Вариация функции

При рассмотрении функционалов возникают вопросы о гладкости и непрерывности. Для этого нужно некоторое удовлетворительное расширение аналогичных понятий, уже известных для функций. Функция считается непрерывной, если при достаточно малом изменении аргумента изменение ее значения тоже достаточно мало (более строго, оно меньше любого наперед заданного числа). Гладкость функций предполагает, что производная ее непрерывна. В попытке распространить это понятие на функционалы возникает трудность, связанная с нахождением подходящего определения того, что подразумевается под малой вариацией функции. Более общо, при рассмотрении понятий непрерывности и гладкости для [c.136]

В математике символом d обозначается, как известно, дифференциал, а символом 6 обозначают так называемую вариацию функции. [c.359]

Вариация функции bq в момент t (рис. 279) соответствует отрезку ае. [c.392]

Рассмотрим теперь полную вариацию функции q t). [c.393]

Определим полную вариацию функции q . [c.393]

Согласно равенству (143.5), полная вариация функции q определяется выражением [c.393]

Так как ири применении принципа Мопертюи—-Лагранжа при переходе от одного пунш к другому варьируются не только координаты и скорости точен системы, но и время, то в этом случае рассматривается полная вариация функции AW. [c.410]

Какова разница между синхронной и асинхронной (полной) вариациями функций [c.413]

Дифференциал 6/ называется вариацией функции /. Вариация, как и всякий дифференциал, представляет собой линейную часть приращения варьируемой функции, но при подсчете вариации приращение функции подсчитывается не при изменении аргумента t, а при изменении параметра а и фиксированном t, т. е. при переходе от одной функции из заданного семейства к другой функции из этого же семейства. [c.274]

Возможные перемещения. Идеальные связи. Вариацией функции называется приращение функции, обусловленное изменением вида функции, при фиксированном значении аргумента. Так, при переходе от функции у, = (х) к функции [c.385]

Учитывая, что возможное перемещение точки является вариацией соответствующей координаты, вычислим вариацию функции (2) [c.395]

Обращаем внимание читателя на то, что в формуле, определяющей возможное перемещение Ьг/ , на одно слагаемое меньше по сравнению с формулой, дающей скорость точки Это получается потому, что возможное перемещение является вариацией функции, т. е. определяется при фиксированном значении аргумента t. [c.454]

Бесконечно малое изменение функции, происходящее вследствие изменения аргумента, выражается дифференциалом этой функции если же изменение функции происходит вследствие изменения вида самой функции, то такое изменение называется вариацией функции [c.278]

Вариация функции 278 Вектор 18 [c.462]

Из сопоставления этих двух равенств следует, что вариации функции (л , у, 2, t) вычисляют по тому же правилу, что и дифференциалы, но при фиксированном значении t. Отсюда становится ясным и различие между воображаемым виртуальным перемещением (происходящим как бы при остановившемся времени) и действительным перемещением, происходящим с течением времени под действием приложенных сил и реакций наложенных связей. [c.179]

Символ означает изохронное варьирование, то есть приращение значения функции при фиксированном значении независимой переменной. Если независимая переменная тоже изменяется, то соответствующий дифференциал (полная вариация функции) выразится формулой dxi = 6х -(- ,- dt. Учитывая это равенство, получим [c.607]

Исключим в (103) все ф посредством (102) и вычислим вариацию функции Н р , < , I). [c.373]

Исключим в (46) все посредством (45) и вычислим вариацию функции Ч Р1. <7г. [c.403]

Вариация функции ( координаты, интеграла, кинетической энергии, переменной, гамильтонова действия, действия по Мопертюи...). [c.11]

Для получения канонических уравнений Гамильтона необходимо вычислить вариацию функции Гамильтона. [c.97]

При введении операции варьирования принималось, что время t не варьируется. Соответствующие вариации функций вре- [c.181]

Наряду с полным дифференциалом рассмотрим другой вид бесконечно малого приращения функции, вычисляемый в предположении, что аргумент t является фиксированным параметром, а X, у, Z,. .. представляют изменяющиеся независимо от аргумента t величины. Такого рода бесконечно малое изменение функции назовем вариацией и обозначим символом 6f. Согласно принятому определению будем иметь следующую формулу вариации функции [c.307]

Если действительное перемещение ёг точки есть дифференциал функции г=г (1), определяющей закон движения этой точки, то возможное перемещение 8г той же точки является по своему смыслу вариацией функции г=г (1), ибо вариацией функции, как это известно из вариационного исчисления, называется элементарное изменение ее значения за счет изменения вида самой функции при неизменном значении аргумента ). В самом деле, возможное перемещение точки мы искали именно при остановленном времени 1, а изменение вида функции г=г (I) у нас заключалось в том, что мы допускали любые законы воображаемого бесконечно малого перемещения точки, совместимое с наложенными на нее в данный момент связями. [c.756]

Вариация функции V (t, q ,. q , it t я1) имеет следующий [c.218]

