Положительный линейный функционал

Лемма. Если положительный линейный функционал х а 91 удовлетворяет неравенству (х /) < < , то он непрерывен, а его норма совпадает с значением, которое он принимает на элементе 1 %. [c.82]

Следствие. Всякий положительный линейный функционал ф на 31, удовлетворяющий условию (ф I) = 1 [или эквивалентному условию II ф 11=1), является состоянием на Й. [c.83]

Мы скажем, что состояние ф доминирует над состоянием i]), если существует действительное число Я>1, такое, что (Яф о])) — положительный линейный функционал на 31. Заметим, что если ф — смесь, то она доминирует над каждой из своих компонент. Обратно, если для данного состояния ф найдется другое состояние of>, такое, что (Яф —il)) 0 при некотором Я> 1, то можно построить X = (Яф — ф)/(Я — 1). Функционал X положителен, и (х /) = 1. Таким образом (см. предыдущее следствие), % является состоянием, и ф можно представить в виде ф = (lA)il) + [1 — (1А)]Х- Отсюда мы заключаем, что ф [c.83]

Введем теперь понятие парциального состояния физической системы. На практике мы нередко получаем (экспериментально или теоретически) лишь неполную, частичную информацию относительно данной физической системы. Если эту информацию можно представить в виде положительного линейного функционала / на линейном подпространстве Ж алгебры 51, таком, что Ж 3 I и (f /)==1, то называется парциальным состоянием на Ж. Примером парциального состояния может служить функция корреляции п тел, которая встречается почти во всех задачах статистической механики. Изучение такой неполной информации представляет интерес с практической точки зрения ) и с точки зрения проверки внутренней непротиворечивости теории (см. ниже). Основной результат в этом направлении был получен уже Сигалом [356] [c.86]

Доказательство. Мы уже доказали, что <х Л) ЛЦ для любого нормированного положительного линейного функционала на 2[. Доказательство это полностью переносится на случай функционала / на Ж, и, следовательно, (/ ЛГ) К М для каждого М Ж и каждого парциального состояния на Ж. Для каждого элемента А, принадлежащего 2[, но не принадлежащего Ж, мы образуем множества Ж (А) М Ж М А и Ж" А) М Ж М А). Эти множества непусты, поскольку содержат (соответственно) элементы М Ц / и — II ЛГ (I /. Положим, по определению, [c.86]

ЧТО б — положительный линейный функционал на Ж гэ Ж. Поскольку равенство (б /)=1 выполняется тривиально, б является парциальным состоянием на Ж. В силу замечания, сделанного нами в начале доказательства, для всех М Ж справедливо неравенство (б М ) AI . Ясно, что / есть не что иное, как сужение функционала б на Ж. Далее мы можем воспользоваться трансфинитной индукцией так же, как при доказательстве обычной теоремы Хана — Банаха ) Единственное различие состоит лишь в том, что на сей раз благодаря предложенной Сигалом остроумной конструкции множеств Ж (Л) и положительного функционала б нам придется иметь дело с положительными линейными функционалами. Этим замечанием мы заканчиваем доказательство леммы. В [c.87]

Если ф — лишь положительный линейный функционал на 3I, то введем, по определению, ф = 1- /(115 /). Тогда ф —состояние на 3I и мы можем воспользоваться конструкцией ГНС, применив ее к ф вместо -ф. В этом случае наше предыдущее следствие можно переформулировать [c.108]

Обозначим через 9 , линейное многообразие в 9 , образованное всеми элементами множества У1, удовлетворяющими любому из трех условий леммы. Если ф — положительный линейный функционал на 9 , то необходимым и достаточным условием его принадлежности к 9 , является существование в Ж) положительного оператора р, удовлетворяющего неравенству 8рр<оо и такого, что [c.155]

Пользуясь опять полной аналогией с уже рассмотренным случаем алгебры Сигала, мы скажем, что состояние ф доминирует ) над состоянием -ф, если существует действительная величина Я > 1, такая, что (Яф — -ф) — положительный действительный линейный функционал на 91. Затем мы докажем так же, как и в случае алгебры Сигала (стр. 84), что состояние ф на С -алгебре является чистым в том и только в том случае, если оно не доминирует ни над одним другим состо-, янием. [c.114]

