Функционал уравнений

Действительно, для полученного функционала уравнение Эйлера имеет вид (см. приложение II) [c.231]

Функционал уравнений Гамильтона. Введем лагранжиан, зависящей от координат х, р и скоростей х, р [c.253]

ПОЛНОЙ энергии в виде функционала, зависящего от неизвестных функций Zl и 2а. Условия стационарного значения этого функционала (уравнения Эйлера) представляют собой систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно и 2з. [c.442]

Понятие функционала лучше всего продемонстрировать на нескольких примерах. Рассмотрим следующее уравнение [c.135]

Функция, представляющая собой аргумент функционала, будет определяться в заданной области определения ее аргумента, но значение функционала может зависеть от вида этой функции только в некоторой области изменения аргумента, меньшей , чем область определения. Например, в уравнении (4-2.2) нужно рассматривать лишь интервал между а и Ь, а в уравнении (4-2.6) — только значение 100, хотя в обоих случаях область определения функции / ( ) может быть много шире. По этой причине уравнение, содержаш,ее функционал, будет включать указание интервала, в котором необходимо рассматривать арг епт функции, например ) [c.136]

При рассмотрении теории простых жидкостей часто встречается ситуация, когда некоторая зависимая переменная (как правило, напряжение) зависит от предыстории одной или нескольких величин (обычно от истории деформирования). Эти предыстории являются функциями времени, и, следовательно, реологическое уравнение состояния имеет форму функционала. [c.140]

Рассмотрим теперь, какие ограничения налагает на функционал принцип объективности поведения материала. Если Q (s) — произвольный зависящий от времени ортогональный тензор, то функционал должен, в силу уравнения (3-3.3), удовлетворять [c.141]

Уравнения (4-3.11) и (4-3.12), причем для функционала в последнем удовлетворяется уравнение (4-3.13), составляют определение простой жидкости постоянной плотности. Большинство (если не все) уравнений состояния, предлагавшихся в литературе, соответствуют, если они надлежащим образом инвариантны по отношению к системе отсчета, специальному выбору вида функционала в уравнении (4-3.12). Некоторые задачи неньютоновской гидромеханики можно решить, не вводя какую-либо специальную форму ig ряд таких задач будет рассмотрен в следующей главе. При рассмотрении более сложных задач необходимы более специальные предположения об уравнениях состояния, которые будут обсуждены в гл. 6. [c.143]

До сих пор еще не был использован принцип затухающей памяти. Результаты, которые будут обсуждаться в оставшейся части данного раздела, основываются на следующей простой формулировке принципа затухающей памяти [3, 5] Функционал непрерывен и N раз дифференцируем по Фреше при предыстории покоя G = О (s) в смысле нормы, определяемой уравнением (4-2.22) . [c.144]

Предположим, что функционал а в уравнении (4-4.29) непрерывен всюду в своей области определения в смысле нормы, определяемой соотношением (4-2.22). Рассмотрим далее две предыстории Т и Т, которые отличаются друг от друга только в некий отдельный момент времени в прошлом. Согласно уравнению (4-2.22), две такие предыстории находятся на нулевом расстоянии друг от друга, и, следовательно, значение А одно и то же для обеих предысторий. Сформулированный выше принцип затухающей памяти означает, что отдельные ники нулевой продолжительности, которые могут иметь место в прошлом, несущественны. На рис. 4-1 приведен пример двух предысторий температуры рассматриваемого тина. [c.155]

Решить приведенную выше задачу для произвольного линейного функционала, т. е. для функционала, удовлетворяющего уравнению [c.165]

Функционал а в уравнении (5-1.6) связан с функционалом в уравнении (4-4.36), но отличается от последнего по следующим причинам (i) в качестве отсчетной выбрана текущая конфигурация (см. примечание на стр. 159), (ii) вместо тензора F используется тензор G, что допустимо, поскольку предыстория вращения не существенна. [c.170]

Кроме определения комплексной вязкости т], системы с периодическим течением можно использовать для определения дополнительных свойств функционала Q в предельном случае очень малых деформаций. Для обсуждения этой возможности необходимо рассмотреть приближение второго порядка для функционала выражаемое уравнением (4-3.25) и приводимое ниже [c.206]

Следует иметь в виду, что уравнение (5-4.87) основывается на гипотезе о том, что функционал имеет второй дифференциал Фреше в предыстории покоя — предположение, которое может не выполняться для некоторых материалов. [c.208]

