а конец к этой экстремали лежит в области сак с заранее определенными функциями а х,у), д х,у). Таким образом, первое слагаемое правой части (2.31) является функцией от ус, а второе слагаемое — функцией от хн, Ун- Если во втором случае удастся добиться обращения в нуль первой вариации, то это не означает, что первая вариация функционала (2.20) также обратится в нуль. Наоборот, она, вообще говоря, не равна нулю, поскольку 0 на ск. На характеристике ск допустима односторонняя вариация 6а. Необходимым условием минимума х является увеличение х допустимых вариациях 6а. [c.76]

При вычислении первой вариации функционала Г необходимо учесть следующее. Сумма первых двух членов в (3.2), как это следует из (3.3), является функцией от координат и уп точки Л. Величина уь задана, и вариация от нее равна нулю. Вычисления дают [c.90]

При вычислении первой вариации функционала [c.139]

В этом параграфе вариационный подход к задаче механики и, в частности, полученная в 4 общая формула для вариации функционала будут использованы для того, чтобы установить связь между законами сохранения, которые были получены в предыдущих главах, и общими свойствами пространства и времени, которые находят свое выражение в инвариантности законов механики относительно преобразований систем отсчета. Установление этой связи позволит понять внутреннюю природу законов сохранения и причины, по которым эти законы существуют. Такое понимание особенно важно, ибо оно иногда позволяет предвидеть первые интегралы и тем самым облегчить исследование уравнений, описывающих движение. [c.286]

Из равенств (45) и (44) видно, что последний интеграл в правой части представляет собой, с точностью до малых высшего порядка, разность J z x)]—J[z x). Эта разность называется первой вариацией функционала J, т. е. [c.417]

Здесь первое слагаемое, линейно зависящее от би, называется первой вариацией функционала ДЭ1 (би) == бЭ, второе слагаемое есть [c.55]

Из курса математики известно, что равенство нулю первой вариации функционала (3.17) является необходимым условием локального экстремума этого функционала. Оно выражает тот факт, что в локальной зоне изменения функций-аргументов функционал с точностью до бесконечно малых первого порядка сохраняет неизменное (стационарное) значение. [c.55]

Составим выражение первой вариации функционала (15.7)2 I I [c.445]

Аналогично понятию второго дифференциала функции в вариационном исчислении вводят понятие второй вариации функционала. Для простоты записи в дальнейшем ограничимся случаем, когда функционал зависит только от функции у (х) и ее первых двух производных. Тогда вторая вариация функционала определяется выражением [c.305]

Первое слагаемое в правой части (П.14) называется вариацией функционала f(f). [c.217]

Исследуем на экстремум простейший функционал (2.64) для случая, когда граничные точки для допустимых функций у фиксированы у (а) = уа, у (Ь) = Допустимыми функциями называются непрерывные функции (с непрерывными производными), принимающие известные значения на концах интервала интегрирования., Необходимым условием экстремума является обращение в нуль первой вариации функционала. Для получения первой вариации функционала перейдем от функции у к близкой к ней, полагая [c.48]

Подставив (2.68) в выражение для первой вариации функционала (2.67), имеем [c.49]

В положении равновесия системы функционал Лагранжа принимает стационарное значение. В этом нетрудно убедиться, если подсчитать первую вариацию функционала Лагранжа бЭ = 6J/ + 8П. [c.76]

Тогда первая вариация функционала, определенная соотношением [c.193]

Величина 6Ф, аналогичная первому дифференциалу функции нескольких переменных, является главной линейной относительно вариаций функции и ее производных составляющей приращения АФ.и называется первой вариацией функционала Ф. Величина б Ф аналогична второму" дифференциалу функции нескольких переменных эта величина носит название в т о р ой в а-р н а ц и и функционала Ф. [c.382]

Аналогично формулируется условие максимума функционала. Из условия стационарности (9) может быть получено дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять искомая функция, доставляющая стационарное значение функционалу, а также те граничные условия, которым она может быть подчинена. Для этого, последовательно интегрируя выражение для первой вариации функционала (7) по частям, избавимся от вариаций производных искомой функции под знаком интеграла ь [c.383]

В [20] исследован знак первой вариации функционала (2.1.1). Оказалось, что функции [c.523]

Если приравнять нулю первую вариацию функционала (4.77), то получим два дифференциальных уравнения второго порядка относительно скоростей и г . Вновь переходя к аргументу I и воспользовавшись уравнениями движения [c.131]

Единственность движений со связями, реализуемыми идеальными реакциями, зачастую позволяет при исследовании ограничиться использованием условий, получаемых на основе анализа первой вариации функционала. Из условий второго порядка в задачах минимизации действия обычно упоминаются только сопряжённые кинетические фокусы, причём в виде оговорки, что их не должно быть между начальной и конечной точками траектории. [c.235]