Выбор в каждом случае единственного решения основан на минимизации некоторого функционала качества F (ф, ф). В зависимости от критерия оптимизации можно использовать функционалы различного вида [1, 3]. Если F (ф, Ф) является положительно определенной квадратичной формой по ф, то алгоритм его минимизации приводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. [c.9]

Здесь суммирование производится по верхним и нижним индексам а, Р, обозначающим номера интервалов по времени и номера точек разностной сетки на поверхности оболочки или пластинки. и и в узлах — свободные переменные (на знак их не наложены ограничения), величины О — несвободные переменные (могут быть только положительными). В соответствии с изложенным ограничения-равенства (10.2), неравенства (10.3) и (10.7) составляются для каждого интервала времени и точек разностной сетки. Функционал (10.8) — линейный по и в узлах сетки. [c.327]

Если подпространство G С Е содержит, по крайней мере, один положительный элемент л о>0, то всякий линейный позитивный функционал f х), определенный в О, может быть расширен до линейного позитивного функционала F х), определенного во всем Е. [c.154]

Так как линейное пространство Оо содержит положительный элемент л , то по теореме 1 существует позитивный функционал F(x) такой, что [c.164]

Теорема 10.4. Пусть X — положительно определенный линейный оператор, и пусть уравнение (10.5) имеет решение и. Тогда функционал [c.114]

Доказательство. Этот хорошо известный факт доказывается следующим образом. Зададим положительный линейный функционал К ( г о л) = ц (й) = с/м- на соответствующем подпространстве пространства С(2 1). Используя модифнцн-роваиную теорему Хана — Банаха, можно продолжить Р до положительного функционала иа С (2 ), Так как Р(1) = = Р(1од)=1, функционал Р можно отождествить с некоторой мер 1Й Р М(2 ). Ввиду компактности существует [c.77]

Условиями 1 — 3 определяется так называемый положительный линейный функционал на С -алгебре Я О- Кроме того, обобщая сказанное, полол<ительчый линейный функционал, удовлетворяющий условию 4, можно назвать состоянием на [c.108]

Теэрема 1. Пусть 9 есть С -алгебра, — положительный линейный функционал на Ы и Яф — ассоциированное с ния представление ГНС. Тогда лобоа циклическое представление п с циклическим вектором Ч , таким, что (а] 7 ) = [c.109]

Элемент фeSRй (или фе31 ) называется положительным, если (ф R R) 0 для всех R из SR (или из 21). Обозначим множество всех положительных элементов через SR+ (или 21 +). Доказанная выше теорема позволяет без труда отождествить множества 5R+ и 21+. Напомним еще, что для всех положительных элементов IIФ = (ф /). Состоянием ф на (или на 21) называется положительный линейный функционал, нормированный [c.131]

Обозн1чим через 9 линейное многообразие в Ш, образованное всеми элементами множества 9 , удовлетворяющими любому из трех условий леммы. Если ф — положительный линейный функционал на 9 (и, следовательно, принадлежащий множеству Ш, поскольку Ш есть С -алгебра), то в условии 3 [c.155]

Доказательство. Пусть М — любое Цф-измеримое подмножество множества , а Хм го характеристическая функция, т. е. Хм(Ф)=1 или Хм(Ф)=0 в зависимости оттого, принадлежит а з множеству М или нет. Поскольку Хм функцйя из пространства 2°° , 1 ), подействовав на нее изоморфизмом мы отобразим ее в Зф(З ). Поскольку функция Хм отлична от тождественного нуля и положительна, (хд ) также обладает этими свойствами. Следовательно, (ф (Хм)) Ф О, так как вектор Ф — разделяющий для Яф (3 )". На основании теоремы 11 мы можем заключить, что величина фд,, определяемая соотношением (фд ) = (ф (Хм)- )> есть положительный линейный функционал на удовлетворяющий условию КМШ, т. е. [c.280]

Теперь мы можем использовать теорему Рисса о представлении П 2.7 которая утверждает, что любой положительный ограниченный линейны функционал на С Х), т. е. функционал J (X)-+R, удовлетворяющи свойствам (1 )-(3), представляется в виде I(<р) = I V ф, где /2 — однозначн [c.144]

Задачу (13.2) и (1.12) будем рассматривать так же, как и в случае стационарных движений, как частный случай более общей абстрактной задачи в банаховых пространствах. Пусть Я — гильбертово дространство со скалярным произведением (и, Щц и F (t, и) — непрерывный линейный но и функционал в Н. Пусть, далее, В — банахово дространство и Ф (и) — выпуклый положительный непрерывный функционал на В. Обозначим, как и ранее, дФ (и) — зубдифференциал функционала Ф (и), отображающий В п В. [c.177]