В этой главе мы обсудим некоторые из многочисленных уравнений состояния для жидкостей с памятью, которые предлагались в литературе. Все они являются частными видами общего уравнения состояния простых жидкостей, т. е. предполагается, что функционал в (4-3.12) имеет несколько более конкретный вид. Рассматриваемые типы определяющего функционала удовлетворяют гипотезам гладкости, которые могли обсуждаться или не обсуждаться в гл. 4. Уравнения состояния, которые будут приведены ниже, представляются важными по следующем причинам. [c.210]

Уравнения второго типа можно представить себе как частные случаи уравнения (4-3.12) для простой жидкости, когда функционал определяется при помощи одного или нескольких интегралов. Уравнения состояния как дифференциального, так и интегрального тина разрешены относительно тензора напряжений. Этого нельзя сказать об уравнениях состояния релаксационного типа. Действительно, они содержат по меньшей мере одну производную по времени от тензора напряжений. Скорость изменения (или релаксация) напряжений, фигурирующая в уравнениях такого типа, дает название этому типу уравнений. [c.211]

Интегральные уравнения состояния представляют напряжения в форме интегралов от истории деформирования. Мы уже видели, что общий функционал, описывающий простую жидкость, вырождается в предельном случае малых деформаций в интегральное уравнение. Приближение первого порядка дается уравнением (4-3.24), которое переписывается здесь в виде [c.215]

Более точно, уравнение (6-3.8) представляет собой альтернативную (но отношению к уравнению (4-3.24)) форму приближенного представления функционала простой жидкости, справедливую в предельном случае достаточной близости предыстории дефор-мирования к предыстории покоя. Сравнение уравнений (6-3.3), (6-3.8) и (5-1.44) показывает, что [c.218]

Согласно нашей точке зрения, однако, представляется маловероятным, чтобы все уравнения, подобные уравнению (6-3.46), описывали истинное поведение какого-либо материала и, в частности, вязкоупругих полимерных систем, для которых они были предложены. Основанием для такой критики служит то, что эти уравнения не вырождаются надлежащим образом в уравнение линейной вязкоупругости (4-3.24). Последующее обсуждение подразделяется на две части, первая из которых более формальна и посвящена анализу специальной топологии функционала, например такого, который введен уравнением (6-3.46). Во второй части обсуждение данных Филиппова [22] но периодическим течениям полимерных материалов убедительно свидетельствует о неадекватности таких уравнений, как (6-3.46). [c.227]

Понятно, что можно представить себе предысторию G (s), которая произвольно близка к предыстории покоя и в то же время имеет произвольно большую скорость деформации. Простым примером такой предыстории является периодическое движение очень малой амплитуды, но очень высокой частоты. Уравнение состояния типа уравнения (6-3.46) предсказывает для такой предыстории нелинейную зависимость т от G (s). Иными словами, уравнение (6-3.46) предполагает, что топология пространства предысторий, в котором функционал непрерывен, имеет иную природу, чем топология, положенная в основу формулировки теории простой жидкости. [c.228]

Если теперь проводить эксперименты с некоторой новой частотой (i i Ф соц, то снова следует ожидать линейного поведения в области низких значений у - Кульминационный пункт состоит в том, что если выполняется уравнение состояния, подобное уравнению (6-3.46) (или, говоря более общим языком, если топология пространства предысторий, в котором функционал Jg непрерывен, определена также и в терминах скорости деформаций), то следует ожидать существования точки разрыва (т. е. точки, начиная с которой наблюдаются отклонения от линейного поведения), соответствующей некоторому критическому значению у или по крайней мере зависящей как от у , так ы от е. В то же время, если выполняются гипотезы гладкости теории простой жидкости, то следует ожидать, что точка разрыва будет соответ- [c.229]

В заключение можно сказать, что уравнения состояния, в которые в явной форме входит скорость деформации, следует всегда рассматривать с большой осторожностью, поскольку они могут относиться к той же категории, что и уравнение (6-3.46), т. е. они могут выдвигать для основного функционала такие гипотезы гладкости, которые находятся в противоречии с соответствующими гипотезами теории простых жидкостей. Конечно, такая проблема возникает не для всех уравнений состояния, содержащих скорость деформации см., например, уравнения (6-3.44) и (6-3.45). Наилучшей проверкой сомнительного уравнения состояния является [c.230]

