Функционал действие и условия его стационарности

Первое из условий (2.97) является обычным критерием равновесного состояния механической системы (необходимое условие стационарности функционала Ор). Второе условие по смыслу является критерием безразличного равновесия, т. е. возможности смены форм равновесия под действием бесконечно малых внешних возмущений. [c.109]

Функционал действие и условия его стационарности. [c.134]

Покажем, что в случае потенциального поля ударных импульсов на действительном движении динамической системы имеет место условие стационарности функционала, составленного в виде суммы функции —П и действия по Гамильтону. При этом фиксируются начальный и конечный моменты времени и 1 ), начальное и конечное положение системы, а также обобщённые координаты (не обязательно все) и (или) момент времени приложения ударных импульсов. [c.134]

Класс окольных траекторий может быть сужен путем введения условий 5р(<ь)= 5р(/ ) = 0. Семейство окольных траекторий в этом случае обозначим Г , Г = (р -ь 5р, я + 6д, О р, Ч, 8р. 64 е / ". 8я(/,)= 5р(/,) = О, / = О, 1 . Легко проверить, что стационарное значение функционала действие "[Г ] на этом пространстве окольных траекторий с закрепленными концами также достигается на действительном движении механической системы. Это утверждение составляет принцип наименьшего действия в форме Пуанкаре. [c.150]

Известно, что любые условия ка возмущения можно ввести в определение метрики р, хотя это и приводит к усложнению анализа. Для описания условной устойчивости множества U стационарных решений удобно выделить какое-то одно из них и (или нек-рое их подмножество, задаваемое параметрами ш), а все остальные рассматривать как порождённые им в результате действия преобразований из группы G инвариантности ур-ния (1). Пусть Go — группа инвариантности функционала V в (Л) и (6) [c.258]

Рассматривается движение динамических систем, описываемых уравнениями Гамильтона, при действии обобщённых ударных сил, мгновенные ударные импульсы которых имеют потенциал. В этом случае уравнения движения определяются из условия стационарности функционала вариационной задачи Больца [127], где интегральная часть является действием по Гамильтону. Показано, что при потенциальности ударных импульсов имеет место интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Обсуждается применение полученных результатов к исследованию натуральных систем с разрывами обобщённых импульсов, происходящими в результате мгновенного изменения обобщённого потенциала. [c.132]

Принцип Гамильтона, рассматриваемый как вариационный принцип стационарного действия, справедлив только для голономных систем. Невозможность непосредственного распространения интегральных принципов, установленных для голономных систем, на неголоном-ные системы была отмечена ещё Герцем [27]. Он обратил внимание на то, что не всякие две точки конфигурационного пространства могут быть соединены траекторией системы с неинтегрируемой дифференциальной связью. Первым, кто предложил интегральный принцип, пригодный для неголономных систем, по-видимому, был Гёльдер его принцип имеет форму интегрального равенства, не являющегося условием стационарности функционала он был получен при предположении перестановочности операций d w 5 (см. заметку 16). При этом, во-первых, варьированные траектории не удовлетворяют уравнениям неголономных связей, и во-вторых, уравнения движения неголономной системы не совпадают с уравнениями Эйлера вариационной задачи Лагранжа. Обсуждению этих двух вопросов посвящена обширная литература с начала двадцатого века и до настоящего времени. Приведём некоторые результаты [101. [c.142]

Представленный материал располагается в следующей последовательности сначала излагаются законы сохранения нелинейной теории упругости в их каноническом варианте [2] и необходимые для дальнейшего элементы теории поля, затем на основании теоремы Нетер (Е. Noether) [3] получена общая форма закона сохранения, соответствующая той или иной вариационной симметрии действия, далее с помощью базовых вариационных симметрий даются канонические определения всех важнейших векторных и тензорных полей нелинейной механики сплошных сред, необходимые для вывода нетривиальных законов сохранения в общем нелинейном случае (в том числе с учетом динамического вклада в функционал действия), и, наконец, обсуждается ограниченный вариант теории вариационных симметрии, развитый в [4]. В качестве дополнения следует рассматривать последний раздел статьи, посвященный лагранжиану пустого пространства. Добавление лагранжиана пустого пространства к лагранжиану физического поля не изменяет условий стационарности действия, хотя и может изменять выражения для канонических тензоров. Понятие о лагранжиане пустого пространства совершенно необходимо для установления степени определенности канонических тензорных полей, входящих в формулировку как классических, так и нетривиальных законов сохранения. [c.658]

Под лангранжевой механикой в настоящее время понимают совокупность методов решения задач механики свободных систем, в которых основное значение имеет функция Лагранжа или кинетический потенциал. Эти методы распространяются на механику несвободных систем с интегрируемыми, или голо-номными связями. Можно показать эквивалентность между решением таких задач и установлением условий стационарности некоторого функционала, называемого механическим действием Гамильтона — Остроградского. Эти условия имеют прямой и обратный смысл. [c.6]

В изложенном выводе принципа Остроградского — Гамильтон уравнения Лагранжа выступают в новой роли — необходимых достаточных условий стационарности функционала 5 на действи тельном пути системы. Тем самым устанавливается эквивалеш ность задачи об интегрировании дифференциальных уравнени при заданных краевых условиях с вариационной задачей нахожде ния экстремума функционала и, таким образом, открывается воа можность привлечения к решению вибрационных задач методе вариационного исчисления. [c.38]

Т. е. действуя в духе подходов Робертсона и Цванцига, которые обсуждались в параграфе 2.4 первого тома. Решение этой задачи определяет истинный функционал распределения на временах достаточно больших, чтобы затухли нефизические корреляции, связанные с выбором начального условия (9.4.83). В режиме развитой турбулентности начальные корреляции затухают очень быстро из-за сильного взаимодействия между пульсациями, поэтому решение начальной задачи выходит на истинное неравновесное распределение уже за короткий промежуток времени t — tQ. Отметим также, что во многих конкретных задачах интерес представляют стационарные функционалы распределения, которые заведомо можно построить описанным выше способом. [c.269]

Здесь W = ]iгцгl --2 ккЧп является работой деформации, отнесенной к единице объема. Проварьируем функционал считая виртуальные приращения бег , б , бaij взаимно независимыми. Внутри тела изменяются ии Оц, На поверхности Аа, на которой действуют нагрузки, варьируются перемещения, а на поверхности Ли — напряжения. Функции X., , р являются заданными. Условие того, чтобы принимало стационарное значение, состоит в равенстве нулю первой вариации функционала , Поэтому имеем [c.133]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...