Единое определение понятия доминирования в случае положительных линейных функционалов в литературе не существует. Мы остановили свой выбор на значении этого термина, которое он обретает, если рассматривать лишь состояния. В том же смысле понимает доминирование Наймарк [285]. Диксмье [79] использует другое, хотя и весьма близкое понятие он говорит, что функционал <р мажорирует функционал ф (и записывает <р>ф), если разность (ф — ф) положительна. [c.114]

Отметим также [79, гл. 2, 6, п. 4 гл. 12, 3, п. 4], что каждый эрмитов непрерывный линейный функционал ф на С -алгебре можно однозначным способом представить в виде разности двух положительных линейных функционалов ф[ и фг так, что IIФII = IIФ1II-f IIФ2II- Ясно, что непосредственный физический смысл имеют элементы выпуклого множества = = 91+/R+= SR+/R+. Из них мы можем построить элементы Чю-ложительного конуса 91 = SR+, затем действительное банахово пространство 91 = SRa и, наконец, комплексное банахово пространство SR. Однако в физических приложениях всегда необходимо помнить о том, что эти структуры имеют физический смысл лишь постольку, поскольку они связаны с множеством . [c.132]

Рассмотрим теперь множество всех состояний на ( -алгебре п (Ш), где 01 некоторая заданная С -алгебра, ап — данное представление алгебры Я, ограниченными операторами, действующими в гильбертовом пространстве Ж. В определенном смысле (в каком именно — мы хотим сейчас уточнить) можно отождествить с подмножеством множества 6 всех состояний на Я. Для любого ограниченного линейного функционала ф на я (Я) определим линейный функционал / (ф) на Я соотношением (/л(ф) ) = (ф л(/ )). сразу же видно, что функционал / (ф) ограничен и положителен, если функционал ф положителен. Таким образом, функционал / есть положительное отображение, действующее из п([й) в Я. Кроме того, функционал / (ф) обращается в нуль на Кег п. Наоборот, всякий (положительный) ограниченный линейный функционал ф на Я, который обращается в нуль на Кегя, определяет (положительный) ограниченный линейный функционал ф на п(Я) соотнощением (ф л ( ))== [c.138]

Если линейное подпространство ОСЕ обладает тем свойством, что множество его единичных элементов е е = 1) находится на положительном расстоянии с1 от /С то любой определенный в О линейный функционал /(д ) может быть расширен до линейного позитивного функционала Е(х), опре-деленногоужевовсемЕ . [c.155]

Покажем, что в случае линейно-упругого тела увловие (5.37) превращается в условие минимума потенциальной энергии. Для этого довтаточно убедиться, что при сообщении вариаций действительным перемещениям Ut приращение функционала П будет положительным, [c.99]

Отличие вариационных постановок задач первого типа от классических (не контактных) заключается в необходимости удовлетворения дополнительным ограничениям на допустимые функции, имеющим форму неравенств. Известное условие положительной определенности потенциальной энергии деформации обеспечивает и здесь единственность решения и его существование. В частности, если вариационная задача есть задача минимизации полной энергии системы контактирующих линейно упругих тел, то ограничение — неравенство, отражающее физическое требование непроникания, выделяет из множества допустимых к сравнению функций выпуклое подмножество как хорошо известно, задача минимизации положительно определенного (выпуклого) функционала при некоторых дополнительных ограничениях на гладкость границы области имеет решение и это решение только одно. [c.93]

Покажем теперь, что состояния на % образуют широкий класс в множестве всех линейных функционалов, которые можно определить на 91. Мы скажем, что функционал х на 21 положителен, если (х Л ) — положительное число для всех Л е 21. По предьщущей лемме это требование эквивалентно требованию (х Л) 0 для всех положительных Ле21. Норма х11 функционала х на 21 определяется как зир (х Л) . [c.82]

Пусть задана линейная стационарная система, описываемая парой матриц АВ , и все и ёременные состояния являкбтся измеряемыми (т. е. С — единичная матрица Л -го порядка). Кроме того, задан квадратичный функционал качества, характеризуемый парой матриц 0, К , причем Q — положительно полу-определенная, а Д — положительно определенная матрица. Требуется найти матрицу коэффициентов К, которая минимизирует функционал [c.232]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...