Действительно, рассмотрим классическое уравнение механической теории простых жидкостей, т. е. уравнение (4-3.12). Пока не сформулированы гипотезы гладкости для функционала невозможно определить, будет ли скачкообразная деформация (и, следовательно, бесконечно большая мгновенная скорость деформации) соответствовать конечному или же бесконечному мгновенному значению мгновенного напряжения. Если сформулированы гипотезы гладкости, такие, как обсуждавшиеся в разд. 4-4, то это неявно предполагает, что скачкообразные приращения деформации и напряжения соответствуют друг другу, т, е, что возможны бесконечные значения мгновенной скорости деформации. [c.243]

Завершим этот раздел замечанием, касающимся релаксационных уравнений вообще. В самом общем виде релаксационное уравнение не определяет единственный материал, т. е. единственный функционал, который описывает напряжение в данный момент, если задана предыстория деформаций. Рассмотрим аналогичный случай для функций. Если функция определяется посредством дифференциального уравнения, должны быть заданы начальные условия. Если начальные условия не заданы, дифференциальное уравнение определяет целую систему функций. Вообще говоря, если не сделано дополнительных предположений, релаксационное уравнение состояния определяет одновременно ряд функционалов, т. е. ряд различных материалов. Возможно даже, что среди материалов, определенных таким образом, представлены жидкости и твердые тела одновременно. [c.246]

Остается еще вопрос о том, будет ли уравнение (6-4.39) с заданными значениями параметров определять единственную жидкость или ряд жидкостей. С первого взгляда может показаться, что из одного и того же уравнения в зависимости от произвольно задаваемых начальных условий будут получаться различные функционалы, т. е. различные жидкости. Однако структура этого уравнения такова, что оно уже содержит свойство затухающей памяти. Это означает, что если момент времени, в который определены начальные условия, смещается все дальше и дальше в прошлое, то получающийся в результате функционал становится все более не зависящим от начальных условий. Пример такого свойства был приведен при получении уравнения (6-4.19) из (6-4.12). Таким образом, можно сделать вывод, что при условии наложения начальных условий в далеком прошлом их влияние несущественно, и уравнения, рассматриваемые в этом разделе, недвусмысленно определяют единственную жидкость. [c.247]

Анализ размерностей в задачах ньютоновской гидромеханики отличается от своего ньютоновского аналога в двух очень важных отношениях. Во-первых, имеется не один, а два размерных параметра, определяющих уравнение состояния. Кроме того, две жидкости, характеризуемые одинаковыми значениями fx и Л, не одинаковы в смысле их реологического поведения, т. е. они имеют не одинаковые уравнения состояния, поскольку вид безразмерного функционала может меняться от одной жидкости к другой. Таким образом, значения а и А не полностью определяют поведение жидкости, и анализ размерностей, основанный на этих двух параметрах, дает в лучшем случае только качественные указания. [c.265]

При этом требуется минимизировать некоторый функционал, например (4.27), что также приводит к решению системы алгебраических уравнений [c.166]

В случае нестационарных уравнений основные положения МКЭ — деление на КЭ, подбор аппроксимирующей функции и минимизируемого функционала — по-прежнему применяют по отношению к пространственной области. Тогда получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [c.166]

Здесь f = f x) представляет собой некоторое поле, например поле напряжений, которое должно быть допустимым в том смысле, что оно должно удовлетворять некоторым дифференциальным уравнениям и условиям непрерывности. Через / г обозначен некоторый положительно определенный функционал от г, причем интегрирование распространяется на объем V тела В. Минимум в (3.29) достигается при г = г, где г есть действительное поле, вызванное в В заданными поверхностными нагрузками на Sj. Если, например, С представляет собой упругую податливость тела В, то г есть произвольное кинематически допустимое поле деформаций, а f (г) — соответствующая удельная энергия деформаций. [c.34]

Минимумы функционалов (3. 4. 8), (3. 4. 9) можно искать независимо [41]. Из соотношения (3.4.9) следует, что min/2 является функцией только г. Это означает, что минимальное значение функционала играет роль аддитивной постоянной и при построении уравнения для (90) его можно не рассматривать. Минимальное значение найдено в работе [43]. Его можно записать в следующем виде [c.115]

Условие равенстьа йулю ГрадМеНТа функционала уравнений для определения значения вектора к, при достигает экстремума. Для пространства большой часто более эффективным является применение методов (методов последовательных приближений), равенство (10.10) в эквивалентной форме [c.76]