Подставляя суммы (11.15) в выражение (11.13), получим в результате функционал Э, зависящий только от функций времени а,- (f), bj t), ft (г). Считая вариации функций (t), 6bj (t), Ьс (t) независимыми, найдем вариацию функционала Э по каждой из функций и приравняем ату вариацию в соответствии с равенством (11.14) нулю [c.358]

Необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его первой вариации 6J, т. е. главной части приращения функционала, которая линейна по отношению к вариации функции бы. [c.96]

Заметим, что условие равенства нулю частных производных функцин есть условие того, что функция принимает стационарное значение. Убедимся в том, что это стационарное значение есть минимум. Действительно, вторая вариация функции U(Xi) равна [c.156]

Уравнения (5.4.3) представляют условия экстремума функции Ф. Остается показать, что этот экстремум есть минимум. Для этого вычислим вторую вариацию функции [c.158]

При бесконечно малых б/ главную часть приращения ф за счет вариации функции / составляет второй член правой части приведенного выше выражения для ф, т. е. первая вариация ф [c.188]

Следовательно, для таких вариаций функция V стационарна. Мы исследовали, начиная с (в), только приращения и вариации первого порядка. Из рассмотрения вариаций второго порядка можно показать, что V в действительности достигает минимума. Теорему (141) иногда называют принципом минимальной работы, как и ее аналог для сосредоточенных сил в строительной механике. [c.268]

Если бф — некоторая малая, обращающаяся в нуль на контуре ) вариация функции напряжений ф, то вариация потенциальной энергии будет равна [c.322]

Для - ньнюда уравнений Гамильтона вычислим вариацию функции Я, используя ес определение (45) и учитывая, что время при этом не варьируется. Так как /, = /.(с/,, 4 , /), то получаем [c.417]

Произвольное изменение функции 8q, являюсцееся следствием не изменения аргумента, а изменения вида самой функции, называется синхронной вариацией функции [c.391]

Сопоставляя операции дифференцирования и варьирования функции, устанавливаем, что дифференциал dq является изменением ординаты q вдоль кривой q = f [t), а вариация функции определяет изменение q при фиксированном t, связанноз с переходом от данной кривой к другой смежной с ней кривой = / ( )-f к(р (/). [c.392]

Какие изменения фу1Н<ций представляют собой дифференциал и вариация функции [c.413]

На рис. 153 изображен отре юк уИУИ], численно равный вариации функции у, которая соответствует фиксированному значению аргумента X. На том же рисунке показано, что отрезок, численно равный дифференциалу ф щкции с1у, соответствует приращенному значению аргумента х- уйх. [c.385]

Из сопоставления этих двух равенств следует, что вариации функции /(.V, у, г, t) вычислянуг по тому же правилу, что и дифференциал, но при фиксированном значении t. Отсюда становится ясным и различие между воображаемым виргуальпым перемещением (происходящим как бы при остановившемся времени) и дейсгвитель- [c.416]

Возможное перемещение точки, в отличие от действительного dUj, будем обозначать б /, где символ 6 носит название вариации и для него приняты те же правила, что и для оператора-дифференциала d. Следует лишь помнить, что эти правила не распространяются на аргументы Р,- функции и-,. Другими словами, вариация функции (в данном случае щ) есть изменение этой функции вследствие изменения вида самой функции при фиксированных координатах Xh точки Л/. То же самое можно сказать о вариациях деформаций бе у. Важную роль в теории упругости и в целом в МДТТ играют переменные величины, называемые функционалами. Будем говорить, что задан некоторый функционал [c.121]

Здесь — неизохронная вариация функции д , д — ее изохронная вариация, д М — приращение функции, возникшее в результате изменения ее аргумента 1. Малыми величинами второго и высших порядков пренебрегаем. Геометрическая интерпретация зависимости (II. 120) показана на рис. 27. С точностью до малых величин второго порядка малости имеем [c.183]

Покажем, что интегралы канонической системы дифференциальных уравнений движения можно определить через главную функцию Х. Для этого рассмотрим вариацию функции W, предполагая, что из.иенение этой функции вызвано изменением начальных условий движения. Этот способ варьирования принадлежит М. В. Остроградскому. [c.369]

Рассмотрим первое состояние, в котором варьируются параметры, онрелелягошие контурную линию области излома. Поскольку вариация размеров трсшины изохронна, то внешние нагрузки остаются без изменения. Находим, что вариация функционала (42.6) представляет собой искомую вариацию - 5А + 8W рассматриваемого первого состояния. Дополнив это выражение энергией разрушения, согласно (42.2) получаем вариацию функции Лагранжа [152] [c.325]

Основной курс теоретической механики. Ч.1 (1972) -- [ c.278 ]

Вариационные принципы механики (1965) -- [ c.77 ]

Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек (1978) -- [ c.15 ]

Механика сплошных сред (2000) -- [ c.266 ]

Теоретическая механика в примерах и задачах Том 2 Динамика издание восьмое (1991) -- [ c.428 ]

Метрология, специальные общетехнические вопросы Кн 1 (1962) -- [ c.575 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...