Точнее, можно показать, что первая вариация функционала [c.152]

Легко проверить, что для функций, удовлетворяющих уравнению (16.1), первая вариация функционала (16.3) [c.160]

Первая вариация функционала (16.4) на собственной функции однородной задачи имеет вид [c.161]

Пусть й удовлетворяет всем условиям однородной задачи. Убедимся, что тогда (17.5) стационарен на й. Для этого дадим функции й малое приращение цф с произвольной ф из класса допустимых функций н вычислим первую вариацию функционала на й (линейные по ц члены в выражении Цф))- Применяя формулу [c.179]

Поскольку й удовлетворяет всем условиям однородной задачи, то каждый из интегралов в (17.6) обращается в нуль вследствие какого-либо из этих условий. Следовательно, первая вариация функционала (17.5) на собственной функции н равна нулю, и первая часть утверждения доказана. [c.180]

Перейдем теперь к доказательству достаточности. Будем считать, что функционал (17.5) стационарен на некоторой функции й в классе допустимых функций, и докажем, что й есть решение задачи (17.1) — (17.4). Стационарность означает, что первая вариация функционала (17.5) равна нулю при любой функции <р. Выберем сначала такую функцию ф, которая обращается в нуль [c.180]

Так как Р и Ф не зависят от ж, то первая вариация функционала (2.5) равна [c.407]

Покажем теперь, что условие стационарности Г совпадает с рассмотренной в предыдущих разделах задачей определения формы свободной поверхности. Вычислим первую вариацию функционала Г с учетом условий (2.2.2)-(2.2.4). Для этого запишем модифицированный [c.85]

Используем условия стационарности функционала . Для этого вычислим первую вариацию функционала и приравняем ее нулю. Внутри тела V варьируются функции aij, Вг], щ. На поверхности Ли могут варьироваться только функции р , на Ло — функции иг. Поэтому имеем [c.475]

Таким образом, соотношения (2.222)-(2.224), представляющие собой постановку задачи о равновесии упругого тела, обращают в нуль первую вариацию функционала (2.221), сообщая ему стационарное значение. Отыскивать эти значения функциональных переменных прямыми методами оказывается во многих задачах удобнее, чем численно решать систему (2.222)-(2.224). [c.448]

В соответствии с уравнением (7.74) первая вариация функционала К имеет вид [c.302]

Вычислим первую вариацию функционала I. При этом необходимо учесть следующее. Первый интеграл в (2.20) есть функция от ус. Вариации Рс7 б11)с, бус связаны, поскольку характеристика ас задана. Вариации буь и б1рь равны нулю, поскольку величины уь и -фь фиксированы. Учитывая все это, получаем [c.71]

Рассмотрим первое состояние, в котором варьируются параметры, онрелелягошие контурную линию области излома. Поскольку вариация размеров трсшины изохронна, то внешние нагрузки остаются без изменения. Находим, что вариация функционала (42.6) представляет собой искомую вариацию - 5А + 8W рассматриваемого первого состояния. Дополнив это выражение энергией разрушения, согласно (42.2) получаем вариацию функции Лагранжа [152] [c.325]

Нооб.чодпмым условием экстремума ф-цпи / (.х) в точке ..., л ) является равенство иулю её производной но любому иаиравлепию ..., а ) rf/(.ю- -кг()/о в е о = (av/)О, т. е. Малому M nieimro аргумента для функционалов соответствует вариация отсюда назв. В. и.) ф-ций /у - /у 8т у, где x i — ф-ции из допустимого к.ласса, обращающиеся в нул(. на границе D. Аналогом производной по направлению служит первая вариация функционала [c.245]

Функционал положителен ii обраи),ается в пуль, если функция / удовлетворяет уравнению Больцмана. Выбрав форму аппроксимирующей функции, мы можем потребовать, чтобы входящие в нее моменты Mflx) или коэффициенты Ai(x) обращали в нуль первую вариацию функционала (2.10) [c.100]

Здесь W = ]iгцгl --2 ккЧп является работой деформации, отнесенной к единице объема. Проварьируем функционал считая виртуальные приращения бег , б , бaij взаимно независимыми. Внутри тела изменяются ии Оц, На поверхности Аа, на которой действуют нагрузки, варьируются перемещения, а на поверхности Ли — напряжения. Функции X., , р являются заданными. Условие того, чтобы принимало стационарное значение, состоит в равенстве нулю первой вариации функционала , Поэтому имеем [c.133]

Обращ ение в нуль первой вариации функционала означает лишь, что функционал принимает стационарное значение, которое может быть максимальным или минимальным или ни тем ни другим. Однако принципы Лагранжа и Кастильяно экстремальны функционал Лагранжа при 5J = О принимает максимальное значение, а функционал Кастильяно — минимальное. Действительно, вычисляя вторую вариацию от Jполучаем [c.449]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...