По-нрежнему будем рассматривать мгновенное состояние в момент времени t. При сделанных допущениях для вязко-пластической среды функционал / [уравнение (XIV.50) ] имеет вид [c.321]

Принцип виртуальных мощностей для медленных движений. Геометп рическая интерпретация пробле.чы миниму.ча функционала. Уравнение Эйлера для недифференцируемого функционала. Эквивалентность принципа виртуальных мощностей задаче о минимума [c.26]

Рассмотрим теперь, какие ограничения налагает на характеристический функционал уравнение неразрывности несжимаемой жидкости дuJдx = 0, т. е. условие соленоидальности поля скорости и(х). Поскольку при рассмотрении этого вопроса разница между пространственным и пространственно-временным характеристическими функционалами несущественна, мы будем обозначать теперь характеристический функционал просто символом Ф[6(л )], не указывая зависимости от /. Рассмотрим сначала случай, когда жидкость заполняет [c.615]

Говорят, что функционал ф = t) [гр (а )] имеет первый дифференциал Фреше SI [г13о ( ) 1 I l ( )1 в il o ( )> если справедливо следующее уравнение [c.139]

В этом уравнении а — функционал аргументной функции Г (s), т. е. предыстории температуры, величина которого зависит явно также от текущего значения температуры, а кроме того, от других переменных, которые еще не определены. Заметим, что для применения полученных до сих пор результатов необходимо, чтобы температура Т явно входила в число независимых переменных, поскольку мы хотим сохранить смысл уравнения (4-4.15). Заметим далее, что значение температуры в данный момент также появляется в предыстории Т -= Г (0), что, однако, не обязательно является переопределением, как это выясняется из последующего обсуждения. [c.155]

Термодинамические результаты очень чувствительны к предпо.чоже-ниям о гладкости, которые делаются в отношении уравнений состояния. Если функционал гладок в смысле любой топологии пространства предысторий деформирования, его значение не зависит явно от мгновенной скорости деформации см. для аналогии рис. 4-2 и связанное с ним обсуждение, которое показывает, что значение функционала, гладкое относительно Г, не может [c.162]

В этой главе сосредоточим внимание на реометрических течениях, которые используются для жидкостей с памятью. В идеале реометрия для таких жидкостей должна состоять из нескольких программ экспериментальных измерений, требуемых для полного определения функционала [ ] в уравнении (4-3.12), которое [c.167]

Б гл. 4 было показано, что общий функционал простых жидкостей сводится к виду, выражаемому уравнением (4-3.24), т. е. к уравнению линейной вязкоупругости, при условии что норма предыстории деформирования достаточно мала, т. е. если последняя достаточно близка к предыстории покоя. Вследстие предположения о дифференцируемости по Фреше функционала в предыстории покоя, напряжение, соответствующее предыстории, достаточно близкой к предыстории покоя, линейно зависит от G (s). [c.227]

Различие между такими уравнениями, как (6-4.39) и (6-4.47), никоим образом нельзя считать незначительным. Действительно, внезапный скачок деформации вызвал бы в материале, описываемом уравнением (6-4.39), внезапный скачок напряжения, в то время как материал, описываемый уравнением (6-4.47), отреагировал бы на эту деформацию возникновением бесконечного напряжения. Это легко понять, учитывая, что модель, представленная на рис. 6-4, не допускает мгновенного изменения z, в то время как для модели, представленной на рис. 6-3, это допустимо. При более формальном рассмотрении можно заметить, что уравнение (6-4.29) допускает мгновенный скачок деформации, который будет давать в результате скачок напряжения. Этим свойством обладает и материал, описываемый уравнением (6-4.37). Добавление Л -й временной производной скорости деформации в правой части уравнения (6-4.37) изменяет топологию определяющего функционала. Таким образом, уравнения, подобные уравнению (6-4.47), не допускают скачкооб1разной деформации, что делает тем самым неприменимой термодинамическую теорию, развитую в разд. 4-4. [c.242]

Второе отличие МКЭ от МКР заключается в способе ал-гебраизации дифференциальных уравнений 1у(Х)=/(Х), Если в МКР аппроксимируются производные dv/d, то в МКЭ аппроксимируется решение у(Х) некоторой функцией (X) с неопределенными коэффициентами. Решение исходной задачи получается путем вычисления этих коэффициентов. В свою очередь задача вычисления коэффициентов формулируется как задача минимизации функционала, характеризующего качество аппроксимации решения и(Х) функцией ы(Х), а эта задача сводится к решению системы алгебраических уравнений. [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...